[МУЗЫКА] Здравствуйте.
Меня зовут Михаил Скворцов.
Я работаю в Сколковском институте науки и технологии и в Институте
теоретической физики имени Ландау.
И сегодня мы с вами поговорим про преобразование Фурье.
На самом деле преобразование Фурье — это такая математическая операция,
которую наш мозг выполняет ежесекундно и с которой мы постоянно сталкиваемся,
но о ней не думаем.
Вот когда сейчас вы смотрите на меня и слушаете мою речь,
у вас дважды происходит преобразование Фурье.
Во-первых, когда вы получаете звук, то давление P от t, зависящее от времени,
действует на барабанные перепонки и мозг автоматически транслирует
это в спектральное разложение и видит, какие частоты тут есть.
И то же самое происходит со светом, когда световая волна, то есть колебание
электрического поля, зависящее от времени, поступает на сетчатку вашего глаза,
рецепторы преобразуют это в частотные представления,
таким образом из трех рецепторов, как вы знаете, складывается изображение.
Так что преобразование Фурье — это то, что у нас в мозгу можно сказать прошито.
А сегодня мы поговорим о том,
как это применяется для решения разнообразных задач математической физики.
И в качестве введения я хочу начать с напоминания одной олимпиадной
задачи по физике, которая формулируется следующим образом.
Имеется бесконечная решетка сопротивлений,
фрагмент которой мы нарисуем следующим образом.
Это квадратная решетка, и сопротивление
каждого звена одинаковое и равно R.
А задача ставится следующим образом: мы берем омметр и
подключаем его к двум соседним вершинам.
И вопрос формулируется следующим образом: какое
сопротивление покажет нам омметр в этой ситуации?
Эта задачка относится к классу олимпиадных, потому что простое
решение, доступное для школьников,
существует только в том случае, если точки у нас являются соседними.
А в общем случае это задача, которая явно выходит за рамки школьной программы,
и надеюсь, что в конце сегодняшней лекции мы доберемся до общего решения.
А для начала давайте вспомним,
как решается задача в такой простейшей постановке.
Задача электростатики она линейная,
то давайте мы эту задачу разобъем на две подзадачи.
В первом случае мы возьмем и будем ток запускать в первый узел,
а собирать его на бесконечности.
Тогда он как-то будет растекаться и уходить на бесконечность.
И вот давайте мы ток I запустим в первый узел и посмотрим на
дальнейшую судьбу этого тока.
Часть пойдет наверх, эта часть есть I/4.
Точно такая же часть пойдет налево, вниз и направо.
И это понятно.
Понятно, что в каждое из направлений пойдет четверть тока.
Дальше она как-то будет распространяться, и как — это уже сложно,
потому что понятно, что вот в этом месте они поделятся неравным образом,
и как — вопрос, на который нужно искать ответ, который неочевиден.
Но нам этого и не нужно будет.
Теперь давайте мы рассмотрим вторую подзадачу.
Мы с этой точкой ничего не делаем,
а из этой точки мы будем забирать тот же самый ток I.
Ток будет течь в бесконечности,
и задача в каком-то смысле дуальная, и понятно,
что по каждому из ребер будет течь ток I/4, точно такой же ток I/4.
А теперь давайте мы сложим обе эти подзадачи,
тогда получится, что мы отсюда ток запускаем, а здесь мы его забираем,
а не бесконечность, естественно, ничего не утекает.
И если тогда посчитать, чему равно падение напряжения между двумя точками,
то мы видим, что здесь ток I/4 и здесь ток I/4.
Поэтому полное падение напряжение между истоком и током
будет U = R * ( I/4 + I/4) =
R * I/2.
Деля на полный ток, мы в результате получаем ответ на задачу:
имеется эффективное сопротивление между этой точкой и этой точкой,
и оно равно R/2.
Вот так решается эта олимпиадная задача по физике,
и олимпиадность ее в том, что нужно догадаться,
а если мы бы считали сопротивление по диагонали между двумя узлами несоседними,
тогда бы ничего не сработало, потому что нам нужно было бы знать,
как ток делится здесь, а это простыми средствами не решается.
Так формулируется эта задача, и мы к концу этой лекции увидим,
почему правильный способ решения этой задачи основан на преобразовании Фурье,
и получим общий ответ.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]