[МУЗЫКА] Здравствуйте. Меня зовут Михаил Скворцов. Я работаю в Сколковском институте науки и технологии и в Институте теоретической физики имени Ландау. И сегодня мы с вами поговорим про преобразование Фурье. На самом деле преобразование Фурье — это такая математическая операция, которую наш мозг выполняет ежесекундно и с которой мы постоянно сталкиваемся, но о ней не думаем. Вот когда сейчас вы смотрите на меня и слушаете мою речь, у вас дважды происходит преобразование Фурье. Во-первых, когда вы получаете звук, то давление P от t, зависящее от времени, действует на барабанные перепонки и мозг автоматически транслирует это в спектральное разложение и видит, какие частоты тут есть. И то же самое происходит со светом, когда световая волна, то есть колебание электрического поля, зависящее от времени, поступает на сетчатку вашего глаза, рецепторы преобразуют это в частотные представления, таким образом из трех рецепторов, как вы знаете, складывается изображение. Так что преобразование Фурье — это то, что у нас в мозгу можно сказать прошито. А сегодня мы поговорим о том, как это применяется для решения разнообразных задач математической физики. И в качестве введения я хочу начать с напоминания одной олимпиадной задачи по физике, которая формулируется следующим образом. Имеется бесконечная решетка сопротивлений, фрагмент которой мы нарисуем следующим образом. Это квадратная решетка, и сопротивление каждого звена одинаковое и равно R. А задача ставится следующим образом: мы берем омметр и подключаем его к двум соседним вершинам. И вопрос формулируется следующим образом: какое сопротивление покажет нам омметр в этой ситуации? Эта задачка относится к классу олимпиадных, потому что простое решение, доступное для школьников, существует только в том случае, если точки у нас являются соседними. А в общем случае это задача, которая явно выходит за рамки школьной программы, и надеюсь, что в конце сегодняшней лекции мы доберемся до общего решения. А для начала давайте вспомним, как решается задача в такой простейшей постановке. Задача электростатики она линейная, то давайте мы эту задачу разобъем на две подзадачи. В первом случае мы возьмем и будем ток запускать в первый узел, а собирать его на бесконечности. Тогда он как-то будет растекаться и уходить на бесконечность. И вот давайте мы ток I запустим в первый узел и посмотрим на дальнейшую судьбу этого тока. Часть пойдет наверх, эта часть есть I/4. Точно такая же часть пойдет налево, вниз и направо. И это понятно. Понятно, что в каждое из направлений пойдет четверть тока. Дальше она как-то будет распространяться, и как — это уже сложно, потому что понятно, что вот в этом месте они поделятся неравным образом, и как — вопрос, на который нужно искать ответ, который неочевиден. Но нам этого и не нужно будет. Теперь давайте мы рассмотрим вторую подзадачу. Мы с этой точкой ничего не делаем, а из этой точки мы будем забирать тот же самый ток I. Ток будет течь в бесконечности, и задача в каком-то смысле дуальная, и понятно, что по каждому из ребер будет течь ток I/4, точно такой же ток I/4. А теперь давайте мы сложим обе эти подзадачи, тогда получится, что мы отсюда ток запускаем, а здесь мы его забираем, а не бесконечность, естественно, ничего не утекает. И если тогда посчитать, чему равно падение напряжения между двумя точками, то мы видим, что здесь ток I/4 и здесь ток I/4. Поэтому полное падение напряжение между истоком и током будет U = R * ( I/4 + I/4) = R * I/2. Деля на полный ток, мы в результате получаем ответ на задачу: имеется эффективное сопротивление между этой точкой и этой точкой, и оно равно R/2. Вот так решается эта олимпиадная задача по физике, и олимпиадность ее в том, что нужно догадаться, а если мы бы считали сопротивление по диагонали между двумя узлами несоседними, тогда бы ничего не сработало, потому что нам нужно было бы знать, как ток делится здесь, а это простыми средствами не решается. Так формулируется эта задача, и мы к концу этой лекции увидим, почему правильный способ решения этой задачи основан на преобразовании Фурье, и получим общий ответ. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
