Введение. Задача о сетке сопротивлений

Loading...

來自 National Research University Higher School of Economics 的課程

Введение в математические методы физики

7 個評分

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 個評分

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

從本節課中

Преобразования Фурье

В этом модуле Вы познакомитесь с очень важной техникой - преобразованием Фурье. Преобразование Фурье находит применение в огромном числе приложений: от анализа звуковых сигналов и радиотехники, до теоретической физики. Вы научитесь применять преобразование Фурье для решения различных физических и математических задач. Особое внимание будет уделено использованию преобразования Фурье в линейных задачах с трансляционной инвариантностью, а также решению обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Введение. Задача о сетке сопротивлений5:54

與講師見面

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Здравствуйте.

Меня зовут Михаил Скворцов.

Я работаю в Сколковском институте науки и технологии и в Институте

теоретической физики имени Ландау.

И сегодня мы с вами поговорим про преобразование Фурье.

На самом деле преобразование Фурье — это такая математическая операция,

которую наш мозг выполняет ежесекундно и с которой мы постоянно сталкиваемся,

но о ней не думаем.

Вот когда сейчас вы смотрите на меня и слушаете мою речь,

у вас дважды происходит преобразование Фурье.

Во-первых, когда вы получаете звук, то давление P от t, зависящее от времени,

действует на барабанные перепонки и мозг автоматически транслирует

это в спектральное разложение и видит, какие частоты тут есть.

И то же самое происходит со светом, когда световая волна, то есть колебание

электрического поля, зависящее от времени, поступает на сетчатку вашего глаза,

рецепторы преобразуют это в частотные представления,

таким образом из трех рецепторов, как вы знаете, складывается изображение.

Так что преобразование Фурье — это то, что у нас в мозгу можно сказать прошито.

А сегодня мы поговорим о том,

как это применяется для решения разнообразных задач математической физики.

И в качестве введения я хочу начать с напоминания одной олимпиадной

задачи по физике, которая формулируется следующим образом.

Имеется бесконечная решетка сопротивлений,

фрагмент которой мы нарисуем следующим образом.

Это квадратная решетка, и сопротивление

каждого звена одинаковое и равно R.

А задача ставится следующим образом: мы берем омметр и

подключаем его к двум соседним вершинам.

И вопрос формулируется следующим образом: какое

сопротивление покажет нам омметр в этой ситуации?

Эта задачка относится к классу олимпиадных, потому что простое

решение, доступное для школьников,

существует только в том случае, если точки у нас являются соседними.

А в общем случае это задача, которая явно выходит за рамки школьной программы,

и надеюсь, что в конце сегодняшней лекции мы доберемся до общего решения.

А для начала давайте вспомним,

как решается задача в такой простейшей постановке.

Задача электростатики она линейная,

то давайте мы эту задачу разобъем на две подзадачи.

В первом случае мы возьмем и будем ток запускать в первый узел,

а собирать его на бесконечности.

Тогда он как-то будет растекаться и уходить на бесконечность.

И вот давайте мы ток I запустим в первый узел и посмотрим на

дальнейшую судьбу этого тока.

Часть пойдет наверх, эта часть есть I/4.

Точно такая же часть пойдет налево, вниз и направо.

И это понятно.

Понятно, что в каждое из направлений пойдет четверть тока.

Дальше она как-то будет распространяться, и как — это уже сложно,

потому что понятно, что вот в этом месте они поделятся неравным образом,

и как — вопрос, на который нужно искать ответ, который неочевиден.

Но нам этого и не нужно будет.

Теперь давайте мы рассмотрим вторую подзадачу.

Мы с этой точкой ничего не делаем,

а из этой точки мы будем забирать тот же самый ток I.

Ток будет течь в бесконечности,

и задача в каком-то смысле дуальная, и понятно,

что по каждому из ребер будет течь ток I/4, точно такой же ток I/4.

А теперь давайте мы сложим обе эти подзадачи,

тогда получится, что мы отсюда ток запускаем, а здесь мы его забираем,

а не бесконечность, естественно, ничего не утекает.

И если тогда посчитать, чему равно падение напряжения между двумя точками,

то мы видим, что здесь ток I/4 и здесь ток I/4.

Поэтому полное падение напряжение между истоком и током

будет U = R * ( I/4 + I/4) =

R * I/2.

Деля на полный ток, мы в результате получаем ответ на задачу:

имеется эффективное сопротивление между этой точкой и этой точкой,

и оно равно R/2.

Вот так решается эта олимпиадная задача по физике,

и олимпиадность ее в том, что нужно догадаться,

а если мы бы считали сопротивление по диагонали между двумя узлами несоседними,

тогда бы ничего не сработало, потому что нам нужно было бы знать,

как ток делится здесь, а это простыми средствами не решается.

Так формулируется эта задача, и мы к концу этой лекции увидим,

почему правильный способ решения этой задачи основан на преобразовании Фурье,

и получим общий ответ.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

探索我們的目錄

免費加入並獲得個性化推薦、更新和優惠。

Coursera 致力於普及全世界最好的教育，它與全球一流大學和機構合作提供在線課程。

© 2018 Coursera Inc. 保留所有權利。

通過 App Store 下載

通過 Google Play 獲取