S [ x ( t ) ] = ∫ d t ( x ^ 2 / 2 − U ( x ) ), а потенциал возьмем вот такой вот: U
= ω ^ 2 x ^ 2 / 2,
это наш знакомый гармонический осциллятор,
и к нему сделаем ангармоническую добавку
g x ^ 4 / 4, 4 только для удобства.
Вот.
Как устроено движение качественно в этом случае?
Давайте этот потенциал нарисуем.
Примерно.
Какой-то такой потенциал, ну он до 0 доходит.
Вот он 0.
Это неважно.
Движения в общем положении, вот мы стартовали с какой-то такой точки,
будут вот такие осцилляции: туда-сюда, сюда-туда.
Эти осцилляции, конечно же, если точно подходить — не гармонические.
То есть не описываются никаким sin, но с другой стороны, чтобы качественно понять,
можно использовать гармоническое приближение.
То есть мы будем искать экстремум этого
действия на классе гармонических функций.
Да, нужно еще задать граничные значения этого x.
Итак.
Гармоническая постановка, гармоническая
аппроксимация: x ( t ) = a cos Ω t.
Граничное условие мы
зададим вот таким вот хитрым способом.
Итак, пусть x от,
значит, скажем,
x ( π / 2 × 2 Ω ) = 0.
Наша подстановка удовлетворяет этому условию.
И x ( N ),
нечетное число N,
x ( N × π /2 Ω) = 0.
И возьмем N большим.
Вот это тоже одно из таких приятных
или удобных свойств вариационного подхода,
что для качественного и такого полуколичественного описания
искомого решения не обязательно функционал вычислять совсем точно.
Можно его вычислять как бы приближенно,
но приближение должно быть как-то физически осмысленно.
В данном случае мы говорим, что N очень большое, то есть время t,
за которое мы вычисляем этот интеграл, ну, скажем,
вот тут π / 2 Ω, до T.
А вот это T — велико,
стремится к бесконечности.
То есть N ≫ 1.
Зачем это нужно?
Затем то, что это функционал, мы сейчас будем вычислять в идущем порядке по T.
То есть будем выделять часть,
которая имеет великость по T, и только ее и будем минимизировать.
Хорошо.
Да, фиксация этих граничных условий означает,
что Ω у нас фиксирована, и свободным параметром,
по которому мы будем устраивать минимизацию или
экстремизацию, является единственный параметр — амплитуда a.
Подставим этот cos
в наш интеграл и его вычислим при таком вот значении потенциала U.
Ну нам понадобятся следующие простые
соотношения: ∫ от
0 до t,
cos ^ 2 Ω t d t, ну или то же самое,
что ∫ от 0 до T sin
^ 2 Ω t d t,
при T, то есть T ≫ 1 / Ω,
ну или N ≫ 1, ≈ T / 2.
Ну это знакомо вам со школы: то,
что средний квадрат cos и средний квадрат sin — это 1 / 2.
Вот, собственно, все, что здесь написано.
Нам понадобится также ∫ такой вот,
тоже при деле T.
T стремится к ∞, ну или очень велико.
cos ^ 4 Ω t, и легко увидеть,
что он приближенно равен 3 T / 8.
Его можно вычислить непосредственно, а можно использовать вот это знание,
представив cos ^ 4, как cos ^ 2 и в квадрате,
переписав через cos удвоенного аргумента и применив вот эти вот формулы.
Хорошо.
С этим знанием выпишем ведущим по большому
времени приближений выражение для нашего
действия уже как функцию амплитуды a.
Итак, первое слагаемое
будет S ( a ) ≈ T a ^ 2 (квадрат
амплитуды) Ω ^ 2 (квадрат частоты).
Это взялось откуда?
Что производная cos Ω t по
времени будет (−a
Ω sin Ω t).
Вот эта вот Ω, возникающая при дифференцировании, поделить на 4.
Значит, одна 2 отсюда, а одна была здесь.
Теперь минус
наша гармоническая часть: это будет
T a ^ 2 ω ^ 2.
Ω и ω не совпадают, вообще говоря.
Вот.
Тут / 4.
минус вклад ангармонической части g x ^ 4 / 4,
он будет 3 g T /
32 a ^ 4.
И все.
Теперь надо найти минимум,
экстремум этого действия,
как функцию уже одного числа a.
Дифференцируем по a.
То есть S′ (a) = 0.
Ну и что мы получим?