Пробные функции

Loading...

來自 National Research University Higher School of Economics 的課程

Введение в математические методы физики

6 個評分

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 個評分

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

從本節課中

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом

Во многих случаях, задача о решении дифференциального уравнения - даже довольно сложного - может быть эквивалентно представлена в виде вариационной задачи о нахождении экстремума некоторого функционала. Такое представление часто оказывается очень плодотворным, ведь находить минимум или максимум функционала можно приближенно - на классе правильным образом выбранных пробных функций. Полученное решение, не являясь параметрически точным, дает качественное представление о характере решения исходного дифференциального уравнения. В этом модуле, Вы научитесь реализовывать описанную схему на практике. В качестве примеров, мы рассмотрим принцип наименьшего действия в классической механике, а также поговорим о вариационных решениях электростатических задач. Завершится модуль тестом, в котором Вам будут предложены четыре упражнения на вариационные методы, мотивированные различными физическими задачами.

Вариации функционалов13:44

Принцип наименьшего действия11:56

Пробные функции12:15

Вариационная формулировка электростатики15:43

Использование вариационной формулировки для замены переменных в дифференциальных операторах. Лапласиан в сферических координатах16:58

Пробные функции в электростатике12:59

與講師見面

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Итак,

функционал действия для одномерного движения.

Это все то же самое, только никаких векторов нет.

Интеграл.

Давайте я тогда времена не буду здесь фиксировать.

S [ x ( t ) ] = ∫ d t ( x ^ 2 / 2 − U ( x ) ), а потенциал возьмем вот такой вот: U

= ω ^ 2 x ^ 2 / 2,

это наш знакомый гармонический осциллятор,

и к нему сделаем ангармоническую добавку

g x ^ 4 / 4, 4 только для удобства.

Вот.

Как устроено движение качественно в этом случае?

Давайте этот потенциал нарисуем.

Примерно.

Какой-то такой потенциал, ну он до 0 доходит.

Вот он 0.

Это неважно.

Движения в общем положении, вот мы стартовали с какой-то такой точки,

будут вот такие осцилляции: туда-сюда, сюда-туда.

Эти осцилляции, конечно же, если точно подходить — не гармонические.

То есть не описываются никаким sin, но с другой стороны, чтобы качественно понять,

можно использовать гармоническое приближение.

То есть мы будем искать экстремум этого

действия на классе гармонических функций.

Да, нужно еще задать граничные значения этого x.

Итак.

Гармоническая постановка, гармоническая

аппроксимация: x ( t ) = a cos Ω t.

Граничное условие мы

зададим вот таким вот хитрым способом.

Итак, пусть x от,

значит, скажем,

x ( π / 2 × 2 Ω ) = 0.

Наша подстановка удовлетворяет этому условию.

И x ( N ),

нечетное число N,

x ( N × π /2 Ω) = 0.

И возьмем N большим.

Вот это тоже одно из таких приятных

или удобных свойств вариационного подхода,

что для качественного и такого полуколичественного описания

искомого решения не обязательно функционал вычислять совсем точно.

Можно его вычислять как бы приближенно,

но приближение должно быть как-то физически осмысленно.

В данном случае мы говорим, что N очень большое, то есть время t,

за которое мы вычисляем этот интеграл, ну, скажем,

вот тут π / 2 Ω, до T.

А вот это T — велико,

стремится к бесконечности.

То есть N ≫ 1.

Зачем это нужно?

Затем то, что это функционал, мы сейчас будем вычислять в идущем порядке по T.

То есть будем выделять часть,

которая имеет великость по T, и только ее и будем минимизировать.

Хорошо.

Да, фиксация этих граничных условий означает,

что Ω у нас фиксирована, и свободным параметром,

по которому мы будем устраивать минимизацию или

экстремизацию, является единственный параметр — амплитуда a.

Подставим этот cos

в наш интеграл и его вычислим при таком вот значении потенциала U.

Ну нам понадобятся следующие простые

соотношения: ∫ от

0 до t,

cos ^ 2 Ω t d t, ну или то же самое,

что ∫ от 0 до T sin

^ 2 Ω t d t,

при T, то есть T ≫ 1 / Ω,

ну или N ≫ 1, ≈ T / 2.

Ну это знакомо вам со школы: то,

что средний квадрат cos и средний квадрат sin — это 1 / 2.

Вот, собственно, все, что здесь написано.

Нам понадобится также ∫ такой вот,

тоже при деле T.

T стремится к ∞, ну или очень велико.

cos ^ 4 Ω t, и легко увидеть,

что он приближенно равен 3 T / 8.

Его можно вычислить непосредственно, а можно использовать вот это знание,

представив cos ^ 4, как cos ^ 2 и в квадрате,

переписав через cos удвоенного аргумента и применив вот эти вот формулы.

Хорошо.

С этим знанием выпишем ведущим по большому

времени приближений выражение для нашего

действия уже как функцию амплитуды a.

Итак, первое слагаемое

будет S ( a ) ≈ T a ^ 2 (квадрат

амплитуды) Ω ^ 2 (квадрат частоты).

Это взялось откуда?

Что производная cos Ω t по

времени будет (−a

Ω sin Ω t).

Вот эта вот Ω, возникающая при дифференцировании, поделить на 4.

Значит, одна 2 отсюда, а одна была здесь.

Теперь минус

наша гармоническая часть: это будет

T a ^ 2 ω ^ 2.

Ω и ω не совпадают, вообще говоря.

Вот.

Тут / 4.

минус вклад ангармонической части g x ^ 4 / 4,

он будет 3 g T /

32 a ^ 4.

И все.

Теперь надо найти минимум,

экстремум этого действия,

как функцию уже одного числа a.

Дифференцируем по a.

То есть S′ (a) = 0.

Ну и что мы получим?

Да, это я непосредственно их дифференцирую.

Так, бесхитростно.

2 a Ω ^ 2

= 2 a ω ^

2 + (производная этой

штуки) 3

g / 8

a / 2.

Да? Правильно на 2 поделить.

Вот так вот.

Так будет правильно.

Ну потому что я просто T / 4 вынес.

Тогда здесь будет 1 / 8, производная даст 4,

и получится, значит, в знаменателе 2.

a ^ 3.

Поделим все на 2 a и получим

соотношение вот такого вот вида: Ω

^ 2 = ω ^ 2

+ 3

g a ^ 2 / 4.

Вот такая вот формула.

Как ее можно понимать?

Ее можно понимать так, что здесь теперь можно a выразить через разность частот,

но это соотношение уже можно рассматривать само по себе.

Можно сказать так, что если я рассмотрю колебание с амплитудой a,

то его частота в нашем ангорманическом потенциале будет отличаться

от гармонической части, от частоты ω, на такую добавку.

То есть она будет зависеть от амплитуды,

и зависимость от амплитуды вот такая квадратичная.

То есть нелинейный сдвиг частоты, можно сказать, мы получили.

Для маленьких g, для совсем маленьких g это эквивалентно теории возмущений,

которую мы рассматривали в предыдущих лекциях.

Но для g не очень маленьких это может рассматриваться

как некое качественное описание, колебание в таком вот гармоническом потенциале.

Понятно, что в данном случае это уже просто приближение,

поскольку точное выражение для траектории, которое можно получить,

решая уравнения движения, конечно же, будет никакой не cos.

Там будут эллиптические функции.

Но если для такого

вот анализа первого шага,

самый первый вопрос: частота колебаний зависит от амплитуды или не зависит?

Мы увидели, что таки да, зависит.

И зависимость вот приближенно такая.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

探索我們的目錄

免費加入並獲得個性化推薦、更新和優惠。

Coursera 致力於普及全世界最好的教育，它與全球一流大學和機構合作提供在線課程。

© 2018 Coursera Inc. 保留所有權利。

通過 App Store 下載

通過 Google Play 獲取