[МУЗЫКА] Теперь рассмотрим следующий пример про функцию, которая называется интегральным логарифмом. Это будет наш пример 3. [СКРИП] [СКРИП] Рассмотрим интеграл следующего вида. В нём сразу будет параметр, он будет от нуля до бесконечности dt e в степени минус t минус e в степени минус λ t поделить на t. Пусть это будет функция L от λ, которую нам надо найти. На первый взгляд кажется, что этот интеграл достаточно сложный. Но, как мы сейчас увидим, его легко взять с помощью дифференцирования по λ. Давайте продифференцируем этот интеграл по λ, тогда мы получим следующее соотношение, что производное этой функции по λ есть интеграл от нуля до бесконечности dt минус минус t поделить на t e в степени минус λ t или, что то же самое, интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени минус λ t. Таким образом, этот интеграл совершенно стандартный. Мы получаем следущее дифференцированное уравнение на функцию L. d L по d λ равно один на λ. То есть вместо задачи о вычислении вот такого достаточно сложного интеграла с помощью дифференцирования по параметру мы свели задачу к решению относительно простого дифференциального уравнения вот такого вида: d L по d λ равно один на λ. И его решение можно записать в следующем виде: L от λ равняется логарифм λ плюс константа C. Простая проверка, подставляя это решение для L от λ в это уравнение, мы видим, что уравнение выполняется. И единственное, что нам осталось сделать, это найти константу C. Для этого мы обратим внимание, что этот интеграл равен тождественно нулю, когда λ равно единице, то есть у нас имеется соотношение, что L от λ, равного единице, равняется нулю. Откуда мы видим, что необходимо выбрать константу C, равную нулю, и получить окончательный ответ, что L от λ равняется логарифму λ. Таким образом, мы не только посчитали этот интеграл, но и познакомились с очень удобным в приложениях интегральным представлением для логарифмической функции. Теперь перейдём к следующему примеру. Пример четыре. Этот пример будет пример на взятие интеграла от осциллирующей функции. Рассмотрим следующую функцию, которая опять же сразу у нас будет зависить от параметра f от λ, которая определена как интеграл от нуля до бесконечности по dt e в степени минус λ t синус t. Опять же на первый взгляд кажется, что этот интеграл достаточно сложный. Его можно брать относительно легко методами теории фукнции комплексного переменного, но, как мы сейчас увидим, его можно взять с помощью приёма дифференцирования по параметру, используя элементарные знания. Давайте продифференцируем нашу функцию по переменной λ два раза. Первая производная f' от λ равняется минус интеграл от нуля до бесконечности dt e в степени минус λ t t синус t. Вторая производная f'' от λ равняется интегралу от нуля до беспонечности dt e в степени минус λ t t в квадрате синус t. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]