Дельта-функция Дирака - 1

Loading...

來自 National Research University Higher School of Economics 的課程

Введение в математические методы физики

7 個評分

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

7 個評分

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

從本節課中

Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

В этом модуле Вы познакомитесь с методами приближенного и точного вычисления интегралов от быстро меняющихся функций. Такие функции могут иметь четко выраженные пики или же сильно колебаться от отрицательных значений к положительным. Вы научитесь аккуратно учитывать эти особенности при анализе интегралов. Кроме того, Вы научитесь работать с дельта-функцией Дирака, которая повсеместно возникает в приложениях. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Интегральная экспонента6:27

Дельта-функция Дирака - 15:23

Дельта-функция Дирака - 26:24

Дельта-функция Дирака - 35:30

與講師見面

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Теперь попробуем

обобщить ситуацию, которую мы только что рассматривали,

и рассмотрим следующий

интеграл от a до b от произведения

двух функций f от x на g от x по dx.

Предположим, что функция f у нас меняется медленно,

давайте нарисуем график для иллюстрации.

Пусть у нас имеется отрезок от a до b, и функция f меняется медленно.

То есть её значения в точке a и в точке b похожи, почти равны,

и производная маленькая, а функция g меняется

гораздо более быстрым образом.

Это будет g от x, а это f от x.

Математически это можно записать следующим образом,

что производная f' от x, отнесённая к f от x,

как говорят, логарифмическая производная функции f по модулю много меньше

логарифмической производной функции g, опять же по модулю.

Тогда в этом случае действует, так сказать,

совершенно простой и житейский способ.

Можно сказать, что функция почти константа, и, например,

вот этот интеграл, давайте его обозначим буквой i, в нём

заменить функцию на константу, например, взять её значения в середине интервала ab.

Тогда мы получим следующее приближённое соотношение,

что этот интеграл равен значению функции f в середине

отрезка на интеграл уже только от быстро меняющейся функции.

Рассмотрим пример,

в котором мы это рассуждение применим, это будет наш пример три,

в котором мы познакомимся с δ-функцией Дирака.

Дельта- функция Дирака.

Рассмотрим следующий интеграл для примера.

Интеграл от минус до плюс

бесконечности a поделить на a в квадрате

плюс x в квадрате e в степени минус x в квадрате dx.

При этом будем считать, что параметр a положительный и много меньше единицы.

В этом случае мы можем рассуждать следующим образом.

Экспонента меняется медленно, она меняется на масштабах порядка единицы, а функция,

которая стоит перед экспонентой, если a маленькое, она меняется быстро,

это можно понять, просто глядя на график этой функции, давайте опять его нарисуем.

[БЕЗ_ЗВУКА] При x,

равном нулю, значение функции есть один на a, очень большое,

а потом функция достаточно быстро убывает.

Соответственно, характерная ширина вот этого пика порядка a,

высота, как я уже сказал, порядка один на a,

а экспонента на этом фоне выглядит совершенно невзрачно.

Здесь есть значение один, и экспонента как-то себя ведёт вот здесь почти плавно.

Соответственно, для вычисления этого интеграла,

давайте его обозначим, например, буквой L,

мы можем поступить так, как вот написано вот здесь, а именно,

взять просто значение экспоненциальной функции в точке x, равное нулю.

И тогда получится, что L равняется примерно, давайте напишем,

e в нулевой, чтобы было видно, что мы сделали с этой экспонентой,

на интеграл от минус до плюс бесконечности dx

a a квадрат плюс x квадрат.

Такой интеграл стандартный, он удивительным образом не зависит от a,

естественно, равен π, и в итоге мы получаем ответ π для этого интеграла.

Естественно, такой ответ, он приближённый,

работает только тогда, когда a много меньше единицы,

и интересно узнать, а какие будут к этому ответу поправки.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

探索我們的目錄

免費加入並獲得個性化推薦、更新和優惠。

Coursera 致力於普及全世界最好的教育，它與全球一流大學和機構合作提供在線課程。

© 2019 Coursera Inc. 保留所有權利。

通過 App Store 下載

通過 Google Play 獲取