[МУЗЫКА] Теперь попробуем
обобщить ситуацию, которую мы только что рассматривали,
и рассмотрим следующий
интеграл от a до b от произведения
двух функций f от x на g от x по dx.
Предположим, что функция f у нас меняется медленно,
давайте нарисуем график для иллюстрации.
Пусть у нас имеется отрезок от a до b, и функция f меняется медленно.
То есть её значения в точке a и в точке b похожи, почти равны,
и производная маленькая, а функция g меняется
гораздо более быстрым образом.
Это будет g от x, а это f от x.
Математически это можно записать следующим образом,
что производная f' от x, отнесённая к f от x,
как говорят, логарифмическая производная функции f по модулю много меньше
логарифмической производной функции g, опять же по модулю.
Тогда в этом случае действует, так сказать,
совершенно простой и житейский способ.
Можно сказать, что функция почти константа, и, например,
вот этот интеграл, давайте его обозначим буквой i, в нём
заменить функцию на константу, например, взять её значения в середине интервала ab.
Тогда мы получим следующее приближённое соотношение,
что этот интеграл равен значению функции f в середине
отрезка на интеграл уже только от быстро меняющейся функции.
Рассмотрим пример,
в котором мы это рассуждение применим, это будет наш пример три,
в котором мы познакомимся с δ-функцией Дирака.
Дельта- функция Дирака.
Рассмотрим следующий интеграл для примера.
Интеграл от минус до плюс
бесконечности a поделить на a в квадрате
плюс x в квадрате e в степени минус x в квадрате dx.
При этом будем считать, что параметр a положительный и много меньше единицы.
В этом случае мы можем рассуждать следующим образом.
Экспонента меняется медленно, она меняется на масштабах порядка единицы, а функция,
которая стоит перед экспонентой, если a маленькое, она меняется быстро,
это можно понять, просто глядя на график этой функции, давайте опять его нарисуем.
[БЕЗ_ЗВУКА] При x,
равном нулю, значение функции есть один на a, очень большое,
а потом функция достаточно быстро убывает.
Соответственно, характерная ширина вот этого пика порядка a,
высота, как я уже сказал, порядка один на a,
а экспонента на этом фоне выглядит совершенно невзрачно.
Здесь есть значение один, и экспонента как-то себя ведёт вот здесь почти плавно.
Соответственно, для вычисления этого интеграла,
давайте его обозначим, например, буквой L,
мы можем поступить так, как вот написано вот здесь, а именно,
взять просто значение экспоненциальной функции в точке x, равное нулю.
И тогда получится, что L равняется примерно, давайте напишем,
e в нулевой, чтобы было видно, что мы сделали с этой экспонентой,
на интеграл от минус до плюс бесконечности dx
a a квадрат плюс x квадрат.
Такой интеграл стандартный, он удивительным образом не зависит от a,
естественно, равен π, и в итоге мы получаем ответ π для этого интеграла.
Естественно, такой ответ, он приближённый,
работает только тогда, когда a много меньше единицы,
и интересно узнать, а какие будут к этому ответу поправки.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]