Deuxième cours de cette initiation à la théorie des distributions, nous allons
commencer par définir tout de suite la notion de distribution.
Alors comme la formulation faible de l'équation de
transport que nous avons vue au premier cours
nous le suggérait, l'idée clef conduisant à la
notion de distribution consiste à considérer au lieu d'une
fonction f continue sur un ouvert de oméga de R N, la forme linéaire qui à phi,
fonction de classe C infini à support compact dans oméga, associe le nombre
intégral sur oméga de f de x, phi de x, dx qui est un nombre
réel ou complexe, selon que f et phi sont à valeur dans R ou dans C.
Dans ce contexte, les fonctions phi intervenant dans
l'expression ci-dessus seront appelées fonctions test.
Alors dans toute la suite du cours on va avoir besoin
de manipuler des expressions un petit peu compliquées avec des dérivées
partielles, et donc il est bon de se familiariser avec les
notations usuelles pour les calculs mettant en jeu des dérivées partielles.
Ces notations font intervenir la notion de multi-indice.
Un multi-indice alpha,
c'est simplement un m-uplet, alpha 1, alpha 2, alpha m, de nombre naturel,
d'entier naturel, et on définit en
particulier la longueur d'un multi-indice alpha, que
l'on note valeur absolue de alpha, qui est simplement égal à la somme
alpha 1, plus alpha 2, plus alpha n, la somme des composants du multi-indice.
Avec cette notion de multi-indice
il est très facile de noter les monômes de
degré longueur de alpha où alpha est un multi-indice.
En effet, si je prends x qui est un vecteur de R
puissance m, donc x égal x1, x2, xm, eh bien on notera
x puissance alpha où x est un vecteur de Rm et alpha
un multi-indice à m composante, on notera x puissance alpha, le monôme
x1 puissance alpha 1 x2 puissance alpha 2, et cetera, xm puissance alpha m.
De la même manière, on note les monômes
differentiels d'ordre longueur de alpha de la façon suivante: d rond alpha
sera d rond 1 puissance alpha 1, d rond 2
puissance alpha 2, et cetera, d rond m puissance alpha
m, ou si on préfère suivant les cas, s'il y a risque d'ambiguité, d rond x puissance
alpha égale d rond x1 puissance alpha 1, d rond x2 puissance alpha
2 et cetera, d rond xm puissance alpha m, où la notation d rond j
ou d rond xj désigne simplement la dérivée partielle par rapport à la variable xj.
Alors maintenant, comme les
fonctions test sont la brique de base permettant de construire la théorie des
distributions, on va commencer par dire
quelques mots de l'espace des fonctions test.
Soit donc oméga ouvert de R N, je vais
considérer des fonctions qui sont à support compact dans
oméga et donc j'aurai besoin d'une notation pour désigner
le fait qu'un ensemble K est compact inclus dans oméga.
Alors la
notation classique est de noter cela K avec une double
inclusion dans oméga, notation qui signifie que K est un
compact de R N et que K est inclus dans
oméga, notation qui se lit K compact inclus dans oméga.
Pour tout K compact inclus dans oméga on notera désormais C infini indice
K de oméga, l'ensemble des fonctions phi, de classe C infini dans oméga,
à support inclus dans le compact K.
Sur l'ensemble C infini K de oméga, qui est un espace vectoriel
sur R ou sur C, suivant que l'on considère des fonctions à valeur réelle ou complexe,
on définit une famille de normes de la manière suivante: pour tout entier naturel
p et tout phi appartenant à C infini K de oméga, la norme d'indice
pK de phi sera définie comme étant le max des d rond alpha phi de x,
lorsque x décrit K et que la longueur
du multi-indice alpha est inférieure ou égale à p.