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Dans cet exercice, on va vérifier que les
deux formules données dans le cours pour la valeur
principale, définissent en effet une distribution que l'on
appellera, donc, la valeur principale de 1 sur x.
Pour cela, je considère donc une fonction phi, qui est une fonction test,
donc, une fonction C infini à support compact sur R, et je considère
un réel positif grand R, tel que le support de
phi soit inclus dans l'intervalle
moins R, R. Alors, on peut écrire
que, pour tout x de valeur absolue inférieur
à R, phi de x moins phi de moins
x, divisé par x, en valeur absolue, est
inférieur à deux fois le sup de la dérivée
de phi en valeur absolue sur l'intervalle
donc x plus petit que R en valeur absolue, ceci est une
conséquence de l'inégalité des accroissement finis
appliqués entre x et zéro et entre
moins x et zéro. Donc par l'inégalité
des accroissements finis.
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Donc ceci étant vrai, on en déduit
que l'intégrale qui définit la valeur principale d'1
sur x appliquée à la fonction test phi est bien définie, cette intégrale est bien
convergente et on en déduit aussi la
majoration suivante: valeur principale de 1 sur x
appliquée à la fonction test phi, en valeur
absolue, est égale à la valeur absolue de
l'intégrale de zéro à R, de phi de x, moins phi de moins x,
sur x, dx, est bien majorée
par la longueur de l'intervalle qui est R, multiplié par le majorant
précédent, donc on trouve 2 R sup de phi prime de x,
pour x inférieur à R. Donc,
valeur principale de 1 sur x, hé bien,
une distribution d'ordre au plus
1, la linéarité étant une
propriété évidente de la définition.
Dans la deuxième partie de l'exercice, on nous demande de vérifier que la formule
qui est donnée définit de façon équivalente
la valeur principale de 1 sur x.
C'est un calcul assez simple.
L'intégrale, pour valeur absolue de x plus grand que epsilon
de phi de x sur x, dx, est égale à l'intégrale,
d'une part de epsilon à l'infini de phi de x sur x, et d'autre part, l'intégrale
de moins l'infini à moins epsilon de phi de x prime sur x prime, dx prime.
Dans la deuxième intégrale, je vais opérer le
changement de variable x prime égale à moins
x, et en échangeant les bornes, on fait
apparaître un signe moins, et donc on obtient
cette intégrale-là, avec la fonction phi de x moins phi de moins x sur x, dx, et
d'après le calcul précédent, la majoration sur cette expression phi de x moins phi
de moins x sur x, et le théorème de convergence dominée, on se rend compte que
quand espsilon tend vers zéro, cette quantité converge
vers l'intégrale de zéro à l'infini de phi
de x moins phi de moins x sur x. Donc le fait que le support de phi soit
compact est important dans l'application du théorème convergence dominée.
Prof. François GolseProfesseur à l'Ecole polytechnique
Prof. Yvan MartelProfesseur à l'Ecole polytechnique
