好，我們剛剛處理完了移動的部分，就所謂處理完了 θ₁
θ₂ θ₃ 之後，我們現在來看看轉動的部分
等於說轉動的部分有三個角度需要求解，就分別是 θ4
到 θ6 那我們等於說我們現在就可以把 θ₁ θ₂ θ₃ 當成是已知了，那接下來等於說我們需要
解的就是 4 到 6 的部分，那 4 到 6 等於說我們今天剛剛
θ₁ θ₂ θ₃ 已知之後 我們可以去做一個反矩陣，把這個
θ3 到 6 算出來之後 然後再以 Z-Y-Z Euler angle 的方式來解 4,
5, 6 那這裡有一個簡單的動畫先給各位同學看說這個 4, 5, 6 到底是怎麼操作的。
現在轉的是 4, 這個轉的是 5 然後再第三個轉的是 6
，所以各位同學可以看到說，今天手臂的這三個雖然說 直接看這個
CAD 的這個動畫的時候覺得說它轉的 位置是不一樣，可是如果說你們仔細看這個轉軸的話，的確
第四軸的軸線在這個方向，第五軸的軸線在這個方向，第六軸的軸線在這個方向
基本上三個方向都會交在同一個點，就是交在這個藍色 的正中心這裡，所以等於說這個手臂，乍看之下雖然說
轉動的位置不同，可是事實上它也符合所謂它的后三軸有交在同一個點 所以等於說我們可以就是照著
pieper 的解法繼續去往下走 那 pieper 的解法的本身雖然是 4,
5, 6 是長這樣 但事實上它的解，事實上跟我們的以前所教的 Z-Y-Z Euler
angle 事實上是 相近的，那為什麼相近，我們現在就來看一下
那這裡是畫是另外一個手臂的，不過 4 ,5, 6 的定義方式是一樣
好，我們現在就稍微來看一下，就等於說今天手臂 這跟剛剛一樣嘛，就是 1,
2, 3 是產生移動，然後 3 的末端點之後 4, 5,
6 就交在這個位置，那交在這個位置之後，我們就先來看一下 就是說我們今天在
DH 的定義下的時候，我們今天 θ4 是沿著
Z4 軸然後從 X3 往 X4 的方向轉，所以這個是 θ4
的定義，那我們的 Z4 軸基本上就是
link3 這個這個桿件的方向，等於說從圖中可以看到說，在上圖的話就是它一個向下的這個
方向，就是我們 link3 的桿件方向，那也是我們 Z4
軸 的轉軸的位置，那在左圖這邊我是把它先畫出一個示意
代表說它是，這個是畫出來的這個細細的黑線就是它的轉軸 那我們的第
5 軸轉的方向是跟第 4 軸是一個垂直的 那等於說在這裡可以看出來說，我這裡就畫了一個示意
就是說今天的轉軸方向，就是這個圓筒這個會上下動 所以它是對著這個
Z5 來轉，那我們知道照著 DH 的定義，我們的 θ5 就是今天是對著
Z5 轉，然後是 4，X4 轉到 X5 的方向
那這個方向如果對應到手臂，各位同學可以看得出來說就是 4 跟 5 的這個相對
那接下來我們的第 6 軸會沿著我們的 Z6
的方向轉 就等於說我們的 Z6 方向是這樣子轉，那這裡可以
看出來說我們 θ6 的定義是 X5 轉到 X6
所以等於說今天的 Z-Y-Z 的，我們今天如果說先從 DH 的角度來看的話，4,
5, 6 是各自沿著這三個方向去轉 那如果說我們今天要把這個轉動再對應到
Z-Y-Z 的角度 那各位同學可以發現說我們 Z-Y-Z 在想
Euler angle 的時候 代表說那個坐標系的 X-Y-Z
是就不會變動的 跟 DH 最大的差別就是說， DH 我們是設定了每一個旋轉
都是針對那一個當下的坐標的 Z 軸，那所以等於說因為每個
joint 之間的坐標定義會有一些相對的不同，所以等於說才會有那個
DH 要進行轉換 那在 Euler angle 下面就等於說我今天假設空間中有一個
frame，X-Y-Z 它就一路上都是沿著當下的那個
X-Y-Z 的其中一個軸去做轉動 所以它沒有從 frame
說瞬間從這個 Z 跳到另外一個 Z，那針對 Euler Angle
來講，從我們 DH 的這個 Z 跳到另外一個 Z 其實就代表的說在 Euler Angle
下面 可能第一個是對它的 Z 軸轉，第二個是對它的 Y 軸轉，那我們現在就來看
看這個說明，我們假設說 就像是我們的這裡圖中所畫的
我們本來在 DH 下面是對著 θ4 轉，轉一個角度
那轉一個角度之後 事實上這個小角度它所到達的這個
Y 是在這個，本來的這個方向上面，就是等於說在圖中所畫的往左
可是我們如果說知道說，我們要把這個去對應 到我們之前所交的 DH
的 Z5 軸的轉動的話 我們就知道說我今天在 Z-Y-Z
下面的 這個 θ4 的轉動要多轉，比本來的 θ4 要多一個 θ4'，就等於說多一個
180 度 我的 Y 才會轉到對面側，那當我們這樣子
等於說我的 Z-Y-Z 的 Z 是轉 θ4 加 π 的這個角度之後 我的
frame 的位置就會在我這裡上面所寫的這個綠色的位置
那這個綠色的位置的好處就是說我今天 如果說在下一個瞬間，我本來在
DH 下面要對著 Z5 轉 的話，等於說在這個轉完之後我就相當於在
Euler angle下面是對 Y4 的 Y'4
去轉，就等於說這樣才會是 Z-Y-Z 的 Y 嘛，等於說我們這個角度要對
那等於說我們今天對 Y4 再去轉之後
我們等於說轉出來的角度，假設以 X 來看的話，就是變成是一個
θ5 的 θ'5 就等於說這會真的是對著我們的 Y'4 轉，轉到一個
Y'5 轉到一個 5' 的位置，大概是像這裡圖中所示的
那這裡可以看出來說，我們今天 θ5' 的角度，就是 Euler angle 轉的角度 跟我們
DH 定義的 θ5 事實上是一樣的，只是定義在不同的位置上面 所以 θ5
的角度就不動，那這個轉完之後呢 就等於說我們的下一個瞬間，就變成說又會再對
轉完之後，會變成到我們所謂的 Z5' 的位置，要開始對
Z 再轉 所以等於說轉了之後就會讓我們得到一個所謂的
θ6 這邊的 角度，那這裡各位同學要注意的是說，我今天本來的
本來的這個 X'5 跟
Y'5，本來是在下方，那我今天轉 6 的時候 等於說今天針對
DH 的設計，我們的 X6 就等於說我們的 X6,
Y6 跟 Z6 是在上方的位置，那如果說我今天
以 Euler angle 的角度來看，我的 θ6 在轉的時候， 如果只轉一個 θ6 的角度，它最後的 X
，Y 的向量會在下方，所以變成說我必須要 多轉一個 180
度，才可以把我本來 Euler angle 在下方的這個姿態轉回到上方
這樣才會剛好跟 DH 的這個 frame 6 的姿態重合
所以照這樣子解釋的話，我們就可以看到說 以 Z-Y-Z
來看的話，我們這個 θ4 的部分跟 DH 比要多轉 180 度
就是這樣的話，等於說對著 Z 軸轉，要做這個動作
第二個，在 5 的話，一個是轉上面，轉下面，所以只是定義位置不同，但是量值上是沒有改變
那 6 的話，也一樣要多轉個 180 度，它才會讓我們本來
Euler angle 的 frame 回到跟 DH 的 6 的 frame
在同一個位置下面 所以這是等於說，只是角度定義上有些差異，可基本上在轉動
的過程中，DH 跟 Euler angle 事實上是有一個一定程度的對應
林沛群教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)
