好，各位同學，那我們知道說，運動是相對的 那我們剛剛有教各位同學說，我們今天把 transformation
matrix 當成 operator 的時候 它能夠對一個向量或一個點進行移動跟轉動的這個操作
那今天這個操作的本身，我們可以想成說，運動是相對的嘛，所以今天點在動 也可以把它想成說，我們是
frame 往另外一個方向動 舉例來說好了，我們今天是把一個點往前移
(10,5,0) 那把點從 frame
往前移 的這個動作事實上你可以把它想成說，我今天是點不動，而把
frame 往後移 (-10,-5,0)，因為這兩個
操作的方式，或者這兩個想像的方式都能夠得到相同的相對運動關係 那這是移動的部分。
轉動的部分也一樣 我們今天如果是把一個點逆時針轉
30 度 事實上這個操作也可以把它想成說，我是
點不動，而把 frame 順時針轉 30 度
就像是下面左右兩側圖所秀的，第一個是把 點轉過去，那第二個是把
frame 轉過來，那大家比對一下它最後的相對關係，兩個事實上是一樣的
所以就等於說這個提供了 operator
本來是 移動跟轉動的另外一個思維，等於說不只是轉動點跟向量本身
而是把它想成轉成 frame 本身
那我們現在就把剛剛的例子來再看一遍 好，我們剛剛一樣是
[3,7,0] 了，我們是先對 Z 軸，逆時針轉 30 度 然後再移動
[10,5,0]，到達一個新的點的 P2 然後我們剛剛有算說，P2
的最後的坐標是多少 那我們現在就從 frame 轉動的角度來看，我們剛剛是
對 Z 軸逆時針轉 30 度，那我們今天如果從
frame 轉動的角度來看，相當於說我們的點不動，點在上面這個粉紅色的點 我們是
frame 先順時針轉 30 度，或者說我們直接寫對原點轉 -30
度，那就是順時針的 那第二步，我們轉完了之後
我們本來是點移動 [10,5,0] 就相當於說我們是對 frame
轉 [-10,-5,0] 那各位同學要記得說，現在
frame 的方向已經在咖啡色的位置，所以等於說我是要對咖啡色的這個姿態
去轉 [-10,-5,0]，並不是藍色的，所以可以看到說，我今天的這個軌跡是斜的，先對
咖啡色的 X 方向走了 -10，再針對咖啡色的 Y 方向走了 -5 所以最後我們的
frame 比較像是在一個咖啡色的位置，就像在這裡 那我們在這裡之後呢，我們其實就可以比對了
發現說，今天這個紅色的點以這個咖啡色的 frame 來看的話 它在
X 軸方向的投影的確得到了一個 9 它在 Y 軸方向的投影的確得到了一個
12 所以就等於說我們今天這樣的操作，跟剛剛動點所得到
P2 的位置的操作會是一樣的解 就證明說我們剛剛這個同樣的
operator，可以以點的移動的角度來看 也可以以 frame
的反向移動的角度來看 那這個是做等於說剛剛講的事情
的一個確認，那這個等於說這個圖中就像剛剛一樣，把那個 [3,7,0] 以
B frame 來看，跟 A frame 來看，基本上這兩張圖是一樣的，只是各位同學會發現說
我們剛剛的 operator 3 的時候的做法，因為是把點動來動去，所以基本上
frame 是正的 那在這裡的做法，因為我們是點不動，frame 轉來轉去，所以最後 frame
是 歪斜的姿態，可是不管是哪一邊的操作 它所得到的相對狀態都是一樣，都是
9 跟 12 所以就等於說這兩個方式是都可以來做一個解釋
好，那我們今天等於說已經對 transformation
matrix 已經做了一個 蠻算完善的說明。
那這裡也可以知道說 transformation matrix 就像是旋轉矩陣一樣，它有三個用法
那第一個就是它描述一個 frame 相對於另外一個 frame
的空間狀態 那剛剛我們在旋轉矩陣的時候，我們其實也是描述兩個
frame 之間的相對 可是那兩個 frame 之間只能有相對的轉動 只有
transformation matrix 因為它包含了第四個 column，第四個 column 已經把兩個
frame 之間相對移動也包含進來 所以等於說它今天來表達兩個 frame
的相對的時候 它可以同時有移動跟轉動的部分，所以是一個比較廣義的解
那第二個，也像是剛剛講的 它可以是一個
mapping 的方式，等於說可以把今天有一個點 在 B frame 上面的表達，經過一個
transformation matrix 把它轉到這個點在 A frame
上面的表達，這個是第二個用法 那第三個用法就是所謂的 operator
它可以把一個點或是一個向量，在同一個 frame 中進行移動和轉動
在旋轉矩陣的時候，它只能進行轉動，在這裡是移動跟轉動，所以等於說本來在 P1
的位置 它經過我們的 transformation matrix 之後，它會到達 P2，那這個 P2
其實可能是 含了移動跟轉動，不像旋轉矩陣只能單純地轉動。
所以在 旋轉矩陣的操作下面，這個 P1 跟 P2 的長度會是一樣的，因為它只是轉動
那在這裡面，P1 P2 的長度可能就可以變動，因為移動之後那向量的長度就不一樣了
那基本上這個就是在 transformation 部分的一個小結
林沛群教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)
