Olá.
Você já viu nosso curso o compensador de avanço de fase.
A inspiração para isso era aumentar a fase uma determinada frequência.
Você também já viu o efeito da adição de zero no diagrama de Bode.
E é repetido aqui para relembrar.
Então, somente com zero, você já é capaz de aumentar a fase na
frequência desejada de forma a atingir a margem de fase requisitada.
Esse tipo de controlador é mais simples de projetar do que compensador de avanço
de fase, uma vez que só é necessário escolher a posição do zero e o ganho,
ficando com a seguinte função de transferência: C de
s igual a K p mais K d s que é igual a K p vezes 1 mais K d sobre K p s.
Nesse formato fica clara a origem do nome
Controlador Proporcional Derivativo ou simplesmente PD.
Isso porque o controlador terá termo proporcional ao erro e outro termo
que é múltipla da derivada do erro, com os ganhos K p e K d respectivamente.
O procedimento de projecto é muito parecido com o do compensador de avanço,
visto que o objetivo é fornecer aumento de fase na frequência
desejada de cruzamento do zero ômega c.
O procedimento segue.
Primeiro, calcule a posição do zero de
forma a fornececer a fase desejada fi na frequência ômega c.
Para isso, basta usar a seguinte expressão para a fase adicionada pelo PD:
fi é igual a fase de C de j ômega c que é
igual a fase de Kp mais K d s que é
igual ao a arco tangente de K d ômega c sobre K p.
De onde se pode calcular K d ômega c sobre K p igual à tangente de fi,
o que implica K d sobre K p igual à tangente de fi sobre ômega c.
O zero será z 1 igual a K p sobre K d que é igual a ômega c sobre a tangente de fi.
E você já terá determinado a relação entre os ganhos proporcional e derivativo.
Segundo, calcule o ganho para que o cruzamento de zero
dB ocorra ômega c, ou seja, módulo de C de j
ômega c vezes G de j ômega c dB é igual a zero,
então, módulo de C de j ômega c dB mais módulo de G de j ômega c
dB é igual a zero, o que implica que o módulo de C de j ômega c dB é
igual ao módulo de G de j ômega c dB com sinal negativo.
Assim, o módulo de C de j ômega c é igual a 1 sobre o módulo de G j ômega c.
Vamos desenvolver essas expressões para obter fórmulas para K p e
K d diretamente a partir da fase e módulo de G de ômega c.
Calculando o módulo de C de j ômega c,
módulo de C de ômega c igual a raíz quadrada de K p ao
quadrado mais K d ao quadrado ômega c ao quadrado.
E substituindo pelo valor desejado Kp ao quadrado mais K d ao quadrado ômega c ao
quadrado, tem que ser igual a 1 sobre módulo de G de j ômega c ao quadrado.
Dividindo por K d ao quadrado ficamos com: K p
sobre K d ao quadrado mais ômega c ao quadrado igual
a 1 sobre K d ao quadrado módulo de G j ômega c ao quadrado.
Lembrando que, K p sobre K d é o valor de z 1, determinado no primeiro passo
do projeto, temos z 1 ao quadrado mais ômega c ao quadrado
igual a 1 sobre K d ao quadrado mais módulo de G de j ômega c ao quadrado.
Substituindo z1 pelo seu valor, ficamos com:
ômega c ao quadrado sobre tangente ao quadrado de fi mais ômega c ao quadrado
igual a 1 sobre K d ao quadrado vezes módulo de G j ômega
c ao quadrado e podemos faturar ômega c ao quadrado.
Usando agora a identidade trigonométrica 1 mais tangente ao quadrado de fi igual a 1
sobre seno ao quadrado de fi, temos ômega c ao quadrado sobre seno ao quadrado de
fi igual a 1 sobre K d ao quadrado vezes módulo de G de j ômega c ao quadrado.
Isolando K d ficamos com,
K d igual a seno de fi sobre ômega c vezes módulo de G de j ômega c.
Voltando a usar o valor do zero calculado, temos K p igual a z 1 vezes K d,
que será igual a ômega c tangente de fi vezes seno de fi sobre ômega c módulo
de G de j ômega c, o que dá cosseno de fi sobre o módulo e G de j ômega c.
Pronto, agora você já tem fórmulas bem simples para o projeto.
Com isso, usando a fase e o módulo de G de j ômega c,
você pode facilmente calcular o controladador PD 'iii' desejado,
com K p igual ao cosseno de fi sobre módulo de G de j ômega
c e K d igual a seno de fi sobre ômega c vezes módulo de G de j ômega c.
Mas existe problema.
Você já viu que C de s dado dessa forma não é uma função de transferência própria,
o que significa que o zero puro não pode ser implementado.
No fundo, o projeto fica mais simples porque há
parâmetro a menos para se determinar, que é a localização do polo que você teria que
levar conta no projeto de compensador de avanço de fase.
Olhando mais uma vez para o diagrama de Bode, é como se o polo
estivesse uma frequência infinitamente alta e sequer aparace na nossa escala.
Por isso, você não enxerga o momento que o ganho
pára de crescer, nem o momento que a fase volta a decrescer até zero.
Dessa nossa analogia surge a solução para o problema.
Porque não colocar o polo uma frequência muito alta,
de maneira a não afetar nem a fase nem o ganho torno de ômega c?
Você pode colocar polo menos P 1 com P 1 maior do que zero,
usando o seguinte formato: 1 sobre s sobre P 1 mais
1 e tem módulo igual a 1 para frequências bem abaixo de módulo de P 1 e fase zero.
Vamos calcular o módulo e a fase desse termo.
O módulo será igual a módulo de 1 sobre j ômega sobre P 1 mais 1,
que é igual a 1 sobre a raíz quadrada de ômega sobre P1 ao
quadrado mais 1 e a fase será a fase de 1 sobre j vezes ômega sobre
P 1 mais 1, que é igual a menos o arco tangente de ômega sobre P 1.
Para ômega igual a módulo de P1 sobre 100,
esses valores são: módulo igual a raíz de 1 sobre
0,01 ao quadrado mais 1 que é aproximadamente
1 e a fase será menos o arco tangente de 0,01.
Que é aproximadamente menos 0,6 graus.
Ou seja, se a frequência de quebra associada ao polo estiver 100 vezes
acima de ômega c então o ganho ômega c é praticamente inalterado e a margem de
fase cai de menos do que 0,6 graus.
Então, o controlador a ser implementado
será C linha de s igual a K p vezes 1 mais K d sobre K p vezes s,
tudo isso dividido por s sobre P 1 mais 1.
Isto é, podemos enxergar o controlador PD como caso particular do avanço de fase que
o polo está frequência tão mais elevada que a sua contribuição é desprezível.
Agora você aprendeu a projetar controlador PD que terá efeito parecido com
o de compensador de avanço de fase porém com projeto pouco mais simples.
No próximo vídeo você verá que deve empregar o controlador PD com cautela,
devido ao polo frequência de quebra alta que é introduzido.
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
