Olá. Você já viu nosso curso o compensador de avanço de fase. A inspiração para isso era aumentar a fase uma determinada frequência. Você também já viu o efeito da adição de zero no diagrama de Bode. E é repetido aqui para relembrar. Então, somente com zero, você já é capaz de aumentar a fase na frequência desejada de forma a atingir a margem de fase requisitada. Esse tipo de controlador é mais simples de projetar do que compensador de avanço de fase, uma vez que só é necessário escolher a posição do zero e o ganho, ficando com a seguinte função de transferência: C de s igual a K p mais K d s que é igual a K p vezes 1 mais K d sobre K p s. Nesse formato fica clara a origem do nome Controlador Proporcional Derivativo ou simplesmente PD. Isso porque o controlador terá termo proporcional ao erro e outro termo que é múltipla da derivada do erro, com os ganhos K p e K d respectivamente. O procedimento de projecto é muito parecido com o do compensador de avanço, visto que o objetivo é fornecer aumento de fase na frequência desejada de cruzamento do zero ômega c. O procedimento segue. Primeiro, calcule a posição do zero de forma a fornececer a fase desejada fi na frequência ômega c. Para isso, basta usar a seguinte expressão para a fase adicionada pelo PD: fi é igual a fase de C de j ômega c que é igual a fase de Kp mais K d s que é igual ao a arco tangente de K d ômega c sobre K p. De onde se pode calcular K d ômega c sobre K p igual à tangente de fi, o que implica K d sobre K p igual à tangente de fi sobre ômega c. O zero será z 1 igual a K p sobre K d que é igual a ômega c sobre a tangente de fi. E você já terá determinado a relação entre os ganhos proporcional e derivativo. Segundo, calcule o ganho para que o cruzamento de zero dB ocorra ômega c, ou seja, módulo de C de j ômega c vezes G de j ômega c dB é igual a zero, então, módulo de C de j ômega c dB mais módulo de G de j ômega c dB é igual a zero, o que implica que o módulo de C de j ômega c dB é igual ao módulo de G de j ômega c dB com sinal negativo. Assim, o módulo de C de j ômega c é igual a 1 sobre o módulo de G j ômega c. Vamos desenvolver essas expressões para obter fórmulas para K p e K d diretamente a partir da fase e módulo de G de ômega c. Calculando o módulo de C de j ômega c, módulo de C de ômega c igual a raíz quadrada de K p ao quadrado mais K d ao quadrado ômega c ao quadrado. E substituindo pelo valor desejado Kp ao quadrado mais K d ao quadrado ômega c ao quadrado, tem que ser igual a 1 sobre módulo de G de j ômega c ao quadrado. Dividindo por K d ao quadrado ficamos com: K p sobre K d ao quadrado mais ômega c ao quadrado igual a 1 sobre K d ao quadrado módulo de G j ômega c ao quadrado. Lembrando que, K p sobre K d é o valor de z 1, determinado no primeiro passo do projeto, temos z 1 ao quadrado mais ômega c ao quadrado igual a 1 sobre K d ao quadrado mais módulo de G de j ômega c ao quadrado. Substituindo z1 pelo seu valor, ficamos com: ômega c ao quadrado sobre tangente ao quadrado de fi mais ômega c ao quadrado igual a 1 sobre K d ao quadrado vezes módulo de G j ômega c ao quadrado e podemos faturar ômega c ao quadrado. Usando agora a identidade trigonométrica 1 mais tangente ao quadrado de fi igual a 1 sobre seno ao quadrado de fi, temos ômega c ao quadrado sobre seno ao quadrado de fi igual a 1 sobre K d ao quadrado vezes módulo de G de j ômega c ao quadrado. Isolando K d ficamos com, K d igual a seno de fi sobre ômega c vezes módulo de G de j ômega c. Voltando a usar o valor do zero calculado, temos K p igual a z 1 vezes K d, que será igual a ômega c tangente de fi vezes seno de fi sobre ômega c módulo de G de j ômega c, o que dá cosseno de fi sobre o módulo e G de j ômega c. Pronto, agora você já tem fórmulas bem simples para o projeto. Com isso, usando a fase e o módulo de G de j ômega c, você pode facilmente calcular o controladador PD 'iii' desejado, com K p igual ao cosseno de fi sobre módulo de G de j ômega c e K d igual a seno de fi sobre ômega c vezes módulo de G de j ômega c. Mas existe problema. Você já viu que C de s dado dessa forma não é uma função de transferência própria, o que significa que o zero puro não pode ser implementado. No fundo, o projeto fica mais simples porque há parâmetro a menos para se determinar, que é a localização do polo que você teria que levar conta no projeto de compensador de avanço de fase. Olhando mais uma vez para o diagrama de Bode, é como se o polo estivesse uma frequência infinitamente alta e sequer aparace na nossa escala. Por isso, você não enxerga o momento que o ganho pára de crescer, nem o momento que a fase volta a decrescer até zero. Dessa nossa analogia surge a solução para o problema. Porque não colocar o polo uma frequência muito alta, de maneira a não afetar nem a fase nem o ganho torno de ômega c? Você pode colocar polo menos P 1 com P 1 maior do que zero, usando o seguinte formato: 1 sobre s sobre P 1 mais 1 e tem módulo igual a 1 para frequências bem abaixo de módulo de P 1 e fase zero. Vamos calcular o módulo e a fase desse termo. O módulo será igual a módulo de 1 sobre j ômega sobre P 1 mais 1, que é igual a 1 sobre a raíz quadrada de ômega sobre P1 ao quadrado mais 1 e a fase será a fase de 1 sobre j vezes ômega sobre P 1 mais 1, que é igual a menos o arco tangente de ômega sobre P 1. Para ômega igual a módulo de P1 sobre 100, esses valores são: módulo igual a raíz de 1 sobre 0,01 ao quadrado mais 1 que é aproximadamente 1 e a fase será menos o arco tangente de 0,01. Que é aproximadamente menos 0,6 graus. Ou seja, se a frequência de quebra associada ao polo estiver 100 vezes acima de ômega c então o ganho ômega c é praticamente inalterado e a margem de fase cai de menos do que 0,6 graus. Então, o controlador a ser implementado será C linha de s igual a K p vezes 1 mais K d sobre K p vezes s, tudo isso dividido por s sobre P 1 mais 1. Isto é, podemos enxergar o controlador PD como caso particular do avanço de fase que o polo está frequência tão mais elevada que a sua contribuição é desprezível. Agora você aprendeu a projetar controlador PD que terá efeito parecido com o de compensador de avanço de fase porém com projeto pouco mais simples. No próximo vídeo você verá que deve empregar o controlador PD com cautela, devido ao polo frequência de quebra alta que é introduzido.
