Olá. Neste vídeo você aprenderá a esboçar o diagrama de Nyquist a partir apenas da função de transferência. Vamos começar com exemplo simples, estritamente próprio e de primeira ordem. T de s igual a 1 sobre s menos p 1 com p 1 menor do que 0. Neste caso muito trivial, mas que já aparece uma ampla variedade de modelos de sistemas podemos ver facilmente que: Primeiro, o módulo será 0 no arco onde esteve a circunferência, pois é estritamente próprio. Segundo, no eixo imaginário, a fase variará de 0 a menos 90 graus, devido ao polo simples. Terceiro, o módulo será menos 1 sobre p 1 ômega igual a 0 e a fase será 0 também, pois menos p 1 será número positivo. O traçado a partir dessas observações fica como na linha azul cheia na figura, a linha tracejada representa a parte refletida relação ao eixo real, completando o esboço. Nesse caso vemos que não há nenhum valor de K maior do que 0 que faça a curva circundar o ponto menos 1 sobre K e também não há polos de malha aberta no semiplano direito, isto é: N igual a 0 e P igual a 0, logo: Z igual a N mais P igual a 0 mais 0 igual a 0. Então não existe valor de K positivo que instabilize o sistema malha fechada. No segundo caso vamos trocar o polo no semiplano esquerdo malha aberta, por polo no semiplano direito, então teremos: G de s igual a 1 sobre s menos p 1, agora com p 1 maior do que 0. Observe que, primeiro: O módulo será 0 no arco de semicircunferência, pois é estritamente próprio. No eixo imaginário, a fase variará de menos 180 graus a menos 90 graus, devido ao polo simples p 1 maior do que 0. O módulo será 1 sobre p 1 ômega igual a 0 e a fase será menos 180 graus, pois p 1 será número positivo. Agora teremos dois casos: Caso A: K maior do que p 1, isso implica que: menos 1 sobre K, maior do que menos 1 sobre p 1, ou seja, o ponto onde a curva cruza o eixo real está à esquerda de menos 1 sobre K, o que significa uma volta no sentido anti-horário torno de menos 1 sobre K, como na figura. Então teremos N igual a menos 1, uma volta no sentido anti-horário, P igual 1, polo de malha aberta no semiplano direito e Z igual a N mais P igual a menos 1 mais 1 igual a 0, nenhum polo de malha fechada no semiplano direito. E o sistema malha fechada será estável para K maior do que p 1. No caso B, K menor do que p 1, isso implica que menos 1 sobre K menor do que menos 1 sobre p 1, ou seja, o ponto onde a curva cruza o eixo real está à direita de menos 1 sobre K, o que significa que a curva não dá nenhuma volta no sentido anti-horário torno de menos 1 sobre K, como na figura. Então teremos: N igual a 0, nenhuma volta, P igual a 1, polo de malha aberta no semiplano direito, e Z igual a N mais P igual a 0 mais 1 igual a 1, isto é: polo de malha fechada no semiplano direito. E o sistema malha fechada será instável para K menor do que p 1. Vamos agora para exemplo mais complexo com três polos. G de s igual a 1 sobre s vezes s menos p 1 vezes s menos p 2, com o produto p 1 p 2 maior do que 0, ou seja os dois polos tem o mesmo sinal. Temos que dividir isso dois casos p 1 e p 2 menor do que 0 e p 1 e p 2 maior do que 0. Vamos começar com p 1 e p 2 menor do que 0, caso A, isto é: dois polos de malha aberta no semiplano esquerdo. Primeiro lugar o módulo será 0 no arco de semi circunferência pois é estritamente próprio. Segundo no eixo imaginário, a fase variará de menos 90 graus, devido ao polo 0, a menos 270 graus, devido aos três polos simples. E o módulo será infinito ômega igual a 0 por causa do polo 0. Mas e quanto à fase? Vamos olhar com cuidado para o Contorno de Nyquist. Lembre-se de que uma hipótese para usar o princípio do argumento, era de que a função não tinha nenhuma raiz sobre o contorno. Esse claramente não é o caso, pois o polo 0 está sobre o contorno. Os outros dois polos não foram desenhados porque estão dentro ou fora do interior do contorno. Como lidar com este problema? A ideia é simples: fazer o contorno dar uma volta no polo, colocando-o para fora, como na figura: Contudo, para não deixar de fora do contorno os polos que estão no semiplano direito, fazemos esse arco de circunferência ter raio tendendo a 0. O que acontece então? Teremos s igual a r vezes e elevado a teta, com r tendendo a 0 e teta variando de menos 90 graus a mais 90 graus. conforme circundamos o polo na origem. Isso quer dizer que G de s vai variar sua fase de mais 90 graus a menos 90 graus com módulo infinito, pois este termo está no denominador trocando o sinal da fase e invertendo o raio. Assim teremos uma semicircunferência de raio infinito entre mais 90 graus e menos 90 graus como na figura. Juntando os dois gráficos, o diagrama completo fica como este dado na figura: Nesse caso como p 1 e p 2 menor que 0 isto é, há dois polos de malha aberta no semiplano esquerdo P igual a 0, para termos Z igual a 0, precisamos de N igual a 0, ou seja, não pode haver nenhuma volta torno de menos 1 sobre K. Isso é satisfeito para o ganho menos 1 sobre K 2 menor do que menos R, que menos R é onde a curva cruza o eixo real negativo. Então K 2 menor que 1 sobre R, estabiliza o sistema malha fechada. Qualquer valor de K 2 menor do que 0 também estabiliza o sistema, pois o ponto menos 1 sobre K 2 ficará no eixo real positivo, fazendo com que ele igual a 1. Assim: Z igual a P mais N igual a 0 mais 1 igual a 1. Então a faixa de valores de K para que o sistema esteja estável malha fechada é: 0 menor do que K 2 menor do que 1 sobre R. No segundo caso, caso B, temos p 1 e p 2 maiores do que 0, ou seja, há dois polos de malha aberta no semiplano direito. O arco de circunferência com raio infinito permanece o mesmo, mas os outros dois polos mudaram no final. Então, para traçar o Diagrama de Nyquist, nota-se que, primeiro: O módulo será 0 no arco da semicircunferência, pois é estritamente próprio. Segundo: no eixo imaginário, a fase variará de menos 450 graus, devido ao polo 0 e aos 2 polos no semiplano direito, a menos 270 graus, devido aos 3 polos simples. O módulo será infinito ômega igual a 0 por causa do polo 0, e ficamos com a seguinte figura: Como tem se dois polos de malha aberta no semiplano direito P igual a 2. A única forma de estabilizar o sistema é com duas voltas no sentido anti-horário, ou seja, ele igual a menos 2. Do diagrama isso nunca acontecerá, pois há no máximo uma volta no sentido anti-horário, o sistema será instável para qualquer valor de K. Podemos ter 1 2 ou mesmo 3 polos de malha fechada no semiplano direito. Eu recomendo que você pratique com muitos outros exemplos de sistemas, pois é necessária alguma desenvoltura para realizar esses esboços rapidamente. Mas o tempo gasto exercitando os esboços é muitas vezes compensado pelo tempo economizado no projeto. Segundo lugar, os programas de computador que traçam o Diagrama de Nyquist de forma automática, muitas vezes tem problemas com as escalas dos eixos, devido aos limites quando o módulo vai para 0 ou infinito. Saber qual é o formato esperado esboço é fundamental para interpretar corretamente diagramas obtidos com auxílio de computador. Nos próximos vídeos, vamos ver como obter a margem de ganho do sistema a partir do diagrama de Nyquist e verificar se estamos perto de estabilizar o sistema.
