Olá.
Neste vídeo você aprenderá a esboçar o diagrama
de Nyquist a partir apenas da função de transferência.
Vamos começar com exemplo simples, estritamente próprio e de primeira ordem.
T de s igual a 1 sobre s menos p 1 com p 1 menor do que 0.
Neste caso muito trivial, mas que já aparece uma ampla variedade de modelos
de sistemas podemos ver facilmente que: Primeiro, o módulo será
0 no arco onde esteve a circunferência, pois é estritamente próprio.
Segundo, no eixo imaginário,
a fase variará de 0 a menos 90 graus, devido ao polo simples.
Terceiro, o módulo será menos 1 sobre p 1 ômega igual
a 0 e a fase será 0 também, pois menos p 1 será número positivo.
O traçado a partir dessas observações fica como na linha azul cheia na figura,
a linha tracejada representa a parte refletida relação ao eixo real,
completando o esboço.
Nesse caso vemos que não há nenhum valor de K maior do
que 0 que faça a curva circundar o ponto menos 1 sobre K e também não há polos
de malha aberta no semiplano direito, isto é: N igual a 0 e P igual a 0,
logo: Z igual a N mais P igual a 0 mais 0 igual a 0.
Então não existe valor de K positivo que instabilize o sistema malha fechada.
No segundo caso vamos trocar o polo no semiplano esquerdo malha aberta,
por polo no semiplano direito, então teremos: G de s igual
a 1 sobre s menos p 1, agora com p 1 maior do que 0.
Observe que, primeiro: O módulo será 0 no arco de semicircunferência,
pois é estritamente próprio.
No eixo imaginário, a fase variará de menos 180 graus a menos 90 graus,
devido ao polo simples p 1 maior do que 0.
O módulo será 1 sobre p 1 ômega igual a 0 e a fase será
menos 180 graus, pois p 1 será número positivo.
Agora teremos dois casos: Caso A: K maior do que p 1,
isso implica que: menos 1 sobre K, maior do que menos 1 sobre p 1,
ou seja, o ponto onde a curva cruza o eixo real está à esquerda de menos 1 sobre K,
o que significa uma volta no sentido anti-horário torno de menos 1 sobre K,
como na figura.
Então teremos N igual a menos 1, uma volta no sentido anti-horário, P igual 1,
polo de malha aberta no semiplano direito e Z igual a N mais P igual a menos
1 mais 1 igual a 0, nenhum polo de malha fechada no semiplano direito.
E o sistema malha fechada será estável para K maior do que p 1.
No caso B, K menor do que p 1,
isso implica que menos 1 sobre K menor do que menos 1 sobre p 1,
ou seja, o ponto onde a curva cruza o eixo real está à direita de menos 1 sobre K,
o que significa que a curva não dá nenhuma volta no sentido anti-horário
torno de menos 1 sobre K, como na figura.
Então teremos: N igual a 0, nenhuma volta,
P igual a 1, polo de malha aberta no semiplano direito,
e Z igual a N mais P igual a 0 mais 1 igual a 1,
isto é: polo de malha fechada no semiplano direito.
E o sistema malha fechada será instável para K menor do que p 1.
Vamos agora para exemplo mais complexo com três polos.
G de s igual a 1 sobre s vezes s menos p 1 vezes s menos p 2,
com o produto p 1 p 2 maior do que 0, ou seja os dois polos tem o mesmo sinal.
Temos que dividir isso dois casos p 1 e p 2 menor do
que 0 e p 1 e p 2 maior do que 0.
Vamos começar com p 1 e p 2 menor do que 0, caso A,
isto é: dois polos de malha aberta no semiplano esquerdo.
Primeiro lugar o módulo será 0 no arco de semi circunferência pois é
estritamente próprio.
Segundo no eixo imaginário, a fase variará de menos 90 graus,
devido ao polo 0, a menos 270 graus, devido aos três polos simples.
E o módulo será infinito ômega igual a 0 por causa do polo 0.
Mas e quanto à fase?
Vamos olhar com cuidado para o Contorno de Nyquist.
Lembre-se de que uma hipótese para usar o princípio do argumento,
era de que a função não tinha nenhuma raiz sobre o contorno.
Esse claramente não é o caso, pois o polo 0 está sobre o contorno.
Os outros dois polos não foram desenhados porque estão dentro ou fora do interior do
contorno.
Como lidar com este problema?
A ideia é simples: fazer o contorno dar uma volta no polo, colocando-o para fora,
como na figura: Contudo, para não deixar de fora do contorno os polos que estão
no semiplano direito, fazemos esse arco de circunferência ter raio tendendo a 0.
O que acontece então?
Teremos s igual a r vezes e elevado a teta,
com r tendendo a 0 e teta variando de menos 90 graus a mais 90 graus.
conforme circundamos o polo na origem.
Isso quer dizer que G de s vai variar sua fase de mais 90 graus a menos 90
graus com módulo infinito, pois este termo está
no denominador trocando o sinal da fase e invertendo o raio.
Assim teremos uma semicircunferência de raio infinito entre mais 90 graus e menos
90 graus como na figura.
Juntando os dois gráficos, o diagrama completo fica
como este dado na figura: Nesse caso como p 1 e p 2 menor que 0 isto é,
há dois polos de malha aberta no semiplano esquerdo P igual a 0,
para termos Z igual a 0, precisamos de N igual a 0,
ou seja, não pode haver nenhuma volta torno de menos 1 sobre K.
Isso é satisfeito para o ganho menos 1 sobre K 2 menor do que menos R,
que menos R é onde a curva cruza o eixo real negativo.
Então K 2 menor que 1 sobre R, estabiliza o sistema malha fechada.
Qualquer valor de K 2 menor do que 0 também estabiliza o sistema, pois o ponto
menos 1 sobre K 2 ficará no eixo real positivo, fazendo com que ele igual a 1.
Assim: Z igual a P mais N igual a 0 mais 1 igual a 1.
Então a faixa de valores de K para que o sistema esteja estável malha
fechada é: 0 menor do que K 2 menor do que 1 sobre R.
No segundo caso, caso B, temos p 1 e p 2 maiores do que 0,
ou seja, há dois polos de malha aberta no semiplano direito.
O arco de circunferência com raio infinito permanece o mesmo,
mas os outros dois polos mudaram no final.
Então, para traçar o Diagrama de Nyquist, nota-se que, primeiro: O módulo
será 0 no arco da semicircunferência, pois é estritamente próprio.
Segundo: no eixo imaginário, a fase variará de menos 450 graus,
devido ao polo 0 e aos 2 polos no semiplano direito,
a menos 270 graus, devido aos 3 polos simples.
O módulo será infinito ômega igual a 0 por causa do polo 0,
e ficamos com a seguinte figura: Como tem se dois polos de
malha aberta no semiplano direito P igual a 2.
A única forma de estabilizar o sistema é com duas voltas no sentido anti-horário,
ou seja, ele igual a menos 2.
Do diagrama isso nunca acontecerá, pois há no máximo uma volta no
sentido anti-horário, o sistema será instável para qualquer valor de K.
Podemos ter 1 2 ou mesmo 3 polos de malha fechada no semiplano direito.
Eu recomendo que você pratique com muitos outros exemplos de sistemas,
pois é necessária alguma desenvoltura para realizar esses esboços rapidamente.
Mas o tempo gasto exercitando os esboços é muitas vezes compensado pelo tempo
economizado no projeto.
Segundo lugar, os programas de computador que traçam o Diagrama de Nyquist de forma
automática, muitas vezes tem problemas com as escalas dos eixos,
devido aos limites quando o módulo vai para 0 ou infinito.
Saber qual é o formato esperado esboço é fundamental para
interpretar corretamente diagramas obtidos com auxílio de computador.
Nos próximos vídeos, vamos ver como obter a margem de ganho do sistema a partir
do diagrama de Nyquist e verificar se estamos perto de estabilizar o sistema.
