Neste curso você aprenderá a obter a resposta em frequência de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT) e a usá-la para projetar controladores que atinjam requisitos de reposta transitória e em regime estacionário. Você aprenderá a obter o diagrama de Bode a partir de dados de amplitude e fase de entradas e saídas senoidais. Também será capaz de esboçar o diagrama de Bode de um sistema dada a sua função de transferência. Outrossim, será capaz de representar a resposta em frequência na carta de Nichols-Black. A fim de se determinar a estabilidade do sistema, você aprenderá a aplicar o critério de Nyquist, que faz uso da resposta em frequência em malha aberta e permite determinar se um sistema será estável em malha fechada. Ao fim do curso, você será capaz de projetar controladores com dinâmica, isto é, com polos e zeros, portanto mais complexos do que um simples ganho de realimentação. Essa flexibilidade permitirá que você projete controladores para satisfazer simultaneamente requisitos de sobressinal e tempo de resposta que seriam impossíveis de atender com um simples ganho. Também poderá com isso alterar as características da resposta em regime estacionário, aumentando as constantes de erro sem alterar (muito) a resposta transitória. Por fim, você aprenderá a projetar controladores do tipo PD, PI e PID, que estão entre os mais disseminados em aplicações de engenharia de controle.
Esboço do diagrama de Nyquist a partir da Função de Transferência.
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來自 Instituto Tecnológico de Aeronáutica 的課程
Controle Usando a Resposta em Frequência
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Diagrama de Nyquist. Atraso.
Você aprenderá a representar a resposta em frequência na forma polar e a usar essa representação para avaliar a estabilidade do sistema em malha fechada. Para isso, usará o chamado critério de Nyquist, que permite que você determine quantos polos de malha fechada o sistema terá no semiplano direito. Você também aprenderá a computar o efeito do retardo de tempo na resposta em frequência do sistema e a estimar os efeitos que isso terá na resposta temporal.
與講師見面
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Olá.
Neste vídeo você aprenderá a esboçar o diagrama
de Nyquist a partir apenas da função de transferência.
Vamos começar com exemplo simples, estritamente próprio e de primeira ordem.
T de s igual a 1 sobre s menos p 1 com p 1 menor do que 0.
Neste caso muito trivial, mas que já aparece uma ampla variedade de modelos
de sistemas podemos ver facilmente que: Primeiro, o módulo será
0 no arco onde esteve a circunferência, pois é estritamente próprio.
Segundo, no eixo imaginário,
a fase variará de 0 a menos 90 graus, devido ao polo simples.
Terceiro, o módulo será menos 1 sobre p 1 ômega igual
a 0 e a fase será 0 também, pois menos p 1 será número positivo.
O traçado a partir dessas observações fica como na linha azul cheia na figura,
a linha tracejada representa a parte refletida relação ao eixo real,
completando o esboço.
Nesse caso vemos que não há nenhum valor de K maior do
que 0 que faça a curva circundar o ponto menos 1 sobre K e também não há polos
de malha aberta no semiplano direito, isto é: N igual a 0 e P igual a 0,
logo: Z igual a N mais P igual a 0 mais 0 igual a 0.
Então não existe valor de K positivo que instabilize o sistema malha fechada.
No segundo caso vamos trocar o polo no semiplano esquerdo malha aberta,
por polo no semiplano direito, então teremos: G de s igual
a 1 sobre s menos p 1, agora com p 1 maior do que 0.
Observe que, primeiro: O módulo será 0 no arco de semicircunferência,
pois é estritamente próprio.
No eixo imaginário, a fase variará de menos 180 graus a menos 90 graus,
devido ao polo simples p 1 maior do que 0.
O módulo será 1 sobre p 1 ômega igual a 0 e a fase será
menos 180 graus, pois p 1 será número positivo.
Agora teremos dois casos: Caso A: K maior do que p 1,
isso implica que: menos 1 sobre K, maior do que menos 1 sobre p 1,
ou seja, o ponto onde a curva cruza o eixo real está à esquerda de menos 1 sobre K,
o que significa uma volta no sentido anti-horário torno de menos 1 sobre K,
como na figura.
Então teremos N igual a menos 1, uma volta no sentido anti-horário, P igual 1,
polo de malha aberta no semiplano direito e Z igual a N mais P igual a menos
1 mais 1 igual a 0, nenhum polo de malha fechada no semiplano direito.
E o sistema malha fechada será estável para K maior do que p 1.
No caso B, K menor do que p 1,
isso implica que menos 1 sobre K menor do que menos 1 sobre p 1,
ou seja, o ponto onde a curva cruza o eixo real está à direita de menos 1 sobre K,
o que significa que a curva não dá nenhuma volta no sentido anti-horário
torno de menos 1 sobre K, como na figura.
Então teremos: N igual a 0, nenhuma volta,
P igual a 1, polo de malha aberta no semiplano direito,
e Z igual a N mais P igual a 0 mais 1 igual a 1,
isto é: polo de malha fechada no semiplano direito.
E o sistema malha fechada será instável para K menor do que p 1.
Vamos agora para exemplo mais complexo com três polos.
G de s igual a 1 sobre s vezes s menos p 1 vezes s menos p 2,
com o produto p 1 p 2 maior do que 0, ou seja os dois polos tem o mesmo sinal.
Temos que dividir isso dois casos p 1 e p 2 menor do
que 0 e p 1 e p 2 maior do que 0.
Vamos começar com p 1 e p 2 menor do que 0, caso A,
isto é: dois polos de malha aberta no semiplano esquerdo.
Primeiro lugar o módulo será 0 no arco de semi circunferência pois é
estritamente próprio.
Segundo no eixo imaginário, a fase variará de menos 90 graus,
devido ao polo 0, a menos 270 graus, devido aos três polos simples.
E o módulo será infinito ômega igual a 0 por causa do polo 0.
Mas e quanto à fase?
Vamos olhar com cuidado para o Contorno de Nyquist.
Lembre-se de que uma hipótese para usar o princípio do argumento,
era de que a função não tinha nenhuma raiz sobre o contorno.
Esse claramente não é o caso, pois o polo 0 está sobre o contorno.
Os outros dois polos não foram desenhados porque estão dentro ou fora do interior do
contorno.
Como lidar com este problema?
A ideia é simples: fazer o contorno dar uma volta no polo, colocando-o para fora,
como na figura: Contudo, para não deixar de fora do contorno os polos que estão
no semiplano direito, fazemos esse arco de circunferência ter raio tendendo a 0.
O que acontece então?
Teremos s igual a r vezes e elevado a teta,
com r tendendo a 0 e teta variando de menos 90 graus a mais 90 graus.
conforme circundamos o polo na origem.
Isso quer dizer que G de s vai variar sua fase de mais 90 graus a menos 90
graus com módulo infinito, pois este termo está
no denominador trocando o sinal da fase e invertendo o raio.
Assim teremos uma semicircunferência de raio infinito entre mais 90 graus e menos
90 graus como na figura.
Juntando os dois gráficos, o diagrama completo fica
como este dado na figura: Nesse caso como p 1 e p 2 menor que 0 isto é,
há dois polos de malha aberta no semiplano esquerdo P igual a 0,
para termos Z igual a 0, precisamos de N igual a 0,
ou seja, não pode haver nenhuma volta torno de menos 1 sobre K.
Isso é satisfeito para o ganho menos 1 sobre K 2 menor do que menos R,
que menos R é onde a curva cruza o eixo real negativo.
Então K 2 menor que 1 sobre R, estabiliza o sistema malha fechada.
Qualquer valor de K 2 menor do que 0 também estabiliza o sistema, pois o ponto
menos 1 sobre K 2 ficará no eixo real positivo, fazendo com que ele igual a 1.
Assim: Z igual a P mais N igual a 0 mais 1 igual a 1.
Então a faixa de valores de K para que o sistema esteja estável malha
fechada é: 0 menor do que K 2 menor do que 1 sobre R.
No segundo caso, caso B, temos p 1 e p 2 maiores do que 0,
ou seja, há dois polos de malha aberta no semiplano direito.
O arco de circunferência com raio infinito permanece o mesmo,
mas os outros dois polos mudaram no final.
Então, para traçar o Diagrama de Nyquist, nota-se que, primeiro: O módulo
será 0 no arco da semicircunferência, pois é estritamente próprio.
Segundo: no eixo imaginário, a fase variará de menos 450 graus,
devido ao polo 0 e aos 2 polos no semiplano direito,
a menos 270 graus, devido aos 3 polos simples.
O módulo será infinito ômega igual a 0 por causa do polo 0,
e ficamos com a seguinte figura: Como tem se dois polos de
malha aberta no semiplano direito P igual a 2.
A única forma de estabilizar o sistema é com duas voltas no sentido anti-horário,
ou seja, ele igual a menos 2.
Do diagrama isso nunca acontecerá, pois há no máximo uma volta no
sentido anti-horário, o sistema será instável para qualquer valor de K.
Podemos ter 1 2 ou mesmo 3 polos de malha fechada no semiplano direito.
Eu recomendo que você pratique com muitos outros exemplos de sistemas,
pois é necessária alguma desenvoltura para realizar esses esboços rapidamente.
Mas o tempo gasto exercitando os esboços é muitas vezes compensado pelo tempo
economizado no projeto.
Segundo lugar, os programas de computador que traçam o Diagrama de Nyquist de forma
automática, muitas vezes tem problemas com as escalas dos eixos,
devido aos limites quando o módulo vai para 0 ou infinito.
Saber qual é o formato esperado esboço é fundamental para
interpretar corretamente diagramas obtidos com auxílio de computador.
Nos próximos vídeos, vamos ver como obter a margem de ganho do sistema a partir
do diagrama de Nyquist e verificar se estamos perto de estabilizar o sistema.
