Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики. С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса. Курс построен так, что будет по плечу даже тем, кто изучал математику последний раз только в школе. Тем не менее, так как для понимания курса необходимы знания основ комбинаторики, мы рекомендуем пройти наш курс по комбинаторике прежде чем прослушивать данный курс. Внутри курса также все просто – каждую неделю вас ждут видеолекции и проверочные задания, которые нужно выполнять в срок. В конце – итоговая проверочная работа. Студенты, которые набрали достаточное количество баллов, смогут получить сертификат.
Первый способ определения вероятности в парадоксе Бертрана
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Теория вероятностей для начинающих
298 個評分
從本節課中
Бесконечные вероятностные пространства
Задача о встрече. Геометрическая вероятность. Парадокс Бертрана. Бесконечное множество элементарных исходов. Колмогоровская аксиоматика.
與講師見面
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
кафедра дискретной математики МФТИ
Максим Жуковскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Ну конечно, вы мне скажете, как и большинство тех студентов,
с которыми я до сих пор общался, что «ну так очевидно как определять случайность,
тут есть только одно определение случайности», скажете вы.
Какое?
Ну в самом деле, давайте возьмём случайную точку на окружности,
случайную в том же смысле, в котором мы вот здесь это понимали.
То есть давайте считать, что вот эта вот окружность,
давайте её как-нибудь обозначим: S.
Вот S — это будет обозначение для нашей окружности, вот она,
это окружность S большое, — вот давайте считать, что наша Ω,
вот то самое, которое здесь принадлежит, которое здесь вложено в плоскость,
— это есть в точности S, вот взяли такое множество точек на плоскости.
Теперь выбираем в нём произвольное подмножество вот в этом Ω,
которое у нас является нашей окружностью, и считаем,
что вероятность попадания случайной точки, случайной точки в это подмножество,
вероятность попадания в A — это есть,
по определению, мы же находимся в рамках геометрической вероятности,
значит должны действовать так, как здесь написано,
то есть по определению: μ (A) поделить на μ(S).
Внимание, что такое μ(S)?
Разумеется, мы не собираемся сейчас считать площадь этой окружности как
подмножество плоскости.
Конечно, с точки зрения плоскости,
площадь одномерной окружности вот такой вот кривулечки тоненькой, да,
бесконечно тоненькой равняется 0, но не хотим же мы делить на 0.
Разумеется, мы понимаем площадь окружности в данном случае не как площадь,
а как её длину.
То есть здесь у нас стоит в знаменателе длина окружности радиуса 1.
Чему она там у нас равняется?
2π, наверное, да?
Уже хорошо, можем вычислить длину окружности, это большое событие.
Хорошо, 2π.
Ну, а в числителе стоит длина просто.
Даже не длина, а вот,
так сказать, суммарная длина тех частей множества A,
как вот оно расположено на этой окружности.
То есть, если A, например, это какая-нибудь дуга, если A, например,
это какая-нибудь дуга, то μ (A) — это просто длина этой дуги,
которую можно тоже легко вычислить по известным школьным формулам.
Если A — это какой-то набор из отдельных дуг, ну тогда это сумма длин.
А дальше начинаются тонкости, про которые я обещал говорить позже, связанные с тем,
что не у каждого множества, вообще говоря, можно померить площадь.
Ну а в данном случае не у каждого множества можно померить такую вот
суммарную длину.
Но, тем не менее, если A — это какое-то разумное подмножество окружности,
то мы вполне можем считать, что вероятность попадания случайной точки в
множество A находится вот по этой формуле.
И именно в этом смысле мы выбираем случайную точку,
давайте назовём её как-нибудь x, чтобы отличать от всех остальных точек,
которые я здесь нарисовал, выбираем случайную точку на нашей окружности в
соответствии вот с этим вот геометрическим определением вероятности.
Затем как бы закрываем глаза на то, как мы выбрали x, ну, подобно тому,
как Коля приходил на остановку независимо от Васи: то есть Коля пришёл,
независимо Вася пришел, выбрали вот эту случайную точку,
независимо выбираем случайную точку y,
опять же согласно вот этому геометрическому определению вероятности.
То есть вероятность того, что эта случайная точка попадёт в некоторое
конкретное множество произвольное, — это есть условно суммарная длина,
так сказать, площадь такая вот, одномерная площадь этого множества, поделённая на 2π.
Вот у нас получилось две случайных точки.
Давайте считать, что случайная хорда — это отрезок, который их соединяет.
Вот повторяю, что мой опыт показывает, что сколько я студентов ни спрашивал,
они предлагают прежде всего именно вот эту вот простую конструкцию случайной хорды:
взять одну случайную точку, независимо от неё вторую, и в итоге соединить.
Хорошо, давайте прежде всего поймём,
что вот если так определить вероятность, вернее,
даже не вероятность, а случайность хорды, то вероятность события,
которое нас интересует, нужно вычислять следующим образом.
Так.
Но смотрите: прежде всего легко сообразить,
особенно если вспомнить формулу полной вероятности.
Вот если так её в голове держать, формулу полной вероятности,
которую мы с вами когда-то доказали, легко сообразить,
что в общем-то неважно, куда попала точка x.
Можно без ограничения общности, как принято говорить в математике,
считать, что точка x находится в какой-то конкретной совершенно позиции.
Ну, давайте я нарисую отдельную картинку.
Можно вполне себе считать, что x находится вот здесь,
в таком апогее что ли этой окружности, в самой верхней точке.
То есть если здесь у нас есть какая-то система координат,
то х — это точка,у которой координата по абсциссе равняется 0,
а по ординате равняется 1: у нас же окружность радиуса 1.
Вот можно считать без ограничения общности, что x находится здесь,
что дальше, пользуясь формулой полной вероятности,
мы просто просуммируем все возможные числа,
которые получаются в зависимости от расположения точки x на окружности.
Вот, хорошо, считаем, что x находится здесь, а y по-прежнему случайно,
согласно вот этому вот определению геометрической вероятности,
то есть y находится в каком-то случайном месте относительно x,
но теоретически может попасть и в x, но это, конечно, произойдёт с вероятностью 0.
Вот есть такая случайная точка.
Ну и с какой же вероятностью теперь наша случайная хорда
имеет длину большую, чем сторона правильного вписанного треугольника?
Значит вот у нас эта случайная хорда, и длина этой случайной хорды
должна быть больше, чем длина стороны правильного вписанного треугольника.
Ну, вообще я так нарисовал, что у меня окажется вот это вот
прямо будет выглядеть, как правильный вписанный треугольник.
Но вот если y начать двигать вот в эту сторону,
то длина нашей случайной
хорды будет оказываться всё больше и больше, очевидно, и будет, наконец,
превосходить длину стороны правильного вписанного треугольника.
То есть множество точек y, множество позиций для точки y,
которые благоприятствуют нашему событию, множество позиций для точки y,
в результате которых длина случайной хорды окажется больше, чем длина стороны
правильного вписанного треугольника, — это в точности – вот эта вот дуга A.
То есть вероятность того,
что длина хорды больше
длины стороны правильного треугольника,
— это в точности вероятность попадания случайной точки,
вот давайте я буду писать прямо так, как здесь в этом определении,
попадание случайной точки вот в это конкретное множество A, вот в эту дугу.
То есть это есть площадь, длина этой
дуги поделить на 2π, на длину всей окружности.
А длина дуги-то какая?
Да её не надо даже считать.
На самом деле понятно,
что длина этой дуги составляет просто треть от длины всей окружности.
То есть это получается 1/3.
И всё.
Вот если точка находится на этой дуге, то событие наше выполнено,
если не находится, то не выполнено, и вероятность, очевидно, равняется 1/3.
Ну и никакого парадокса, все понятно, да: взяли случайную хорду,
естественнейшим образом её определили.
Но тут есть тонкость, тонкость, состоящая в том, что, как видите,
на самом деле x-то можно было считать «вкопанным», не случайным,
как это было в изначальном определении, а забитым гвоздём в каком-то определённом
месте, как мы сказали, без ограничения общности.
То есть, на самом деле мы случайную хорду определяли не двумя точками,
а фактически только одной.
Ну давайте сейчас я вам возьму и предложу ещё один пример вполне
себе корректного определения случайности хорды,
в результате которого вероятность получится другой.
И вот это как раз смущало людей.
