Помните, когда мы выписывали свойства классической вероятности,
мы, в частности, говорили для классической вероятности...
Классическая вероятность.
И то же самое верно в в любом конечном вероятностном пространстве,
но вот для классической вероятности мы это просто явно выписывали.
Мы говорили, в частности, так, что вероятность
события A = 0, то есть событие невозможно,
тогда и только тогда, когда A – это пустое множество Ø.
То есть когда вообще нет ни одного элементарного исхода,
который благоприятствует событию A.
Вот видно, что в том определении, которое мы сейчас дали,
есть вот эта важная тонкость.
Оказывается, в геометрии – это не так.
В геометрии:
если A = Ø,
то, конечно же, P(A) = 0.
Или...
Ну, что то же самое, если P(A) > 0,
вот чем мы пользовались в этой задаче, например,
если P(A) > 0, то, конечно, A ≠ Ø.
То есть такие ситуации бывают.
Это одно и то же написано, просто два равносильных утверждения,
написанных в разном порядке.
Вот, а обратное неверно.
Обратное неверно.
Это важная тонкость.
Бывают непустые множества,
вероятность попадания в которые тем не менее равняется нулю.
Это такой, в общем, философский момент – насколько мы готовы признавать подобное.
Но вот так вот работает современная теория вероятностей во многом.
Нам приходится с этим мириться.
Считается по определению...
А определение мы вроде с вами аккуратно замотивировали на основе задачи про Колю и
Васю и их встречу.
Считается, что вероятность, например,
попасть в конкретную точку в этом квадрате, в конкретную точку, равна нулю,
потому что мера вот, вероятность, площадь этой точки она же равна нулю.
Более того, если мы возьмем какую-нибудь, так сказать,
одномерную штуковину, окружность, – не круг, а именно окружность,
– внутри этого квадрата, то вероятность попадания случайной точки на окружность,
ну вроде как, тоже окажется равной нулю,
потому что площадь окружности в любом естественном смысле равняется нулю.
Вот, вероятность попать в такой, как бы сказать, немясистый, что ли,
нежирный объект, она равняется нулю.
Такая вот хитрая тонкость.
Вы закрываете глаза, тыкаете в этот квадрат, вы в какую-то точку попадете,
но в каждую отдельно взятую точку и даже в целое множество точек вы,
вообще-то, попадаете по определению с вероятностью ноль.
Это такой важный момент, с которым, конечно,
приходится в рамках этого определения мириться.
Ну а дальше все-таки возникает сложность.
И сложность связана с тем, что, как я уже сказал,
не у каждого множества внутри квадрата даже или внутри какого-то Ω,
с которым мы работаем, можно посчитать площадь.
Это такой тонкий вопрос называется теорией меры.
Площади в математике называются «меры».
И это такой тонкий вопрос в теории меры – что значит посчитать площадь?
Есть разные определения площади.
Можно определять площадь, то что называется, по Жордану.
Можно определять площадь, то что называется, по Лебегу.
Обычно в теории вероятностей такую стандартную меру предполагают лебеговской.
Но это что бы это ни значило, то есть я сейчас в такие дебри забираться
не собираюсь, а что я хочу сказать, что я сейчас сделаю обязательно –
это переход к аксиоматике Колмогорова.
То есть я сейчас постараюсь замотивировать то, по сути, великое событие,
которое заложило основы современной теории вероятностей.
Это произошло окончательно в 1933 году,
когда великий российский, советский математик Андрей Николаевич Колмогоров –
тогда еще очень молодой человек – взял на себя, по сути, смелость сказать,
что вот он готов заложить фундамент теории вероятностей так,
чтобы в этот фундамент укладывалось все: и геометрическая вероятность, как мы ее
сейчас определили; и классическая вероятность; и схемы испытаний Бернулли; и
еще масса других конструкций, о которых мы даже и не станем сейчас говорить.
Вот сейчас я к этому и перейду.