Мы с вами разобрались в том, что такое классическое определение вероятности, и даже привели замечательный пример комбинаторной задачи, которая может быть красиво решена с помощью этого самого классического определения. Конечно, про эту саму комбинаторную задачу можно очень много говорить, но все-таки у нас курс не по комбинаторике, а по теории вероятности, поэтому давайте я про комбинаторную задачу больше говорить не буду, а порассуждаю про новую тему, очень важную, и давайте пока оставаться для простоты в рамках все того же классического определения вероятности, то есть считать, что никаких других вероятностных моделей у нас нету, а так по факту и есть у нас: действительно, нет никаких моделей, кроме классической. Давайте рассмотрим такое важное понятие, как условная вероятность, и естественным образом вытекающее из этого понятия понятие независимости событий. Условная вероятность, независимость событий. Ну, начнем все-таки с условной вероятности, а про пафос того, что такое независимость и как она важна в науке, я порассуждаю несколько позже. Условная вероятность. Так. Давайте вернемся к нашей замечательной задаче про игральную кость, с которой мы начинали определение, классическое определение вероятности. Игральная кость. У нее всего есть шесть элементарных исходов, которые по-прежнему равновероятны, то есть вероятность каждого из них равна единице поделить на 6. И вот мы ее бросаем на стол. Представьте себе, что игра устроена так: крупье сообщает нам, какой стороной, какая четность стороны кости, но не сообщает, чему она равна, то есть он не говорит, два это, четыре или шесть, он говорит лишь нам, что это четная, например, сторона, или что это сторона нечетная, то есть мы знаем откуда-то, например, от крупье, что произошло некоторое событие В. Оно уже произошло. Можно ли каким-то наиболее естественным образом определить вероятность события B, хотя бы в рамках классического определения вероятности, определить эту вероятность, использовав вот это дополнительное знание о том, что событие B уже реализовалось. Ну, например, с какой вероятностью случится событие A, состоящее в том, что кость выпадает стороной 1 кверху, если мы знаем, вот это обычно рисуется так: ставится черточка вертикальная и говорится, если мы знаем, что произошло событие B, которое состоит в том, что кость выпала четной стороной кверху. Четной стороной кверху. Ну, я не знаю, по-моему, это совершенно издевательский вопрос, если мы знаем, что четность, что кость выпала четной стороной кверху, то, наверное, она никак не может выпасть стороной единицей. Сторона четная, как же она может равняться единице? То есть кажется естественным считать, что это равняется нулю. С другой стороны, если мы вот здесь вот единицу заменим, скажем, двойкой, тогда это вполне разумная ситуация. Да, мы знаем, что кость выпала четной стороной кверху. Нам нужно посчитать вероятность при этом дополнительном знании того, что кость выпадает стороной 2, но тоже, вроде бы, понятно, если мы знаем, что кость выпала четной стороной кверху, значит, на самом деле вся вселенная наших возможностей, все пространство элементарных исходов сузилось до вот этого события В, которому теперь благоприятствуют только двойка, четверка и шестерка. И среди вот этого множества благоприятствующих событий, в свою очередь, событию А благоприятствует только одно, состоящее в том, что кость выпала именно стороной 2 кверху. Понятно, что в соответствии с канонами классического определения вероятности нужно просто считать, что это 1 поделить на 3. Только одно событие из тех трех, которые реализовались, коль скоро произошло событие В. Но, по-моему, очень естественное определение. Тогда в общем случае у нас картина такая: есть пространство элементарных исходов Ω1, ..., Ωn. Мы знаем, что произошло событие, которому благоприятствуют какие-то из этих элементарных исходов. Давайте их назовем, скажем, Ωi1, ..., Ωik. Предположим, внимание, что k все-таки, ну, что, впрочем, естественно, не меньше 1, то есть что наше событие все-таки не пустое, все-таки возможное, его вероятность не равна 0. Вот это вот условие B. И есть еще какое-то событие A, вероятность которого мы хотим посчитать при условии того, что вот это конкретное событие B уже реализовалось. Это мы знаем. Но опять, мы знаем, что произошел ровно один из вот этих коэлементарных исходов. Ничего другого произойти не могло. Нам уже сообщили, что событие B реализовалось. Ясно, что в знаменателе надо поставить вот это число k или, если хотите, мощность B. Мощность B – это как раз и есть число k. Количество элементарных исходов, которые благоприятствуют событию B, а в числитель надо поставить те из вот этих благоприятствующих событию B исходов, которые, в свою очередь, благоприятствуют событию A. Этот момент очень естественно обозначить как мощность пересечения A и B, то есть нам нужно посмотреть, какие элементарные исходы, благоприятствующие событию A, есть среди элементарных исходов, успевших реализоваться, коль скоро мы знаем, что B произошло. Ну, а теперь для красоты слога делим сверху на мощность Ω, то есть на величину n, и делим знаменатель на ту же самую мощность Ω, то есть на ту же самую величину n. Сверху у нас получается вероятность пересечения, снизу получается вероятность B. Повторяю, мы все время находимся в рамках классического определения вероятности. Вот такая вот замечательная формула, определяющая условную вероятность. И смотрите, я мог сказать. Давайте, есть событие B, вероятность которого не равняется 0. Давайте по определению будем считать, что условная вероятность события A при условии события B. Вот она так обозначается. Это есть просто отношение вероятности пересечения к вероятности условия. Я мог просто это сказать и больше не давать никаких комментариев, но суть заключается в том, что это определение очень естественное, и я постарался это прокомментировать. Я надеюсь, что после этих вот комментариев, которые здесь даны, такое определение становится максимально четко и понятно мотивированным. Вот, ну, повторяю, здесь предполагается, что вероятность B не равняется 0. В случае когда вероятность условия равняется 0, обычно доопределяют условную вероятность нулем. Просто говорят, что по определению, если вероятность B равна 0, считаем, что вероятность A при условии B тоже равна 0. Вот такое естественное соглашение. Очень простая штука. Давайте еще вот что заметим. Если вот в этом равенстве, которое определяет условную вероятность, слева и справа домножить на знаменатель, то есть на вероятность события B, то у нас получится вот такая вот удобная запись. Она нам еще пригодится в дальнейшем. В классической науке называется теорема умножения. Вот так вот сложилось. Нельзя сказать, что здесь какая-то сложная теорема была доказана, но просто вот так принято этот факт, эту формулу называть. Называется «теорема умножения».
