Ну, ладно. Добрый день друзья. Сегодня мы продолжим заниматься свойствами различных случайных величин, применим их, в том числе, для решения каких-то вполне конкретных задач, ну, изучим какие-то классические законы, которые касаются поведения этих случайных величин. Я надеюсь, что будет достаточно развлекательно. Так, ну, давайте начнем со следующего. Вот мы с вами хорошо знаем, что такое независимые события. Что значит, два события независимы — это мы с вами уже, конечно, обсуждали и достаточно подробно изучали. А вот есть у нас, допустим, две каких-то случайных величины. Ну, на каком-то конечном вероятностном пространстве они действуют. Вот что значит, что эти случайные величины независимы? Как определить независимость двух случайных величин? Ну, давайте так. Пусть ξ на Ω, принимает какие-то значения, скажем, x1, ..., xn. А η на том же самом Ω принимает значение y1, ..., yn. Ну, понятно, что значение — конечное число, потому что пространство у нас конечное. Давайте скажем, что ξ и η — независимы. ξ и η — независимы. Если, ну, в данном случае можно сказать так: для любых i, j где i меняется в пределах от 1 до n, а j меняется в пределах от 1 до m, вероятность того, что ξ = xi, а η одновременно равняется yj-тому, то есть вот эта запятая означает, что мы просто пересекаем два события. Одно из них состоит в том, что ξ приняло значение xi-тое, то есть это множество таких элементарных исходов из Ω большого на которых ξ принимает значение xi-тое, а η — множество тех элементарных исходов, на которых η принимает значение yj-тое. Так вот, если вероятность пересечения этих двух событий есть произведение их вероятностей, и это верно для любых двух i и j индексов из соответствующих множеств, то мы говорим, что случайные величины независимы. Так, как и в случае событий, отдельных, также и в случае случайных величин, можно рассматривать целые наборы случайных величин ξ1, ξn, и тоже говорить о какой-то независимости случайных величин внутри этих наборов. Ну, конечно, можно говорить, что такие случайные величины попарно независимы. Ну, попарно независимы — это понятно. Это просто означает, что каждые две из них независимы в том смысле, в котором мы только что определили. Но можно говорить и о независимости в совокупности. И это гораздо более важное, на самом деле, условие. Можно говорить о независимости в совокупности. Ну, или что тоже самое, взаимной независимости. Помните, что это было для случая событий? Взаимная независимость. Попарной независимости достаточно не было. Для того чтобы говорить о взаимной независимости корректно, нам нужно было утверждать, что каждый набор событий из некоторого множества, каждый поднабор событий из некоторого множества, устроен таким образом, что вероятность пересечения элементов этого поднабора — это произведение их вероятностей. Вот здесь будет тоже самое. Давайте так. Скажем, что случайные величины независимы в совокупности. Так, если для любого k, для любого набора чисел i1, ..., ik — это различные числа, каждое из которых находится в пределах от 1 до n. То есть это будущие индексы наших случайных величин ξ1, ξn, ξ там с каким-то индексом i1, ξ с каким-то индексом ik. Ну, вот давайте еще зафиксируем значение. Для любых значений... Ну, как бы их обозначить то? Так, xi1, ..., xik, выполнено следующее: вероятность того, что ξ1, ой, извините ξi1, равняется xi1, ..., ξik = xik, вероятность такого одновременного выполнения событий, то есть пересечения вот всех этих k-случаев, это есть вероятность того, что ξi1 = xi1 умножить, и так далее, умножить на вероятность того, что ξik = xik. Ну, вот как я и говорил. Для любого поднабора, в данном случае, мощности k, поднабора из множества наших случайных величин и для любого множества значений, которые элементы этого поднабора могут принимать, вероятность одновременного принятия этих значений — это произведение вероятностей. Вот тогда мы говорим о том, что наши случайные величины независимы в совокупности. Ну, давайте так. Пример ситуации, когда случайные величины ξ1, ..., ξn попарно независимы, но зависимы в совокупности, я сам здесь приводить не буду, потому что даже когда мы говорили с вами про события, я тоже предлагал привести этот пример в качестве упражнения. Но если вы сумели привести такой пример для случая событий, то, конечно, для случайных величин, сделать пример уже не составляет труда. Потому что давайте возьмем какие-то события a1, ..., an, которые независимы попарно, но зависимы в совокупности, и самое простое, что можно сделать для того, чтобы получить из событий случайные величины, это взять индикаторы этих событий. То есть давайте, ξ1 — это будет индикатор события a1, то есть в каждой точке Ω это есть 1. Если Ω попала в a1, и 0 в противном случае, 0 иначе. Ну, и точно также определяем ξn, и каждую промежуточную случайную величину, как индикатор соответствующего события. Нетрудно проверить, что если действительно события были независимы в совокуп... попарно, извините, но зависимы в совокупности, то соответствующие индикаторы тоже будут независимы попарно, но зависимы в совокупности. Вот, так что с этим примером никаких больших трудностей нету.
