Pour finir cette séance et à titre d'exemple, je vous montre un,
une densité non triviale de vecteurs aléatoires qui va être une généralisation
de la variable aléatoire normale que l'on a définie dans le cours 3 et pour définir
cette densité, nous allons introduire un vecteur de R puissance n que je note petit
m et une matrice grand C symétrique définie positive hein, donc elle est
définie positive donc je vais pouvoir définir son inverse que je note C -1,
C indice -1 et on dira que le vecteur aléatoire grand X à valeurs dans
Rn est un vecteur aléatoire gaussien si sa densité a la forme suivante.
Donc, vous voyez c'est une généralisation de la densité d'une loi normale, c'est,
f de x sera 1 sur 2 pi puissance n sur 2 fois racine du déterminant de C,
hein, c'et ça la généralisation de l'écart type à la, pour un vecteur de taille n,
c'est la racine du déterminant de cette matrice grand
C fois l'exponentielle de moins un demi du vecteur transposé de x moins m
fois l'inverse de la matrice C fois le vecteur x moins m
pour petit x donc un vecteur quelconque de R puissance n.
Donc, ici, je vous ai rappellé ce que voulait dire donc cette notation
matricielle que j'ai indiquée ici.
Donc, si les Cij sont les coordonnées de la matrice grand C ici je regarde C
moins 1, l'inverse de C en fait, ici, ce qui intervient donc,
cette quantité-là dans l'exponentielle est égale à somme sur tous les ij du
coéfficient ij de la matrice inverse de C fois xi moins m fois xj moins m.
Eh bien si vous définissez un tel vecteur, le calcul peut
vous permettre de montrer que l'espérance de X est égale à cette quantité-là
petit m hein qui est un vecteur de Rn et la matrice de covariance de X est égale à
cette matrice symétrique définie positive grand C que l'on a introduite a priori.
Hein, donc, vous avez une généralisation ici de ce qu'on avait observé pour
une lui normale, hein, d'être paramétrée donc par son espérance et sa variance.
Donc, je vous ai juste montré une simulation de, d'une telle densité
dans le cas n égal 2 où vous voyez que avez une vraie cloche ici qui se dessine
et qui représente ici la fonction densité f de x pour X un vecteur de Rn.