Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Deux manières de tirer sans remise
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)
Nous poursuivons le Cours 1 avec l'étude des lois de probabilités uniformes sur des espaces d'état finis. Puis nous abordons la définition générale d'une probabilité avec notamment la notion de « tribu ».
與講師見面
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[AUDIO_VIDE] Bonjour,
bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'Ecole Polytechnique.
Nous allons présenter un exercice qui s'appelle 2 manières de tirer sans remise.
Une urne contient grand N boules
dont grand N indice 1 sont rouges et les autres non, d'une autre couleur donc.
Une expérience aléatoire consiste à tirer sans remise n boules dans le rang,
petit n boules dans le rang.
Et à compter le nombre de boules rouges ainsi obtenues.
Nous allons étudier 2 manières différentes d'effectuer ce tirage sans remise.
Première question, les petit n boules sont tirées ensemble d'un seul coup.
Petit a, proposer un espace de probabilité uniforme grand Oméga pour modéliser cette
expérience aléatoire.
Petit b, calculer pour petit n1 compris entre 0 et n
les probabilités h de n1 d'obtenir petit n1 boules rouges.
Deuxième question, les n boules sont tirées successivement, une à une.
Petit a, proposer un espace de probabilité uniforme grand Oméga prime
pour modéliser cette expérience aléatoire.
Petit b, calculer pour petit n1 compris entre 0 et petit n
les probabilité h prime de petit n1 d'obtenir petit n1 boules rouges.
Troisème question, vérifier que h de petit n1
est égal à h prime de petit n1 pour tout n1 compris entre 0 et petit n.
Donc vérifier par le calcul et par un argument combinatoire.
On obtient ainsi la loi hypergéométrique.
Voici la solution de l'exercice sur 2 manières de tirer sans remise.
La première question, on supposait que
que les petit n boules étaient prises toutes ensemble et d'un seul coup.
Donc petit a on demandait un espace grand Oméga
pour modéliser l'expérience aléatoire.
L'espace grand Oméga naturel c'est l'ensemble des sous-ensembles
avec petit n éléments parmi grand N.
Son cardinal c'est le nombre binomial de choix de petit n éléments parmi grand N.
La probabilité d'un singleton petit Oméga c'est donc 1 sur son cardinal,
le nombre de choix de petit n parmi grand N,
pour tout oméga, petit oméga appartenant à grand Oméga.
Et la probabilité d'un évènement A c'est le cardinal de grand A divisé par
son nombre binomial fois petit n dans grand N, b, on
demandait de calculer la probabilité pour que petit n1 boules rouges soient tirées.
L'évènement petit n1 rouges sont tirées est constitué de tous les
sous-ensembles de n boules obtenus comme réunion de un sous-ensemble de petit n1
boules choisies parmi les grand N1 boules rouges, et un sous-ensemble de petit
n moins petit n1 choisies parmi les grand N moins grand N1 autres.
Donc h de petit n1, c'est le cardinal de cet ensemble
de sous-ensembles de n boules, donc le nombre binomial de choix de petit n1 dans
grand N1 multiplié par le nombre binomial de choix de petit n moins n une boules
dans grand N moins grand N1 boules divisé par le cardinal qui est le nombre binomial
cardinal de l'ensemble grand Oméga qui est le nombre binomial fois petit
n dans grand N et cela pour tout n1 compris entre 0 et petit n.
On retrouve la forme classique de la loi géométrique qui a été démontrée en cours.
Deuxième question de l'exercice on supposait que les petit n boules étaient
choisies successivement une à un,à ce moment-là peut-être que l'ensemble le plus
naturel à considérer c'est grand Oméga prime qui est l'ensemble des arrangements
de petits n éléments parmi grand N Nous utilisons la notation pour le nombre
d'arrangements, petit m entre parenthèses avec un indice r qui vaut petit m
fois petit m moins 1 etc jusqu'à m moins r plus 1 avec r termes, c'est le nombre
de façons de choisir petit r éléments dans m, il y a m choix pour le premier, m moins
1 pour le deuxième et jusqu'à moins m moins r plus 1 pour le dernier donc avec
cette notation le cardinal de grand Oméga prime c'est le nombre d'arrangements
grand N entre parenthèses indice petit n donc les probabilités uniformes
sur grand Oméga prime sont faciles à calculer, P prime d'un singleton qui est
oméga c'est un sur le cardinal donc un sur le nombre d'arrangements Grand N entre
parenthèses indice petit n et P prime d'un évènement c'est le cardinal de grand
A divisé par ce nombre d'arrangements N entre parenthèses indice petit n.
Petit b nous voulions calculer la probabilité
d'obtenir petit n1 boules rouges.
Décomposer cet évènement, l'évènement petit n1 boules rouges sont tirées est
constitué de tous les sous-ensembles de n boules obtenues comme suit: On considère
d'abord tous les sous-ensembles à petit n1 éléments parmi petit n pour les rangs de
tirage boules rouge, puisqu'on tire successivement les boules, on va repérer
les rangs auxquels les boules rouges sont sorties et donc les nombres de choix, on
va le calculer tout à l'heure mais en tout cas on considère le sous-ensemble à petit
n1 éléments parmi petit n qui correspond aux rangs de tirage des boules rouges.
Pour chacun de ces rangs de tirage, pour chacun de ces sous-ensembles à petit
n1 éléments, on considère toutes les concaténations de
d'abord un arrangement de petit n1 boules par les grands N1 boules rouges qu'on va
placer sur les rangs de tirage et ensuite un arrangement de petit n moins petit
n1 boules choisies parmi les grand N moins grand N1 autres que l'on va placer sur
les autres endroits, les endroits qui ne correspondent pas à des tirages,
les choix qui ne correspondent pas à des boules rouges.
En définitive, nous pouvons calculer H prime de petit n1 c'est donc le nombre de
cas favorables sur le nombre de cas total, le nombre de cas favorable donc
c'est le nombre binomial de choix de petit n1 parmi petit n qui indiquent les rangs
de tirage des boules rouges ensuite il y a les arrangements de petit n1
boules rouges prises parmi grand N1 qui sont donc ce nombre d'arrangements grand N
1 entre parenthèses indice petit n1, et ensuite il y a les arrangements de petit
n moins petit n1 boules qui ne sont pas rouges choisies parmi les grand N moins
grand N1 boules totales qui ne sont pas rouges donc c'est le nombre d'arrangements
grand N moins grand N1 entre parenthèses indice petit n moins petit n1.
Donc pour petit n1 compris entre 0 et petit n avec toujours la
même notation pour les arrangements.
Et évidemment pour calculer h prime de n1 il faut encore diviser par le cardinal de
oméga prime qui est le nombre d'arrangements de petit n
nul parmi grand N grand N entre parenthèses indice petit n, vous pouvez
remarquer que cette loi ressemble plus à la loi binomiale qu'à la loi géométrique.
Troisième question,
on veut montrer que petit h de petit n1 est égal à h prime de petit n1.
Commençons de le faire par le calcul.
Par le calcul il faut utiliser les 2 formules que nous avons obtenues et nous
allons utiliser le fait que le coefficient binomial de r choix parmi m s'écrit comme
étant factoriel m divisé par factoriel r multiplié par factoriel m moins r.
Pour le calcul nous commençons par h prime de petit n1 donc c'est ce nombre
nombre binomial petit n1 choix parmi petit n nombre d'arrangements de petit n1 dans
grand N1, et le nombre d'arrangements de petit n moins petit n1 dans grand N moins
grand N1 le tout divisé par le nombre d'arrangements de petit n dans grand N.
Donc le premier coefficient binomial, le nombre de choix de petit n1 dans petit n
nous l'écrivons sous la forme factoriel n sur factoriel n1 multiplié par factoriel
n moins n1 ensuite nous voulons faire apparaître les coefficients
binomiaux sur les 3 autres termes, donc nous distribuons ces 3 factoriels,
factoriel N factoriel N1 et factoriel petit n moins petit n1 comme
il faut donc nous obtenons en distribuant ces factoriels un terme
nombre d'arrangements de petit n1 éléments dans grand N1 divisé par factoriel n1
multiplié par le nombre d'arrangements de petit n moins petit n1 dans grand N
moins grand N1 divisé par N petit n moins petit n factoriel le tout divisé par
le nombre d'arrangements de petit n dans grand N divisé par factoriel n.
On reconnait à ce moment là par la formule du binôme
qu'il s'agit de coefficients binomiaux et donc nous obtenons
le coefficient binomial de petit n1 choix dans grand N1 multiplié
par le coefficient binomial de petit n moins petit n1 choix dans grand N moins
grand N1 le tout divisé par le coefficient binomial de petit n choix dans grand N1.
Et là nous reconnaissons la formule h de N1, la formule de la loi hypergéométrique.
Nous allons redémontrer cette égalité par un argument combinatoire.
Donc nous avions des choix simultanés de boules et des choix successifs, chaque
choix simultané de petit n boules peut être mis en relation de façon bijective
avec factoriel n choix successifs de petit n boules qui sont obtenues par
les factoriel n permutations, par les factoriel n ordres possibles de choix,
donc il y a un facteur factoriel n qui dans les calculs de probabilité uniforme
cas favorables sur cas total se retrouvent aussi bien au numérateur qu'au
dénominateur et peut se simplifier si on mène les calculs comme il faut et dans ce
cas là on peut démontrer que la formule classique de la loi géométrique pour les
choix simultanés demeure valable pour les choix successifs.
