大家好 那我们接下来开始第九周
这个星期的机率课程
今天我们的主题大概有四个 最主要今天我们要探讨的是
如果有好几个随机变数 把它（们）加在一起
那加在一起的时候产生新的随机变数
它的机率分布大概会是什么
我们今天主要学的就是这个 所以9-1就学这个
9-2就说你要除以随机变数 你要找它的随机分布
有一个很重要的技巧要学的
叫做MGF
就是Moment-generating function 这个我们后面会讲到
有了MGF之后 我们在9-3就可以学到用这个方法
可以怎么样帮助来我们找到多个随机变数的机率分布
最后 我们要介绍机率最重要的一个定理
叫做中央极限定理
这个最后用一个“万佛朝宗”当作我们一个注脚
什么意思
等下到9-4你就知道
首先我们来看看9-1
9-1我们探讨的是随机变数的和
什么意思 我们来看看例子
假设老张的面店只卖牛肉面跟豆腐脑（豆腐花）
假设我们知道它每天面的销量 比如他一天面卖了x碗面
然后豆腐脑 卖了y碗豆腐脑
那假设我们也知道他每天x跟y
就是面卖了多少碗和豆腐脑多少碗
x跟y的联合机率分布 我们上个星期学的 它都知道
然后这个碗一次不就是1碗、2碗、3碗……
这个都是Discrete的 所以x跟y都是Discrete
所以这是Joint的PMF
这个Joint的x跟y（的）Joint PMF你有了
假设这个老张的兄弟约老张
面店收摊以后喝酒聚一下
那这个老张就是很怕老婆、很尊敬老婆
所以老婆规定说：“你要去，行，但是你要先把碗洗好才可以去。”
请问一下 这个老张在做生意的时候一直在想晚上去喝酒……
那想说我到底要洗多少碗才能够去
他就很关心他今天洗碗要洗多少碗
也就是说他洗的这个碗的数量机率分布是什么
你看看 他今天卖了x碗面、y碗豆腐脑
那他今天洗多少个碗
那就是要洗x+y个碗
所以如果我们把x+y这个新的随机变数取名为Z
x+y我们用Z表示的话
那老张今天就很想要知道Z的机率分布
那看看例子 比如说老张想要知道Z=3的机率是多少
你想要知道Z的机率分布 但是你不知道Z的PMF
那我们举个例子 Z=3 老张洗3个碗
老张洗3个碗是什么意思
老张为什么洗3个碗 就是表示x+y总共等于3
那x+y等于3会有几种可能
一种可能就是x=1 y=2 加起来等于3
或者是x=2 y=1 加起来是等于3
或者是x=0 y=3 加起来是等于3
或者是x=3 y=0 加起来 这样也等于3
你把所有的组合都考虑进去
一个加另外一个等于3的这些（x,y）配对全部抓起来
那是不是它们的机率全部加在一起就是Z等于3
如果你看以这个卖面或者这个碗 x,y大于等于0的话
目前来看 老师画的这4个是不是所有的可能性
x+y会等于3只有这4个可能
所以就是把这4个机率加在一起的话 那是不是x+y=3的机率
是的
但是如果今天你处理的是一般的问题
x是一般的数 离散的随机变数 可能是负的话
在这个例子x代表是碗数 不可能是负的
但是如果在别的问题上x有可能是负的话
那你这个x+y=3的机率是什么
就是把所有可能的x 这个x从负无穷到无穷大都可以跑一遍
不管你的x等于多少 我的y只要等于3-x的话
两个加在一起 比如x+（3-x）是不是就等于3
所以你看看 这一整个summation其实已经把所有可能的
x+y=3所有的x跟y的组合
全部都跑过了 都在这里面 把它们所有的机率加在一起
那就表示你算出了x+y=3的机率
那你看 因为这个例子是以x那边跑 所有的x都试一下
然后y就取对应的3-x 加起来就等于3
那你可不可以说我这次以y为主
那y跑所有的值 从负无穷到无穷大
那你这样x变成什么
如果你的y 你看 y是这样子跑
y从负无穷到无穷大这样跑的话 那对应的x是什么
因为x+y=3 所以y如果是y的话
那就表示x一定是什么 等于3-y
所以这两个加起来是不是又等于3
所以你看看 你要是x+y=3的机率
一个的话是以x为主 从负无穷跑到无穷大
然后你的y就是用3-x
拿这个x跟这个x代进去x跟y的Joint PMF 把它们加起来
不然就是什么 就是以y为主
那y就从负无穷跑到无穷大
但是你的x配合就是x要定做3-y
也是一样 把这个x跟y的Joint PMF的值全部加起来
你就可以把x+y=3的机率算出来
所以 刚刚是什么 x+y=3
我如果说x+y=z呢
那是不是你看 跟刚刚上面的例子很像
那我就从x从负无穷跑到无穷大
以x为主 从负无穷跑到无穷大
但是我的y取什么
y取z-x 你现在需要我的z
x+y要等于z 那就表示
我这边如果x随便跑的话 我的y要变成什么——z-x
这两个搭配起来才会变成什么
x+（z-x）=z
或者是 刚刚讲说你也可以以y为主
这个summation以y为主
那你这边y随便它跑 但是你的x紧跟走 就是z-y
所以z-y搭配这个y加起来 x+y=z
所以这个就是x+y的机率要怎么算
就是你有x跟y的Joint PMF的话
你就可以由下面这个式子 这是通式
去算出这个z=x+y的机率分布
那刚刚这是什么 是Discrete——离散的 x跟y都是离散的
那如果x跟y是连续的
x跟y都是连续的话 这个式子变成什么样子
之前我们已经看过很多 前几个地方都看到
很多的式子在Discrete summation的时候
那它到连续事件的时候变成什么
就变成积分
差别就差别在Discrete的时候 如果我们用PMF的地方
在这边连续的事件就把它变成是什么——PDF
然后summation变成积分
所以这个很容易 那我们看下面的例子
这个小明写国文作业的时间X
这个X是连续时间的长度
跟写算数作业的时间是Y
它的联合机率分布 Jiont的PDF——机率密度函数
这个f(x,y）人家已经给你
所以你看看这个写国文跟算数 小明看起来应该是个小学生
今天小明的兄弟们 这个外面的一些朋友们想约小明
喝酒小聚
小学生还喝酒小聚 真是乱七八糟
这个老妈规定说
小明一定要写完作业才可以赴约 这个老妈也乱七八糟
和小孩子说 你这个作业写完
你可以跟你朋友喝酒小聚
请问一下 小明的兄弟要等多久的时间
这个多久时间才可以跟他喝酒
他等多久时间 这个等多久时间的机率分布是什么
你看看 他妈妈规定什么
他妈妈规定说你国文作业、算数作业都要算完才可以出去玩
才可以出去喝酒
所以他算出来的时间是什么
他（做）整个作业所要花的时间
也就是他的兄弟要等多少时间
兄弟要等的时间就是他写作业要花多少时间
他写作业时间是什么 就是x
国文写完之后还有写算数 所以也是一样
我们要算的是这个z=x+y
z=x+y的机率分布
那刚刚讲 如果是summation的话
Discrete的case就是summation 然后那个x让它随便跑
然后它的y就变成什么 就是z-x
那如果Continual的时候就变成什么 你看看有没有
就是你的x随便你跑
但是我的y还是一样
就变成z-y 所以两个相加才等于什么 才等于z
但是因为我们是连续的东西
刚才那个的Joint PMF在这边变成什么
就变成Joint PDF
那刚才那个summation
刚才那个是什么 对x的summation就变成什么 就变成对x的积分
你看 这个就是刚才那个对应的
那个版本有没有 刚才对应的summation的
刚才那个Discrete的case是summation x负无穷到无穷大
然后x随便跑 z-x代到Joint PMF
那这边就把它换过来
那相对应的y的case
你也可以说 我就是刚才的对y做summation就变成这个版本
对y做summation如果变连续的版本是什么 对y做积分
有没有 对y做积分 然后从负无穷积到无穷大
那你的y 就随便你去跑
但是你的x跑不了
因为x+y=z 所以你的y随便跑的话
你的x就代什么 代z-y
所以呢 这两个式子也是一个
就是你用哪一个都可以 算出来的答案都一样
所以很玄、很妙 这两个算出来的答案会一样
都会算出来是同样一个这个f(z)
葉丙成教授 (Professor)
