這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
8-1.c：聯合機率分佈 (下)
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來自 National Taiwan University 的課程
頑想學概率：機率二
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從本節課中
WEEK 8
前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？
與講師見面
葉丙成 Ping-Cheng Yeh (Benson)教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
好 接下来呢 老师来介绍这个所谓的 这个我给它取名字叫做四方格性质
这个在课本里面 大家看不到这名字 这是我给它取的名字
但是我觉得这名字取得非常贴切 四方格性质在算什么东西呢？
它在算的是这个概率 算的是这个X落在x1跟x2之间 且Y落在y1跟y2之间
是什么意思呢？就是你在X轴上有两个点x1跟x2，然后你在y轴上两个点y1跟y2
好 那四方格性质在算什么几率 算的这个几率 诶 你会落在这个方块
就这个方块 刚好是 X坐标
X落在x1跟x2之间 落在这两条线之间 对不对
好 那Y坐标呢 你看 y坐标落在y1跟y2之间 y坐标就在这边
好 这两之间 事实上就在算你的X Y的随机点会落在这黄色区域的概率
那落在黄色区域 这个呢 基本上可以用你的joint CDF算出你的概率
什么几率呢 怎么算呢 诶 很简单 你只要在四个端点
好这个端点 这一点就是(x2, y2)
对不对 好 那这点是(x2, y1) 这个点呢是(x1, y2)那这个点是(x1, y1）
好 它说啊 只要你这四个点的联合的joint CDF值的话 你就可以算出这个几率
算出它落在这四方块的几率 好 怎么说呢
我们来看一下 老师 这边的话 花了很多时间 这个图也搞了很久
搞了半个小时 快一个小时 做这个图 你看看
好 我们先看看 第一个几率 它第一个几率是什么
(x2, y2) (x2, y2)是落在它左下方的几率 就是这一块了
就是用 我们来看投影片右边这一块
黄色这块区域很大很黄很漂亮 好
好 这个几率呢 它是接下扣掉 扣掉x2，y1的CDF值 而x2，y1的CDF值哪一块
我先把它画出来 就是橘色这一块 所以把黄色这一块去扣掉橘色这一块
好 扣掉 扣掉CDF值 也就是黄色这一长条 对不对
好的 那这长条 接下来在请你扣掉这个x1，y2 好
x1，y2的CDF值 x1，y2 的CDF值是那一块
老师帮你画出来 好就这一块 粉红色这一块
它要你把他扣掉 好 你看扣掉 上面那个橘色的地方是可以扣得掉
但是下面那个粉红色的地方 我没有的就要我扣
扣掉这个 就变成这个样子 就变成这个黑的 黑的就是 所以现在就是黄色是还剩的
好的 黑的就是 我没有就叫我扣 我多扣的 多扣的我知道怎么样
我要想办法把它补回来 补什么 就补这块
x1,y1的CDF值 就是这块黑色 就是刚刚被你多扣掉的那块
你把它加回去 诶 加回去以后把它补空
把它补平了以后 就剩下的 就剩下黄色
就剩下落在黄色这块的区域
对不对 好 这就是我们的四方格性质 那这四方性质 如果你回想一下
它跟一维的CDF 有没有类似的性质 一维的CDF跟这个概念相近的性质
有的 你记不记得 一维的CDF值 我们不是有在算这个东西嘛
就是说 你现在呢 如果是
这个X落在x1跟x2之间 它等于Fx(x2)减掉Fx(x1) 有没有
这是只是一维的CDF值的case 所以这个就跟四方格这个性质对应的一个性质
那这样讲的话 就更能感受到四方格性质就是以前的东西嘛
好 就比较觉得比较不害怕 就会觉得这个专业就蛮有意思的
好 这是四方格性质一个很重要的性质 好 那我们刚刚探讨的
就是说xy是离散的随机变数 好但是 老师跟大家讲清楚
将那个PMF 联合PMF是对于x跟y都是离散的时候 但是跟大家介绍的那个
落在那个左下边的那个区域 那个联合的CDF 那倒是没有说x跟y一定要离散的
x跟y都是离散的 或是连续的 也都可以噢 好
是跟我们以前一样 意味着CDF
不管是离散的random variable或者是 连续的random variable
你都是用同样的 你都是有CDF 对不对
所以 刚刚那个联合的CDF 是离散的xy 连续的xy 通通都可以合用
都是可以合用的 这个性质 这个CDF都是通用的 好
但是现在问题来了 xy 如果刚刚讲是离散的PDF 你可以有联合的PMF 好
那XY是连续的时候 怎么办 你就说虽然说你刚刚不是有介绍联合的CDF啊
那它也可以一样 甚至可以用 可是很多时候我们还是很希望能够分析说
在某一点 发生的机会 也会比较大或比较小啊这些 所以
我们还是希望 像能够一维一样的一种PDF东西 对不对 好
那我们来定义下这样的东西 我们可以想一下 当初只有一个变数的时候
一个random variable的时候
我们PDF是怎么定义的 好 如果还记得话
那个时候 诶 那个时候概率密度吧 那个时候 老师不是用那个梅子和金棒子的比喻来讲
就是我们要看单一那个某个点的密度 有多密 有多高 对不对
几率密度也这样 PDF也是这样 诶 某个区域 某个地方它这个几率密度有多高
那这个几率密度怎么看 你如果要看的是在X这一点的几率密度、PDF Y
就是我们继续看 在X这边的一小段一部分 △X这一小段部分
就是从x的一小段会落在x跟(x+Δx)区域的几率呢 把它除以Δx
好 那这个△x如果越小越小越远 就越接近 就是我说的密度啦
所以 就是取x那附近一小段 会落在x那附近的一小段的几率去除以△x
就是几率密度 好这是一维的 那你就想说一维的几率密度是指落在xy附近一小段的几率
去除以△x 那二维呢 x跟y呢 我会怎么样去定义它呢
这是我要问的问题 如果要把这样的概念延伸到两个变数 好
现在一维是落在这一小段的几率 然后去除以△x 去除以那个长度 去得到他的密度
那我们就想到 那二维的话是不是算它落在某一个小块的几率
然后去除以它的面积呢 事实上就是这个意思了
好 你如果想要知道xy那一点的所谓的联合PDF值 它的联合PDF值在那一点的几率密度定义其实
就是说 奥 xy xy那边你给它取一小块 一小块 宽度是△x 长度是△y
那么一个小方块 你就x y说落在那个小方块的几率 好 那个几率
去除以面积 因为你现在看到是二维的 所以你现在去算那个几率密度就要对x跟y
对点的维度 去算这个密度的话 你就在除以面积 对不对
好 像刚才之前的话 这个case的话 你是一维的 对不对
所以呢 你几率密度就除以一维的那个 所谓的单位长度 就除以单位 你这个单位
但是你现在就是二维的
好 在二维的话 我们就不是除以长度
我们就要除以什么 就要除以二维这个东西就是 面积
好 所以你看 就是把你x y会落在那个小方块 非常小的方块
以x y那附近的一小方块的几率去除以△x△y 让△x△y 一定要趋近与零
就像前面的一维的case一样 这一个最后收敛到的那个值
就是我们在所讲的 在那一点xy的几率密度
好 联合几率密度的值 OK 好 这就是所谓的Joint PDF
如果x y两个都是连续的随机变数 我们就可以定义它的联合PDF
就是落在xy这一点的 记住这一点是xy 然后这个宽度是△x
这个宽度呢是△y 就落在xy附近一小格的小方块区域的几率 去除以△x△y
这除以 出来的密度 就是它的几率密度 okay 好
所以呢 你这样除出来之后 诶 你想看到它落在那小方块的几率是什么
我们如果把它 用数学点的方法写 你看这一点 是X Y 那它的宽度是Δx
所以就表示X要落在什么 如果xy会落在那小方块
就表示你X会落在x跟x加△x 你看这一点 x坐标是x 对不对
然后这个宽度又是△x 对不对 所以就表示x坐标零都在x跟△x之间 对不对
同样的 你这一点的坐标 如果是y坐标是y的话 对不对
然后这个地方是△y 就表示你的xy落入这个方块里面的话
它的Y坐标 大Y 就一定是在Y跟y加△y之间了 对不对
所以你看看 诶 这个几率 落在小方块的概率 我们就可以把它写成这样子的一个几率
对不对 好 写成这样子的概率有什么好处呢 你看这个几率有没有跟我们刚开始学的什么性质很像
有没有？诶 这不是四方格性质里面的那个样式吗
x都在两个数字之间，且落在两个数字之间 这不是和四方格性质 那讲到了吗，对不对
我就很兴奋诶 赶快 赶快 四方格性质 对不对 可以用Joint CDF来算它
然后就把它带进去，好，单线的四方格性质 四个端点的CDF带进去
好 一个减去两个 再加上其中个一个 最后算出来就是这个了 对不对
所以△x△y 好 这个呢 老师把这两个调换一下顺序 调换一下 整理一下
得到这个式子 好 △y把它拉到外面去变成△y分之一 △x都在里面 那这边
里面就是这个x加△x y加△y 减掉这个x和△y 好
好你看 这个东西哈 这个东西 如果一个函数 y加△y y坐标都没有变 二维的函数y坐标都没有变
但是其中xy呢加一个△x 如果没有加两个相减除以△x 这是什么
然后limit △x趋于零 这是什么 这就是partial啊 就是偏微分嘛 对不对
partial partial x 因为你这边是有x+Δx 所以是等于对x做偏微分
所以这就是Fx, y(x，y+ △y)那一点的对x的偏微分 好那同样的道理
你看这个地方 诶 这地方也是一样 x+△x 诶这个x坐标确实也加了△x然后去减
然后两边呢 y坐标的值是y 都没有变对不对
所以你看看 诶 那这整个东西 所以你看这整块东西呢
诶 它怎么样 它其实就是收敛到
也是一样偏微分 对什么偏微分 对x偏微分
因为你这边这个increment 小Δx 小Δ是加在x那边的 对不对
所以就是对x偏微分 好Fx, y(x, y)好这个地方对微积分比较不熟的同学
不了解没关系 这个只是给对微积分有些认识的同学 应该看得懂
不认识的同学没关系 反正重要是后面推导出来的性质你会用就好
但是理工科的同学 我还是希望你能了解 这个式子推导出来就是 诶 △y分之一的Fx, y
对partial 两个partial相减 好那我们把它整理一下呢
我会发现说 诶 那这个呢 这个Joint PDF呢 它现在可以看成两个Joint CDF先partial x
好 再减这个 诶 这地方y+△y 这边y 诶那这外面要除以△y 看起来这是什么
站到一个对y的偏微分的形出来 好 所以你把它整理一下你会发现说
哇 原来这个Joint PDF跟Joint CDF的这样关系 什么关系呢
好 Joint PDF 小f的x, y会等于大的Fx, y先对x partial 做偏微分 再对y做偏微分
好 当然你这顺序调换也可以 反正基本上就是要做一次对x的偏微分 然后做一次对y的偏微分
诶 那有这样的关系的话 事实上 这Joint PDF跟Joint CDF 你可以发现他们有这样的关系 是什么
诶 f是F对x跟对y的偏微分 所以F会等于f对x跟对y去做积分 好
所以你看 这个Joint CDF在(x, y)的值 就等于Joint PDF从负无穷大积到x 从负无穷大积到y
好 那里面这个积分的variable 我们就把它改一下
这个积分 因为x跟y已经当作了积分的上下限了 所以你这个积分的 这个变数
这个英文叫做 dummy variable 这个是用完就丢了这种变数 用什么 都没关系
就用u跟v表示 所以 这边呢 我们就发现原来JointPDF跟JointCDF 跟以前一维的PDF和CDF一样
以前一维的PDF跟CDF 两个之间是不是有互相的关系 我告诉你CDF 你微分就得到PDF
我给你PDF 你PDF积分就得到CDF 对不对
那二维的两个变数下的JointPDF和JointCDF也是一样的 好 我给你JointCDF
你把它偏微分两次就可以得到JointPDF 我给你JointPDF 你把它对x对y分别积分
诶 就会得到JointCDF 所以给你哪一个 你都可以用 好
那JointPDF这边呢 知道这个JointPDF的概念之后 老师再提一个字形
那之前 我又没有提过 诶 1D的PDF PDF是什么 这PDF
f在这个x的值就是 它落在x跟x+△x这个小区间的几率去除以△x 这个就会很接近PDF的值
对不对 好 所以你把△x移到另外一边的话 那就变成你的X就会落在这个小区间
好 也就是落在这个小区间的几率呢 非常接近
在这一点几率密度乘以△x 这个我们讲过非常多遍了
好 这是一维的 所以呢 你用到的二维的呢 两个random variable是怎么样子呢
好 就是我们刚才提到 就是你落在这个小方块的几率 xy 也是这个小方块的几率
落在这个小方块的几率 他们很接近什么
因为 你记住 刚刚讲过2D的PDF 2D的PDF就在那一点的几率密度
是怎么来的 还记得吗 落在那个小方块的几率去除以△x，△y 对不对
所以同样的 那把△x，△y移到另外一边去 我们就有了这个近似值了 就是说以后
诶 一个小方块 小区间 xy会落在这一小区域的几率 就是等于在那一边的点的PDF
JointPDF的值去乘上小方块的面积△x△y 这是一个很好用的近似值 好
这个呢 就是在二维的时候 两个PDF 两个随机变数的时候 我们也可以用这样的近似 好
