這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
8-1.b：聯合機率分佈 (中)
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來自 National Taiwan University 的課程
頑想學概率：機率二 (Probability (2))
45 個評分
從本節課中
WEEK 8
前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？
與講師見面
葉丙成教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)
[音樂] [音樂]
[音樂] [音樂]
好，那我們知道PMF是什麽，這個聯合PMF是什麽之後，我們來看一下聯合PMF它有哪- 些性質呢
第一個，聯合PMF，就是不管你是什麽 X 跟 Y，PMF值一定都是什麽，大於等於零，且小於
等于1，妳看就以剛剛這個令人發指的小美小華這個下限這個聯合幾率分布圖，妳看看
每個機率是不是，要不就是有標出來的五分之一，要麽沒標出來就是零。
因爲 PMF 剛才已經提到 PMF 開中，前面的定義就是它就是一個機率，機率就是 0 到 1 之間嘛。
好，這個當然是沒問題 好，第二個是什麽？就是所有的 X 跟 Y，妳把這 PMF，把所有 X
跟 Y都 代進去加起來，這個機率加起來等于多少？就等于1了。
這其實就是 跟我們以前講的，妳把所有這個樣本空間裏面所有這個 account 機率 都把它加在一起。
加起來是什麽，就等于 1 嘛。
這跟我們之前一維的也是一樣 一维的 PMF，X 的 PMF，P (x) 把它 summation，把X 從負無窮大加到無窮大 是不是就是等于 1。
所以妳已經把所有的可能性都加。
所以妳看以這個例子來講 這個令人發指的圖上面這個所有的點的機率加起來
是5個五分之一，是加起來等于1，所以這就是這個意思
所有的點，PMF值加起來全部都會等于1 好，另外一個就是比較特別的。
如果妳的 X 跟 Y 兩個是 indpendent 是獨立的隨機變數，兩個是若是獨立
的話，會怎麽樣呢？就是說這回來看一下它的Joint PMF 值就是 就是 X
等于x，且Y 等于 y 的機率，那妳想想看 x 跟 y
如果是独立，那 X 等于x 且 Y 等于y，这两件事情要发生
什么？就各等于个别发生，然后相乘，对不对？就是X 等于 x
的機率乘上 Y 等于 y 的幾率，那 X 等于 x 的機率是什麽？就是
x 的 PMF，那 Y 等于y 的機率是什麽，就是 y 的PMF。
所以這個就是可以表示說我們可以把它寫成是他們兩個各自的PMF相乘
如果同學回去看看前面那個例子，那個小美跟那個小 小圓，那個小圓他真的是好兄弟啊。
真的是沒有亂七八糟。
真的是好兄弟 你看那個剛才不是25點各五分之一有沒有，那個CASE就是這個狀況。
好，每一個點各自 五分之一。
等于原來兩個各自PMF五分之一乘以五分之一，所以才變成二十五分之一。
所以你看那個圖就知道小圓就是好兄弟 小華，別提了。
好，所以呢這就是 x 跟 y 如果
獨立的話有這樣的好處，Joint PMF （聯合PMF）等于各自的 PMF 相乘。
這是非常好的性質 妳等下還會發現說，在算期望值的時候，如果這個能夠拆開變成兩個相乘
超好算，這是爲什麽那時候我蠻喜歡random variable所以變成互相獨立，因爲獨立的話
對，你等下我們今天我們第三節再看的話，你會发現算一些期望值什么東西會變的很好算
好，第四個這個性質再提一下。
就是對于任何一個事件B，這個事件B 发生的機率就是把落在那個事件區域里面的
x，y 的點，全部把它 PMF值加在一起。
什么意思呢？沒關系，老師給一個例子，你這樣看著你就看的懂，好，B 假設我們有個事件，假如說小美、
小華下線的時間不晚于10 點這個事件，小美跟小華 兩個人下線時間不晚于10 點。
那這個事件這個 B 其實是什么，在平面上其實 它是一個，一個區域了，滿足這個序數的點你把它畫出來，就是有一個區域，什么區域，你看看
就是這個區域嘛，對不對？在這個黃色區域里面的每一個點 它的 X 跟 Y 的值都小于10，小于等于10。
也就是說他們下線時間是 不晚于10 點，對不對？好，那你看看，現在問你說，那小美小華下線是不晚于10
點，這個 事件发生的機率是什么？它這個事件发生機率，根據前面发生這個式子，它就告訴你說唉你就去
看那些屬于B里面的那個點就是屬于黃色區域那邊所有的點，你把 它的PMF值都把它加在一起就是了，唉你看看在黃色里面的點里面
在黃色區域里面的點，很多個點，對不對？但是几率不等于0的有几個點？几率不等于0的只有
這個點，跟這個點，還有這個點，只有這三個點，對不對？只有這三個點 所以呢，這變這里講說你把B這個區域里面所有的這個點的
PMF值聯合PMF值把它加在一起，那這時候聯合PMF不等于0的只有這三個點，在這個- 區域里面，那你就把三個點加起來就好
好，所以P和B，B 发生的機率在這個CASE下面就是這三個點的機率 就等于8
8這一點的PMF值加上 9 9 加上10
10 它的PMF值，就把它加在一起，好，那加在一起之后，你就可以得到
這個這個這個這個B发生的機率，好，這就是聯合PMF的性質
好，那大家就想，那以前我們學PMF學完不是還要學什么我們不是要學什么CDF嗎？對不對
那你一維的，既然一維的PMF可以變成二維的這個聯合PMF 那一
維的CDF有沒有類似這樣概念說我們可以弄出一個二維的一個什么樣的聯合CDF呢 有沒有呢？有的，好，就是如果我們考慮這兩個random
variable X ，Y 的聯合機率分布的話，我們也可以定義它所謂的聯合CDF
它的CDF，聯合CDF是什么？是一個也是一個二維的函數，那我們就用F表示 大F（x，y），ok。
好那你在里面x，y代表什么意思，就是算這個機率，算什么機率 X
等于小x且Y小于等于y，要注意這個且兩件事情都要发生，兩個都要发生
那這到底什么意思呢？其實我們就是以這個圖來看
比如說以這個圖來看的話，如果我們現在看的是F（x，y）10時 就是說你要看這個
Joint CDF在10 時的機率，Joint CDF在 10 時的機率代表什么意思 就代表說 X
小于等于10 且 Y 也要小于等于10，那就是什么
區域？就是這個區域嘛，就是剛才我們算的那個機率嘛，對不對，我們剛才不是算過這個機率- 就是等于這三個
加在一起，那是什么，就是五分之一加五分之一加五分之一是什么？就是五分之三嘛，ok？-
好那比如說我們再看一個例子 如果接著人家又說唉那這個Joint CDF，好在 (9,
11) 的值是多少？好 Joint CDF在 (9, 11) (9,
11) 的值是多少？你看那就是表示什么？X 要小于等于9 且Y 要小于等于
11，你在平面上X 小于等于9 且Y 要小于等于11 ，這樣的區域是什么
就是這一塊，對不對？這一塊X 小于等于9，然后Y 要小于等于
11，那就是黃色這一塊區域 黃色區域你看看在里面PMF不等于0
的值，不等于0 的點有几個，好就只有一個
兩個，對不對？所以呢這個這件事情X 小于等于9 且Y 要小于等于
11，這发生機率是什么 機率是什么？就是五分之一乘以2，好，就是五分之二，ok，好所以大家看到一個應該就有-
一個這個概念，知道說 Joint CDF是什么？Joint CDF就是算說 X
小于等於 x 且X大于小于小 y，你只有任何一個 x 你給我任何一個
y，我就可以畫出這個黃色區域，我就要算說 我的（x，y）這個這個點（x，y）一起考慮的話
這個隨機點會落在黃色區域里面的機率是什麽，也就是這里面的這些每個點的
PMF值把它加起來，好，你印象這個在回老師很喜歡在講 這個兩個random virable的時候，我很喜歡把一個random virable連接起來。
你回想一下一個random virable CASE的時候 我們做什麽？有沒有？一個 random virable 的CDF是什么？一個random
virable的CDF就是說 你的 x 從負無窮大到無窮大都有可能发生，但是呢你今天如果要告訴我
說你要算的是CDF在 x 的值，那就是我想要知道就會變成說
在 x 以左的這一個區域，會落到這個區域的機率是多少
哦，所以這是一滴的CDF，你給我一個 x，我就算你落在左邊
這 x 以左這一整塊紅色的區域，這機率是多少？但是
你二維的呢？二維就不大一樣，二維，你今天給我一個 x，給我一個
y 我就算出這個點（x，y），哦（x，y）它的左下角，左下角
那個區域，會落在左下角那個區域，在（x，y）左下方的區域機率是多少
ok，好，所以有點不一樣，好，但是又有點像。
1 D的話是看左邊，落在左邊的几率是多少
那2 D的CASE的話是看的話是說你落在我這個（x，y）點的左下方的機率是多少？好，這個-
就是兩個人 有點這個一點類似的地方，哦，這邊老師指出來給大家看
好，那接下來我們看下聯合CDF 它也有它的一些性質，比如說第一個
CDF 是一定在0 跟1 之間，這也是一樣。
CDF 本身就是一個什么，是個機率，是 X 等于 x 且 Y 等于y，對不對？所以它本身就是一個機率，本身是一個機率的話
那當然就一種就0 到1 之間，對不對，這很自然，對不對
另外一個，哎，好，大家有沒有想到呢，我們來看一下這邊有寫做X1小于等于X2
且Y1小于等于Y2，對不對？好，你看如果這邊有個點叫（X1，Y1），然后又X2
好，因為x1小於等於x2，所以x2應該在x1的右邊 那又因為y1小於等於y2，所以y2呢，會在這個y1的
上面，對不對？好，所以你看看，那如果有這麼另外一個點x2, y2的話 那這個x2,
y2呢，必然一定是在x1, y1的 什麼，它的右上方，好右上方。
那你記不記得剛才講的時候 Joint CDF都在算、 說是在算出會落在這個點的左下方的機率，對不對？那你看看，如果 是在算x1,
y1的Joint CDF值的話，是算什麼？在算落在它的左下方，以及落在
你的xy點會落在這個區域的機率，對不對？那落在x2, y2
這個左下方的這個值、 這個這個區域的幾率是什麼？就是它的Joint CDF值，那是什麼 在x2,
y2 的Joint CDF值就是落在它的左下方，就是這一塊，好那你看看，因為 x2,
y2是在人家x1, y1的右上方，所以 它的左下方的區域蓋到的範圍一定是比x1,
y1 的左下方區域蓋到的範圍 整個完全覆蓋住了，對，所以你一定，今天你會落在x1,
y1的左下方，就一定 會落在x2,
y2的左下方，好，所以這件事情就表示誒，那就表示 落在x1,
y1左下方這個事情發生的機率，一定是小於或等於落在x2, y2左下方的這個 幾率。
好，所以這是為什麼x1, y1的CDF的值會比x2, y2的CDF的值還要 來得小。
好，這就是要記住這個事情。
好，有任何一個點 如果這個點落在你的左下方的話，那那個點的Joint CDF值 一定會比你的Joint CDF值還要小。
OK，這是很重要的一個性質，要記住，好 好，另外一個呢就是，如果你這個Joint
CDF其中一個，比如說y你給它帶一個無窮大，會發生什麼狀況 沒關係，不要看到這個就害怕。
我們就按照定義把它寫出來 你這邊就是，有一個x、 有一個無窮大，它代表什麼？你就在算說，X、
大X小於等於小x 且大Y小於等於無窮大的這個機率，對不對？那大Y小於等於無窮大，這句話
是廢話嘛，那任何一個數字一定小於等於無窮大嘛，對不對？所以這個廢話呢 有寫跟沒寫一樣，就把它刪掉，把它刪掉，對不對
所以這個機率最後發現說，它根本就是在算說，大X小於等於小x的機率，那大X小於等於小- x的機率是什麼
就是大X的CDF，對大X的CDF，好所以呢，你如果把
Joint CDF，把Y帶無窮大，那它就會退化成X的CDF吼，那相對的，如果你把X的那個地方-
帶無窮大 那Y不變的話，它會退化成什麼呢？好，同樣的道理，它會退化成Y的
CDF，好，把其中一個帶無窮大，那就退化成另外一個 的CDF，好，這個也是個很重要的一個性質，好。
那另外，如果兩個都帶無窮大呢 那兩個都帶無窮大，就是在算大X小於等於無窮大，且大Y小於等於無窮大
那X一定小於等於無窮大，且Y一定小於等於無窮大啊，這兩個廢話
一個廢話再加另一個廢話加在一起，同時要成立，也還是一個廢話，對不對？好所以
這個發生的機率就是1嘛，對不對？好，所以兩個都帶無窮大的話，CDF呢就收斂到1，這- 跟以前的那個
一維的CDF，我把X帶無窮大，它最後的那個機率 會收斂到1，是不是一樣的。
好很類似，只是現在是，兩個都要收斂到 都要加、 都要帶無窮大，才會收斂到1，好這是CDF的性質。
好，那另外呢，那如果帶 負無窮大咧？好，負無窮大來看一下，你這邊的如果Y帶負無窮大，好，那就是在算什麼？就-
是告訴說，你要算什麼 大X小於等於小x，且大Y小於等於負無窮大，那Y
值不可能比負無窮大還要負的，你不可能是個數字，比負無窮大 那任何random
variable比負無窮大要小的機率是0嘛，對不對？所以你大X小於等於x 且你又要求大Y要小於等於負無窮大，大Y小於等於負無窮大發生的機率是0，所以你看
這個事情，好，且這個事情，而你把一個條件 拿掉的話，是不是就、
就是這個是一個比較容易發生，也就是小於等於 Y會比負無窮大小的機率，好，那Y小於等於負無窮大的機率就是0啊，對不對
你看它小於等於0，那這個機率本身就是又大於等於0，任何一個機率又大於等於0，對不對
所以呢，這個機率大於等於0又小於等於0，那最後我們得到什麼？我們就得到說Fx, y
of x 負無窮大就是什麼？就是等於0了，對不對？好，小於等於0
因為它本身是一個機率，它一定要大於等於0，好所以兩邊夾在一起，我們就發現說 你帶Y帶負無窮大，它就等於0。
那你如果不帶Y帶負無窮大，你帶X帶負無窮大呢？也是一樣，好，最後你也可以得到說 這個東西呢，它的機率呢，也還是等於0。
OK，好 [音樂]
[音樂]
[音樂] [音樂]
