這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
4-5.b：離散機率分佈 II (中)
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來自 National Taiwan University 的課程
頑想學概率：機率一
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從本節課中
WEEK 4 (2)
「頑想學概率：機率一」將在「離散機率分佈」告一段落。 其他更多好玩有趣的機率課程，將會在「頑想學概率：機率二」課程做介紹，我們下次見！
與講師見面
葉丙成教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
接下来 我们再观察一些不一样的状况
那接下来依然还是那个阿宅的告白
不过阿宅是有自尊的
也就是说 阿宅想要邀约店员出去
店员妹出去 去玩
那邀约这个失败概率有点高 0.9
那假使说邀约失败到4次以后
如果说失败 第四次 邀约都失败了
那阿宅就因为自尊有损而放弃追求
那请问
阿宅在第七次约这个店员妹的时候
放弃追求的概率是什么
也就是说
刚好第四次失败发生在第七次的时候
那这个概率是多大
又比如说刚才讲那个 刚才讲这个
这个妈宝 这个废物 这个段誉 对不对
它这个 假设说这个段誉 他的功力是很有限的
他只要打出五次六脉神剑的时候
他的功力就会耗尽
那请问一下
因为他每次打出来概率刚刚讲说 他要发射能不能成功
不见得会成功
成功的概率是0.1
请问 他在第九次尝试要打六脉神剑的时候
那一次 刚好 功力耗尽的概率是什么
也就是 他第五次的成功
刚好发生在第九次尝试
这个概率是多高
所以你看看这些例子
再看看这个孙文革命啊
或是不成功誓不休是不一样的
刚才那种不成功誓不休
是他一定要试到 看到一次成功为止
他只看到一次成功
那这边不一样哦 这边是说
我要看到第 第五次成功
是总共要花多少次的这个尝试
所以呢 这就告诉我们这个
这一种新的概率分布叫做什么
叫Pascal
也就是说 他和GERAL其实是一样的
出现某一个结果的概率是多少
是已知的
比如说打出六脉神剑的概率是多少
这个是已知的
那你一直重复操作到你看到第k次成功为止
像前面的这个六脉神剑的例子 就是
成功 试到第五次 出现 为止
那我们很在意的是说
你这个实验到底做了多少次
才能让你看到那个第k次的结果出现
比如说六脉神剑第五次成功
是在第几次尝试发生
这样子的概率分布
我们就叫做Pascal概率分布
那我们来算一下Pascal概率分布
概率是怎么算的呢
他的PMF会是什么样子 我们看一下
再以这个妈宝当例子
他打出来的概率是0.1
要试到他的第五次成功
刚好在第九次发生 这个机会是多少
因为 五次 功力耗尽
那这第九次功力耗尽什么意思
就是 在那一次刚好打出 第五次的六脉神剑
那你看看 可能的情况之一是什么
我们就先 先设想
这种事情会发生 有哪些可能的状况
比如说其中一个是
第一次打出去 失败
第二次打出去 咻 成功
第三次打出去 又失败
第四次打出去 又成功
然后 咦 又失败
然后 又 又成功
然后又一次 又成功
已经几次成功了
四次成功哦
那我们要看到底第几次成功
我们知道第五次成功发生在第九次
对不对 所以你看 接下来又失败
接下来 又成功
刚刚好 第五次成功发生在第九次
那这件事情 发生的概率是多少
你看 第一个成功
呃 第一次失败 所以就是个0.9的概率
乘上第二次成功 乘上个0.1
再乘上个失败 又是0.9
再又成功 只要是红色的就是乘上个0.9
只要是蓝色的就是乘上个0.1
这个式子把他写出来 最后是多少
就是0.9的4次方乘以0.1的5次方
这个式子很直观嘛
为什么0.9的4次方
因为你试了9次 然后里面要有5次成功
那就表示前面有几次失败
有4次失败嘛
所以0.9的4次方
0.1的5次方是什么
因为 成功要5次嘛
所以就是0.1的5次方
那老师问你一下
你第五次成功
刚刚好发生在第九次的
是不是只有银幕上列的 这个影片里面列的这个状况
不止吧
对不对 我有没有可能 比如说
刚才这个例子是第一次失败
那我有没有可能第一次成功
也有可能啊
比如说我前四次成功
接下来四次都失败
然在第九次时候又成功
这事其中也是一种状况
也是第五次成功刚好发生在第九次啊
是不是 那如果是这个case的话
刚才讲说 前面四次都成功
然后接下来四次失败
然后第九次 刚好发生第五次成功 这个概率是多少
也是一样啊
他也是四次失败 五次成功
所以也是0.9的4次方乘以0.1的5次方 对不对
所以这个问题就变成什么
就像我们上次讲的
这就变成一个数数的问题
就是说 这种
它每一个概率都是一样的
这个不同的情况
它们 不管你是怎么样发生的
让你的第五次成功发生在第九次
接下来 你不同的状况
概率都是0.9的4次方乘以0.1的5次方
所以呢 我们只要能够数得出来说
到底 总共 这个问题里面到底有多少个outcome
是恰恰好它的第五次成功发生在第九次
然后前面的八次呢 有四次成功
这个outcome的个数如果我们数出来
再乘上它每一个的概率
0.9的4次方乘以0.1的5次方
我们就可得到最后的这个 我们要的这个概率
那到底有多少个outcome
是刚刚好第九次才发生第五次的成功呢
你想想看 提到的
第五次成功刚好在第九次
那就表示说前面八次呢有几次成功
恰恰有四次成功 对不对
所以这样子的排列组合有多少个
就很简单嘛
前面八次 刚好有四次成功
你就前面八次要挑出四个位置来安插那个蓝色的
那四个蓝色的成功 对不对
总共有多少种取法 C8取4 对不对
八取四
那最后呢
九次里面被你八个取完
八个还剩一次实验 那次实验
就注定一定要成功的
所以就一取一嘛 那个就是
有算没算 就是一嘛
就是第五次成功一定要发生在第九次
一定要发生在哪一次 在最后那一次嘛 对不对
所以这样算出就是什么 就是八取四
所以 整个概率是什么
就应该是
八取四乘上0.9的4次方乘以0.1的5次方
好 那我们接下来呢
就想办法 跟刚才 前面一样
数学的最佳 最重要的是什么 一般化
所以前面那个例子呢
那个妈宝打出六脉神剑的概率是什么
咻 是0.1 那我们现在怎么用
我们把它改成p
变成一个一般的 一个变量p来表示
那刚才我们在意它的是什么
它第五次成功什么时候发生
那我们现在呢 就用什么
我们就用一个k
我们说我们在意它第k次成功是什么时候发生
现在就是说
它这个 总共做了第几次
在第x次才看到第k次成功
第k次成功恰恰发生在这个大X次 这个概率是多少
那我们来看一下 可能的情况
还是要 先看一个可能的outcome是什么呢
就是 失败 成功
失败 成功
失败 成功
成功 失败
点点点
然后 最后一次成功
成功刚好发生在第X次
那成功刚好发生在第X次
那表示什么
前面有x-1次的尝试
里面有几次失败
有几次成功
第k次成功发生在最后一次
表示前面x-1次有k-1次的成功 对不对
这个outcome和刚才一样
你去算一下这个outcome发生的概率是多少
它呢 总共有几次成功
因为 蓝色 刚才讲说有k次成功嘛 对不对
所以k次成功呢
有一个p的k次方
那你做了实验
x次实验 然后有k次成功 表示你有几次失败
有x-k次失败 对
所以这边有个1-p的x-k次方
所以每一个这样的outcome
只要是第k次成功发生在第X次实验的话
那就是 一定是1-p的x-k次方乘上p的k次方
那同样的这样的outcome有多少个呢
这个就是个排列组合问题
就是和刚才一样 你到底
前面的k-1次的实验里面
你要怎么去安插
有多少种安插的方法可以安插
这x-1次的成功
那就是k-1取x-1
所以把这个outcome的个数乘上刚才这个概率
这个就是所谓的这个Pascal的distribution 它的PMF
那我们也是一样 把它整理一下
如果你做实验
成功 用这个p
然后试到第k次成功 要总共做多少次
这个呢 符号上面我们就把它写成
X~Pascal(k,p)
所以人家只要给你k 给你p
你就知道这是个什么样的问题
马上就可以知道它的PMF
它的PMF就是这个样子 刚才讲
x-1取k-1 然后乘上1-p的x-k次方
就是失败的概率再乘上p的k次方
有这么多次成功的概率
那它的CDF呢
CDF就是照这个之前 你的第k次成功
发生在第x次以前
啊 这个很好玩 这个呢其实跟binomial有点关系
就是说 你想想看哦
这个CDF
要算的是说
你的第k次成功在第x次实验以前发生
那表示说 你做了x次实验里面
至少有几次成功
如果你的第k次成功
是在第x次实验以前发生
那表示说你这x次实验里面
是至少一定要有k次以上的成功
所以这两个概率就相等了 所以
第二行这个概率就等于第三行概率
就是说你做一个实验做了x次
结果这x次里面你观察到
超过 就有k次以上的成功
那这样子才能确保说
你第k次成功一定是在 那这样子才能确保说
你第k次成功一定是在
第x次实验以前发生的
ok 所以这个呢
概率呢 其实就会等于什么
就是等于另外一个Random Variable
Y>=k区域
Y是什么呢
Y其实就是前面 我们上个礼拜讲的binomial 对不对
现在因为你看 第二行问的是说
在x次实验的成功次数大于等于k次
所以呢 BIN(x,p)是什么
BIN(x,p)就是做x次实验
然后你观察到多少次成功嘛 对不对
所以你看这一行概率是不是就在讲说
这个BIN(x,p)
这个Random Variable大于等于k的概率
对不对
那binomial的这个PMF我们知道啊
所以这个 它的CDF
就把它全部加起来我们可以得到这个式子
所以 你会发现说 Pascal
这个概率分布
和binomial是一个这样的关系 就是说
Pascal的Random Variable 小于等于某个x的概率
等于有另外一个对应的binomial的Random Variable
大于等于这个k的概率
他们有个这样一个关系
所以 这也是为什么Pascal
在概率上面 有时候 有别的书 很多书给它一个名字
叫做Negative Binomial
他就是 你小于等于人家的概率
等于 我大于等于另外一个人的概率
他们的关系是这样
很有意思
