Bonjour, dans cette vidéo nous allons corriger l'exercice de travaux dirigés sur le cascading non-linéaire d'ordre deux. L'effet Kerr que vous avez vu dans le cours cette semaine est un mélange non-linéaire du troisième ordre, qui fait intervenir quatre photons à la même pulsation et la relation de conservation d'énergie qu'on peut écrire pour l'effet Kerr s'écrit sous la forme de la relation de conservation d'énergie où vous avez annihilation de deux photons et création de deux photons de même énergie si bien que vous avec cette relation de conservation. Dans ce TD, ce qui va nous intéresser ici, c'est un mélange non-linéaire d'ordre deux, dans lequel les deux photons h barre oméga que vous avez ici vont être convertis d'abord conceptuellement en un photon d'énergie deux oméga, donc ça c'est un premier phénomène non-linéaire d'ordre deux, qui est un mélange à trois ondes, et puis ensuite vous allez avoir ce processus de différence de fréquence entre votre photon à deux oméga et le photon initial de l'onde fondamentale qui fait que vous récupérez ici un photon h barre oméga. Et donc c'est l'objectif de ce TD, c'est d'étudier la modulation de phase qu'on observe lorsqu'on a en cascade ces deux processus non-linéaires d'ordre deux. Je vous rappelle ici l'énoncé du TD que vous avez pu télécharger sur le site du cours et en particulier, je voudrais souligner que avant de commencer ce TD il est quasiment indispensable d'avoir visionné la vidéo du TD numéro six sur le doublage de fréquence en régime fort. Je vous rappelle ici la grandeur qu'on a pu définir dans le TD numéro six sur le doublage de fréquence en régime fort ; c'est une grandeur gamma que vous voyez ici et qui est homogène à l'inverse d'une longueur, et cette grandeur gamma s'écrit comme ksi alpha un zéro sur racine de deux qui a l'expression habituelle et qu'on va revoir dans les premières questions de ce TD. Et puis on va supposer que, contrairement à ce qui nous a intéressé jusqu'à maintenant, et bien le désaccord de phase, delta k, lui, et bien il est très grand, et donc on est dans une situation qui est quasiment l'opposé de la condition d'accord de phase et donc en particulier c'est très différent de l'effet Kerr, pour lequel l'accord de phase, vous avez vu dans le cours, est toujours réalisé. Et donc on passe à la première question de ce TD, qui vous demande de rappeler les équations couplées du doublage de fréquence, donc ça c'est des équations qu'on a beaucoup vues dans les semaines précédentes donc on peut directement les écrire. Vous avez tout d'abord l'équation qui régit la dérivée de alpha un par rapport à z ; elle s'écrit x ksi, donc ksi c'est le facteur dont on va rappeler l'expression juste après fois alpha deux alpha un étoile exponentiel moins i delta k z, et vous avez l'équation correspondante pour alpha deux qui est l'amplitude du faisceau doublé ; elle, elle s'écrit i ksi sur deux, donc il y a toujours ce facteur deux auquel il faut faire attention, fois alpha un carré exponentiel i delta k z, donc ça ce sont les deux équations couplées avec lesquelles on va travailler et je vous rappelle l'expression de ksi, donc ksi, il s'écrit sous la forme d'une racine de h barre oméga au cuble sur n un carré, n deux, epsilon zéro c trois, et il est proportionnel au coefficient khi deux. Et donc la deuxième question de ce TD, elle vous demande d'exploiter ces deux équations couplées pour dériver une équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par alpha un. Donc ça c'est très proche dans la forme de ce qu'on a fait dans le TD numéro six sur le doublage de fréquence en régime fort et donc je ne vais pas refaire toutes les équations mais je vais juste vous donner le résultat de comment l'équation différentielle qu'on a obtenue dans le TD six s'est modifiée. On commence de la même manière : on dérive une fois l'équation différentielle qui donne la première dérivée de alpha un par rapport à z ; on la dérive une fois donc ça va nous donner la dérivée seconde de alpha un par rapport à z deux et qui s'écrit, quand on dérive d'abord l'exponentiel, vous allez faire sortir moins i delta k, et puis vous avez le reste de l'expression qui a changé, qui vous fait d alpha un sur d z. Et puis ensuite vous avez donc la dérivée du produit alpha deux alpha un étoile, et donc ça c'est le calcul qu'on a effectué dans le TD six et ça vous fait le résultat ksi deux alpha un sur deux, fois en module alpha un zéro au carré moins deux module de alpha un au carré. Donc je vous rappelle que, cette expression-là elle est obtenue grâce notamment à la relation de Manley-Row, qui vous donne la conservation du flux dans le cristal. Et donc maintenant, l'objectif des questions qui vont suivre, c'est de simplifier cette expression-là d'abord pour résoudre cette équation différentielle, et puis après on simplifiera l'expression obtenue pour alpha un, et c'est là où on va faire apparaître la modulation de phase qui nous intéresse. Donc pour simplifier cette équation différentielle, il y a les question trois et quatre donc qui sont des questions intermédiaires et donc tout d'abord, on vous demande en régime de faible conversion de dire quelque chose sur alpha un de z, donc ça c'est facile. Et bien en régime de faible conversion, on peut écrire que l'intensité I un de z, elle est constante, elle est égale à I un zéro et ça, quand vous utilisez l'expression de alpha un, vous obtenez que c'est h barre oméga un, qui est l'énergie d'un seul photon, fois alpha un de z en module au carré, qui lui est constant et il est égal à alpha un zéro au carré, et donc vous voyez que le module de alpha un lui, il est constant dans le cristal. Donc ça c'est la première question, et puis, la deuxième question qui va nous intéresser, c'est de justifier en fait la relation entre gamma et delta k, ici je veux juste donner une interprétation physique de ce résultat et pour ça vous pouvez vous rappeler que, en régime fort, et en particulier quand vous êtes à l'accord de phase, vous avez delta k qui vaut zéro, et ça vous donne que L c, qui est la longueur de cohérence, qui vaut pi sur delta k, elle, elle tend vers plus l'infini et du coup, vous obtenez que L c est forcément très supérieur à la longueur L, qui est la longueur caractéristique du doublage de fréquence qu'on considère. Mais nous on se place en régime faible et donc en régime faible, et bien en fait c'est l'opposé, et ce qui ce passe c'est que vous avez une longueur de cohérence, L c, qui, elle, devient beaucoup plus petite que la longueur L qui est la longueur caractéristique qu'on a définie dans le TD numéro six, et du coup ça vous donne la relation entre delta k et gamma qui sont respectivement l'inverse de L c et de grand L, donc la relation est inversée et ça vous donne que delta k elle, elle est très supérieure à gamma. Et c'est la condition avec laquelle on va travailler dans cet exercice. Alors évidemment, donc là j'ai écrit ces conditions, et en particulier ici pour un delta k positif, mais c'est vrai quand delta k serait aussi très négatif, et donc ça implique que ces relations sont vraies quand on considère, non plus delta k mais la valeur absolue de delta k. Et donc maintenant une fois qu'on a ces deux relations, on va simplifier un peu l'équation différentielle qu'on a obtenue. Donc je vous la rappelle ici... Et maintenant vous voyez que quand vous supposez qu'on est en régime de faible conversion, et bien vous avez que alpha un ici, c'est égal à alpha un zéro et donc que tout ce terme-là, c'est moins module de alpha un zéro au carré. Et donc cette simplification, elle vous permet d'obtenir la nouvelle équation différentielle qui régit l'évolution de alpha un, et c'est une équation différentielle linéaire du second ordre et à coefficient constant cette fois-ci, et elle s'écrit donc la dérivée de alpha un par rapport à z au carré plus i delta k fois la dérivée de alpha un par rapport à z, puis vous avez donc ce dernier terme-là, qui vous donne un plus, ksi deux sur deux, fois le module de alpha un zéro au carré, alpha un, et tout ça qui est égal à zéro. Et donc ça c'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant mais complexe et donc il faut calculer le discriminant et déterminer les deux racines de l'équation caractéristique. Mais donc avant ça, vous pouvez remarquer que ici vous avez exactement le coefficient gamma deux, qu'on a défini dans le TD numéro six et que je vous ai rappelé au début de cet énnoncé et donc quand vous calculez le discriminant vous obtenez que D, c'est i delta k au carré moins quatre gamma deux, donc ça vous pouvez le réécrire sous la forme que c'est i au carré fois delta k au carré, plus, quatre gamma deux. Et donc ensuite vous obtenez vos deux racines de l'équation caractéristique qui sont r plus moins, donc qui valent moins i delta k plus ou moins, donc la racine de d, donc c'est la racine complexe, et donc là ça vous fait uniquement i fois racine de delta k au carré plus quatre gamma deux sur deux. Donc maintenant ce qu'on veut, c'est simplifier ces deux racines r plus et r moins avec la condition qu'on a depuis le début, qui est que le désaccord de phase est grand, c'est-à-dire que delta k, en valeur absolue est très supérieur à Gamma. Donc pour ça, il faut faire un développement limité rapide de r plus et r moins avec la condition qui est en rouge ici. Donc pour ça, il faut écrire r plus moins. Vous avez toujours ce premier terme en moins i Delta k sur deux, et puis vous avez plus moins. Pour faire le développement limité de la racine, vous mettez en facteur le terme le plus important, le terme prépondérant, ici c'est Delta k, donc vous avez i Delta k, et puis après, vous faites le développement limité de ce que vous avez sous la racine, donc vous allez avoir ici le Delta k au carré qui va vous faire 1. Quand vous développez le 1 plus quelque chose de petit à la puissance un demi, ça vous fait toujours 1, donc plus un demi, et puis vous avez ici le 4 Gamma 2 sur Delta k au carré. Et donc ça vous permet de trouver la valeur de r plus et r moins. Donc r moins, il vaut moins i Delta k, et r plus, c'est le terme pour lequel vous avez simplification des termes Delta k au numérateur, et vous obtenez plus i Gamma 2 sur Delta k. Et vous pouvez maintenant écrire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle alpha 1 de z, qui s'écrit A exponentielle moins i Delta k z plus B fois exponentielle i Gamma 2 sur Delta k z. Donc maintenant, on va chercher la valeur des constantes A et B, et pour commencer, on va calculer d alpha 1 sur d z en z égal à zéro. Si vous prenez l'équation couplée qu'on a vue au départ, vous avez l'expression de d alpha 1 sur d z, et vu qu'en z égal à zéro, on n'a pas injecté ce doublet, vous obtenez que ce terme-là est égal à zéro. Et quand vous calculez, à partir de cette expression-là, la dérivée de alpha 1, vous obtenez moins i Delta k A plus B i Gamma 2 sur Delta k, ça c'est la valeur en zéro, et du coup, vous obtenez la valeur du rapport A sur B, et ce rapport A sur B, il vaut Gamma 2 sur Delta k au carré. Et donc, quand vous utilisez l'équation qui est écrite en rouge, vous avez que ce rapport-là, en réalité, il est très petit devant 1, et donc ça va vous permettre de négliger dans l'expression de alpha 1 le terme en exponentielle moins i Delta k z, et donc au final vous obtenez l'expression alpha 1 de z, qui s'écrit juste la constante B fois une exponentielle linéaire en z, et donc la constante B, directement, c'est alpha 1 zéro fois exponentielle i Gamma 2 sur Delta k z. Et donc vous obtenez bien que alpha 1 de z, c'est uniquement une constante d'amplitude multipliée par un facteur de phase, et ce qu'on vous demande dans cette question, c'est d'essayer de mettre alpha 1 de z sous une forme qui correspond à un déphasage qui est proportionnel à l'intensité du faisceau. Donc, pour ça, il suffit de réécrire ce qu'on a dans l'exponentielle. Donc, vous avez i Gamma 2 sur Delta k z qui vaut i, donc Gamma 2, on l'avait vu au début de l'énoncé, c'est alpha 1 zéro au carré sur 2 fois Delta k fois z. Et si vous utilisez l'expression de ksi 2, qui est que ksi 2 c'est h barre oméga 1 au cube sur n 1 carré n 2 epsilon zéro c 3 fois khi 2 au carré, donc vous pouvez maintenant mettre cette expression sous la forme qui vous est demandé, donc vous mettez i oméga 1 sur c en facteur. Dans l'expression, vous allez avoir h barre oméga 1 multiplié par alpha 1 zéro au carré, et ça c'est i 1 zéro, donc vous avez toujours z, et puis vous avez l'indice effectif n 2 eff, qui est l'indice dont on cherche l'expression, l'indice effectif n 2 eff qui s'écrit sous la forme n 2 eff, qui vaut oméga 1 fois khi 2 au carré, donc ça c'est pour le numérateur, et au dénominateur, vous avez 2 Delta k fois n 1 carré n 2 epsilon zéro c 2. Et donc ce résultat, il est tout à fait semblable, au moins formellement, à ce qu'on a obtenu pour l'effet Kerr, et dans lequel aviez un déphasage qui était aussi proportionnel à l'intensité du faisceau mais avec un indice effectif n 2 qui est différent. Et donc c'est l'objectif de cette dernière question, qui est de comparer ce résultat avec l'effet Kerr. Donc l'indice effectif, il vous est donné ici. Je vous rappelle l'expression de l'indice n 2 qu'on avait obtenu dans le cas de l'effet Kerr. Donc l'indice, il vaut 3 chi 3 sur 4 n zéro carré epsilon zéro c 3. Et donc, pour comparer ces deux effets, on peut par exemple comparer l'indice effectif à l'indice Kerr, pour ça il suffit de calculer le rapport entre ces deux indices. Et vous voyez qu'il est proportionnel à, tout d'abord khi 2 au carré sur Delta k fois khi 3, qui est le coefficient non linéaire d'ordre 3 du matériau. Et donc, ce rapport, ça vous permet de voir plusieurs choses. La première, c'est qu'en amplitude, si vous faites l'application numérique, en particulier dans des matériaux qui sont non centrosymétriques, pour avoir un khi 2, vous obtenez que ce rapport, il est quand même inférieur à 1, mais le gros avantage de cet effet de cascading khi 2 par rapport à l'effet Kerr, c'est ce que vous voyez ici, c'est la dépendance en Delta k, et on vous a montré en particulier que dans des matériaux uniaxes, on savait faire varier Delta k de façon continue, et de façon positive ou négative, et donc ça vous montre que cet effet, il nous permet de contrôler le signe et l'amplitude de l'indice effectif, et c'est un avantage de cette technique par rapport à l'effet Kerr.
