Bonjour, dans cette vidéo nous allons corriger l'exercice de
travaux dirigés sur le cascading non-linéaire d'ordre deux.
L'effet Kerr que vous avez vu dans le cours cette semaine est un
mélange non-linéaire du troisième ordre, qui fait intervenir quatre photons à
la même pulsation et la relation de conservation d'énergie qu'on peut écrire
pour l'effet Kerr s'écrit sous la forme de la relation de conservation d'énergie où
vous avez annihilation de deux photons et création de deux photons de
même énergie si bien que vous avec cette relation de conservation.
Dans ce TD, ce qui va nous intéresser ici, c'est un mélange non-linéaire d'ordre
deux, dans lequel les deux photons h barre oméga que vous avez ici vont être
convertis d'abord conceptuellement en un photon d'énergie deux oméga,
donc ça c'est un premier phénomène non-linéaire d'ordre deux,
qui est un mélange à trois ondes, et puis ensuite vous allez avoir ce processus de
différence de fréquence entre votre photon à deux oméga et le photon initial de
l'onde fondamentale qui fait que vous récupérez ici un photon h barre oméga.
Et donc c'est l'objectif de ce TD, c'est d'étudier la modulation de phase
qu'on observe lorsqu'on a en cascade ces deux processus non-linéaires d'ordre deux.
Je vous rappelle ici l'énoncé du TD que vous avez pu télécharger sur le site du
cours et en particulier, je voudrais souligner que avant de commencer ce TD il
est quasiment indispensable d'avoir visionné la
vidéo du TD numéro six sur le doublage de fréquence en régime fort.
Je vous rappelle ici la grandeur qu'on a pu définir dans le TD numéro six sur le
doublage de fréquence en régime fort ; c'est une grandeur gamma que vous voyez
ici et qui est homogène à l'inverse d'une longueur, et cette grandeur gamma
s'écrit comme ksi alpha un zéro sur racine de deux qui a l'expression
habituelle et qu'on va revoir dans les premières questions de ce TD.
Et puis on va supposer que, contrairement à ce qui nous a intéressé jusqu'à
maintenant, et bien le désaccord de phase, delta k, lui, et bien il est très grand,
et donc on est dans une situation qui est quasiment l'opposé de la condition
d'accord de phase et donc en particulier c'est très différent de l'effet Kerr,
pour lequel l'accord de phase, vous avez vu dans le cours, est toujours réalisé.
Et donc on passe à la première question de ce TD,
qui vous demande de rappeler les équations couplées du doublage de fréquence, donc ça
c'est des équations qu'on a beaucoup vues dans les semaines précédentes donc on
peut directement les écrire.
Vous avez tout d'abord l'équation qui régit la dérivée
de alpha un par rapport à z ; elle s'écrit x ksi, donc ksi c'est le facteur dont on
va rappeler l'expression juste après fois alpha deux alpha un étoile exponentiel
moins i delta k z, et vous avez l'équation correspondante pour alpha deux
qui est l'amplitude du faisceau doublé ; elle, elle s'écrit i ksi sur deux,
donc il y a toujours ce facteur deux auquel il faut faire attention, fois alpha
un carré exponentiel i delta k z, donc ça ce sont les deux équations couplées avec
lesquelles on va travailler et je vous rappelle l'expression de ksi, donc ksi,
il s'écrit sous la forme d'une racine de h barre oméga au cuble sur n un carré,
n deux, epsilon zéro c trois, et il est proportionnel au coefficient khi deux.
Et donc la deuxième question de ce TD,
elle vous demande d'exploiter ces deux équations couplées pour dériver une
équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par alpha un.
Donc ça c'est très proche dans la forme de ce qu'on a fait dans le TD
numéro six sur le doublage de fréquence en régime fort et donc je ne
vais pas refaire toutes les équations mais je vais juste vous donner le résultat de
comment l'équation différentielle qu'on a obtenue dans le TD six s'est modifiée.
On commence de la même manière : on dérive une fois
l'équation différentielle qui donne la première dérivée de alpha un par rapport à
z ; on la dérive une fois donc ça va nous donner la dérivée seconde de alpha un
par rapport à z deux et qui s'écrit, quand on dérive d'abord l'exponentiel,
vous allez faire sortir moins i delta k, et puis vous avez le
reste de l'expression qui a changé, qui vous fait d alpha un sur d z.
Et puis ensuite vous avez donc la dérivée du produit alpha deux alpha un étoile,
et donc ça c'est le calcul qu'on a effectué dans le TD six et ça vous fait le
résultat ksi deux alpha un sur deux, fois en module alpha
un zéro au carré moins deux module de alpha un au carré.
Donc je vous rappelle que,
cette expression-là elle est obtenue grâce notamment à la relation de Manley-Row,
qui vous donne la conservation du flux dans le cristal.
Et donc maintenant, l'objectif des questions qui vont suivre,
c'est de simplifier cette expression-là d'abord pour
résoudre cette équation différentielle,
et puis après on simplifiera l'expression obtenue pour alpha un,
et c'est là où on va faire apparaître la modulation de phase qui nous intéresse.
Donc pour simplifier cette équation différentielle,
il y a les question trois et quatre donc qui sont des questions intermédiaires et
donc tout d'abord, on vous demande en régime de faible conversion de
dire quelque chose sur alpha un de z, donc ça c'est facile.
Et bien en régime de faible conversion, on peut écrire que l'intensité I un de z,
elle est constante, elle est égale à I un zéro et ça, quand vous
utilisez l'expression de alpha un, vous obtenez que c'est h barre oméga un,
qui est l'énergie d'un seul photon, fois alpha un de z en module au carré,
qui lui est constant et il est égal à alpha un zéro au carré,
et donc vous voyez que le module de alpha un lui, il est constant dans le cristal.
Donc ça c'est la première question,
et puis, la deuxième question qui va nous intéresser, c'est de
justifier en fait la relation entre gamma et delta k, ici je veux juste donner
une interprétation physique de ce résultat et pour ça vous pouvez vous rappeler que,
en régime fort, et en particulier quand vous êtes à l'accord de phase,
vous avez delta k qui vaut zéro, et ça vous donne que L c,
qui est la longueur de cohérence, qui vaut pi sur delta k,
elle, elle tend vers plus l'infini et du coup,
vous obtenez que L c est forcément très supérieur à la longueur L,
qui est la longueur caractéristique du doublage de fréquence qu'on considère.
Mais nous on se place en régime faible et donc en régime faible, et bien en fait
c'est l'opposé, et ce qui ce passe c'est que vous avez une longueur de cohérence,
L c, qui, elle, devient beaucoup plus petite que la longueur L qui est la
longueur caractéristique qu'on a définie dans le TD numéro six,
et du coup ça vous donne la relation entre delta k et gamma qui
sont respectivement l'inverse de L c et de grand L, donc la relation est inversée et
ça vous donne que delta k elle, elle est très supérieure à gamma.
Et c'est la condition avec laquelle on va travailler dans cet exercice.
Alors évidemment, donc là j'ai écrit ces conditions,
et en particulier ici pour un delta k positif,
mais c'est vrai quand delta k serait aussi très négatif,
et donc ça implique que ces relations sont vraies quand on considère,
non plus delta k mais la valeur absolue de delta k.
Et donc maintenant une fois qu'on a ces deux relations,
on va simplifier un peu l'équation différentielle qu'on a obtenue.
Donc je vous la rappelle ici...
Et maintenant vous voyez que quand vous supposez qu'on est en régime de faible
conversion, et bien vous avez que alpha un ici, c'est égal à alpha un zéro
et donc que tout ce terme-là, c'est moins module de alpha un zéro au carré.
Et donc cette simplification, elle vous permet d'obtenir la nouvelle équation
différentielle qui régit l'évolution de alpha un, et c'est une équation
différentielle linéaire du second ordre et à coefficient constant cette fois-ci,
et elle s'écrit donc la dérivée de alpha un par rapport à z au carré plus i
delta k fois la dérivée de alpha un par rapport à z, puis vous avez donc ce
dernier terme-là, qui vous donne un plus, ksi deux sur deux,
fois le module de alpha un zéro au carré, alpha un, et tout ça qui est égal à zéro.
Et donc ça c'est une équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficient constant mais complexe et donc il faut calculer le
discriminant et déterminer les deux racines de l'équation caractéristique.
Mais donc avant ça, vous pouvez remarquer que ici vous avez exactement le
coefficient gamma deux, qu'on a défini dans le TD numéro six et que je vous ai
rappelé au début de cet énnoncé et donc quand vous calculez le discriminant vous
obtenez que D, c'est i delta k au carré moins quatre gamma deux,
donc ça vous pouvez le réécrire sous la forme que c'est i au carré fois delta
k au carré, plus, quatre gamma deux.
