Introduction à l'optique non-linéaire, qui correspond au régime d'interaction laser-matière que l'on peut explorer à l'aide de lasers intenses, comme par exemple les lasers femtosecondes.
Analyse de Fourier d'un signal sonore (3/3)
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非线性光学
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Transformation de Fourier
On introduira successivement les séries et les transformées de Fourier. L’analyse de Fourier d’un signal sonore nous permettra d’illustrer un certain nombre de propriétés utiles comme par exemple la relation entre largeur temporelle et largeur spectrale, qui sera approfondie en TD. On introduira également des notions importantes comme le retard de groupe et la dérive de fréquence. Enfin, la transformée de Fourier discrète permettra d’illustrer ces notions de manière numérique.
與講師見面
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
Physics
Bien alors j'ai déjà insisté plusieurs fois sur la belle symétrie
qu'il y a entre la transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse.
Il y a juste un signe qui diffère entre les deux définitions.
Et il y a quelque chose qui rompt un peu cette symétrie, c'est que, enfin en
tout cas dans l'analyse de signaux sonores, et ce sera la même chose quand on
s'intéressera au champ électrique E de t associé à un faisceau lumineux, c'est que
la grandeur dont on parle dans le domaine temporel est une grandeur réelle.
C'est le signal numérisé par ce microphone.
Alors que dans l'espace de Fourier, on a une grandeur complexe.
Donc on a une phase spectrale mais pour l'instant on n'a pas de phase temporelle.
Alors vous allez voir qu'on peut en fait définir une phase temporelle à
l'aide d'une grandeur qu'on appelle le champ complexe.
Alors vous connaissez déjà le champ complexe dans le cas d'un
champ sinusoïdal mono fréquence.
En fait on peut également le définir dans le cas d'un signal de forme arbitraire,
comme celui qui est représenté ici, vous voyez c'est une gaussienne,
munie d'une porteuse de fréquence qu'on va appeler oméga zéro.
Donc je pars de cette grandeur E de t qui est une grandeur réelle.
Et je passe dans l'espace de Fourier, donc par une tension de Fourier inverse.
Et donc comme on l'a vu on a une fonction E de oméga, dont le module va être pair,
donc là c'est le module qui va être représenté.
Donc son module est pair et comme je l'ai dit j'ai la même information pour les
fréquences négatives que pour les fréquences positives.
Donc en fait, comme on a une redondance d'informations,
il serait intéressant de considérer une grandeur qu'on va appeler E rond de oméga,
qui correspond uniquement à la partie des fréquences positives.
Donc c'est ce qui est représenté ici en grisé.
En fait je vais l'appeler E rond de oméga divisé par deux pour une raison qui va
être claire dans un instant.
Et donc si j'ai ici E rond de oméga divisé par deux, comme E de t est réel, vous
vous rappelez qu'on avait vu de manière générale que, de l'autre côté, pour les
fréquences négatives j'aurais forcément E étoile de moins oméga divisé par deux.
Donc quand je connais E rond de oméga,
je connais en fait l'ensemble de la fonction E de oméga.
La fonction E de oméga, ce sera tout simplement E rond de oméga plus E
rond étoile de moins oméga divisé par deux.
Alors comment explicitement calculer E rond de oméga à partir de E droit de
oméga, il suffit de multiplier par la fonction de Heavyside, de thêta de oméga.
Donc cette fonction de Heavyside je vous rappelle qu'elle est
nulle pour oméga négatif et égal à un pour oméga positif.
Et puis j'ai un facteur deux ici parce que j'avais ce facteur deux.
Donc simplement en multipliant par deux fois la fonction de Heavyside,
j'obtiens la fonction rouge ici qui a la particularité d'être parfaitement nulle
lorsque oméga est négatif.
Ensuite je vais évidemment pouvoir revenir dans le domaine à
l'aide d'une transformée de Fourier et donc je vais définir E
rond de t comme la transformée de Fourier de E rond de oméga.
Et cette fonction E rond de t évidemment va être complexe parce que ma fonction E
rond de oméga n'est pas paire donc cette fonction va être complexe.
Je vais pouvoir définir son module, module de t,
et puis je vais comme ceci pouvoir définir une phase temporelle qui est
représentée ici qui va être décroissante avec la fréquence.
C'est pas très surprenant parce que E rond de oméga finalement c'est une
gaussienne décalée de oméga zéro.
Et on a vu qu'un décalage de oméga zéro ça avait pour effet de
produire une phase temporelle de pente moins oméga zéro.
Donc c'est la droite qu'on voit ici.
Alors à partir de ce champ E rond de t, qu'on appelle le champ complexe,
qu'on peut aussi appeler la représentation analytique du champ réel,
je vais évidemment pouvoir revenir au champ E droit de t,
simplement à l'aide de cette relation-là.
Si je refais la transformée de Fourier,
E rond de oméga me donne E rond de t et puis E rond étoile de moins oméga ne me
donne pas E étoile de moins t mais comme on a vu ça va me donner E étoile de t.
Donc j'ai ici E droit de t qui est égal à E rond de t plus E rond étoile de t divisé
par deux, c'est-à-dire tout simplement la partie réelle de E rond de t,
donc c'est pour ça que j'avais mis ce facteur deux ici,
pour que le champ électrique soit bien la partie réelle du champ complexe comme vous
en avez l'habitude dans le cas d'un champ mono fréquence.
J'aurai ce résultat évidemment quelle que soit la fréquence de l'onde porteuse.
Vous voyez que si je change la fréquence oméga zéro,
je vais changer la période évidemment de l'oscillation.
Et puis je vais changer la pente de ma phase temporelle.
Donc maintenant j'ai rétabli la symétrie entre le
domaine des temps et le domaine des fréquences.
Si je considère le champ complexe E rond de oméga, j'aurai E rond de
oméga et E rond de t qui seront deux grandeurs complexes dans les deux cas.
Et de la même manière que j'avais défini le retard de groupe comme la dérivée de la
phase spectrale par rapport à la fréquence, je vais pouvoir définir la
fréquence instantanée, que je vais appeler grand oméga de t,
qui sera la dérivée de la phase temporelle par rapport au temps.
Je mets un signe moins ici parce vous avez vu qu'il y a une belle symétrie mais il y
a quand même ce signe moins qui apparaît dans un cas et pas dans l'autre.
Et donc de cette façon-là vous voyez que dans ce cas simple où on a une seule
fréquence porteuse oméga zéro, eh bien on avait une phase temporelle qui était en
moins oméga zéro t, et donc évidemment dans ce cas particulier la fréquence
instantanée sera constante et prendra la valeur oméga zéro que nous avons ici.
Bien pour illustrer tout ce que nous venons de voir,
nous allons maintenant regarder ce qu'on appelle un signal à dérive de fréquence,
c'est-à-dire un signal pour lequel la fréquence va varier au cours du temps,
ce qui peut être obtenu à l'aide de cette flûte à coulisse,
où en changeant la longueur du tuyau ici on va changer la hauteur du son,
et donc la fréquence du signal.
Voilà donc on a ici un signal qui a un
spectre beaucoup plus large que tout à l'heure.
Maintenant la fréquence varie de 400 à 800 hertz comme on peut le voir ici,
pour un signal qui s'étend sur quelques centaines de millisecondes.
Et on voit que la phase spectrale prend une forme parabolique avec une
courbure tournée vers le haut.
On peut calculer à partir de cette phase spectrale le retard de groupe,
la dérivée de la phase par rapport à la fréquence,
et on observe que ce retard de groupe varie avec la fréquence,
c'est-à-dire que les basses fréquences, ici autour de 400 hertz,
sont associées à un retard de groupe négatif de moins 250 millisecondes.
Donc ça correspond aux fréquences qui ont été émises à cet instant-là.
Tandis que les hautes fréquences sont associées à un retard de
groupe ici qui est de l'ordre de 300 millisecondes et
correspondent aux fréquences qui ont été émis à cet instant-là.
Donc le résultat est tout à fait conforme à ce qu'on attendait pour un
signal dont la fréquence varie au cours du temps.
Donc ça c'est le point de vue spectral,
mais on peut également calculer la phase temporelle et la fréquence instantanée en
utilisant ce qu'on a vu sur le champ complexe.
Donc on peut à partir de ce champ réel ici calculer le champ complexe.
Son module est représenté ici en blanc.
Donc il reproduit l'enveloppe de mon signal oscillant.
Et la phase est représentée ici en bleu.
Donc on voit que comme dans le cas de ma gaussienne avec une porteuse la
phase décroît au cours du temps.
Mais la différence avec tout à l'heure c'est que la
pente ici varie au cours du temps.
On a une pente qui est plus faible au début et qui va en
s'accentuant lorsque j'ai augmenté la fréquence.
Et ça on peut le vérifier en calculant la fréquence instantanée oméga de t,
donc qui est représentée ici en rouge.
Et on voit effectivement que cette fréquence instantanée va
augmenter au cours du temps.
Elle varie comme on s'y attend de 400 à 800 hertz en fonction du temps.
Bien on va maintenant recommencer la production d'un signal à
dérive de fréquence.
Mais dans le cas contraire où au contraire la fréquence va décroître au
cours du temps.
Donc au lieu de raccourcir la longueur du tuyau,
je vais allonger la longueur du tuyau au cours du temps.
Voilà.
Donc le résultat est similaire, à ceci près que les signes ont été inversés.
Maintenant j'ai quelque chose qui ressemble à
une parabole mais la courbure est tournée vers le bas.
Le retard de groupe est une fonction décroissante de la fréquence et la
phase temporelle décroît toujours avec le temps bien sûr.
Mais maintenant la valeur absolue de la pente va en diminuant.
Et si je calcule la fréquence instantanée en prenant l'opposé de la phase
temporelle par rapport au temps, et bien j'obtiens une fréquence instantanée qui va
décroître au cours du temps, donc qui varie de 800 à 400 hertz.
Donc on voit que les notion qu'on a introduites,
le retard de groupe et la fréquence instantanée,
nous donnent bien expérimentalement le résultat que l'on attendait.
Et c'est quelque chose en fait donc qu'on a illustré ici pour un signal sonore.
Mais on peut également le réaliser avec des impulsions laser, à des échelles de
temps qui sont considérablement plus courtes, à l'échelle de la femtoseconde.
On pourra aussi produire des signaux à dérive de fréquence.
Et comme on pourra le voir tout à la fin de ce cours,
dans un certain nombre de semaines,
eh bien la production de l'impulsion à dérive de fréquence c'est en fait quelque
chose de très utile pour produire des impulsions ultra brèves et ultra intenses.
