Bien alors j'ai déjà insisté plusieurs fois sur la belle symétrie
qu'il y a entre la transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse.
Il y a juste un signe qui diffère entre les deux définitions.
Et il y a quelque chose qui rompt un peu cette symétrie, c'est que, enfin en
tout cas dans l'analyse de signaux sonores, et ce sera la même chose quand on
s'intéressera au champ électrique E de t associé à un faisceau lumineux, c'est que
la grandeur dont on parle dans le domaine temporel est une grandeur réelle.
C'est le signal numérisé par ce microphone.
Alors que dans l'espace de Fourier, on a une grandeur complexe.
Donc on a une phase spectrale mais pour l'instant on n'a pas de phase temporelle.
Alors vous allez voir qu'on peut en fait définir une phase temporelle à
l'aide d'une grandeur qu'on appelle le champ complexe.
Alors vous connaissez déjà le champ complexe dans le cas d'un
champ sinusoïdal mono fréquence.
En fait on peut également le définir dans le cas d'un signal de forme arbitraire,
comme celui qui est représenté ici, vous voyez c'est une gaussienne,
munie d'une porteuse de fréquence qu'on va appeler oméga zéro.
Donc je pars de cette grandeur E de t qui est une grandeur réelle.
Et je passe dans l'espace de Fourier, donc par une tension de Fourier inverse.
Et donc comme on l'a vu on a une fonction E de oméga, dont le module va être pair,
donc là c'est le module qui va être représenté.
Donc son module est pair et comme je l'ai dit j'ai la même information pour les
fréquences négatives que pour les fréquences positives.
Donc en fait, comme on a une redondance d'informations,
il serait intéressant de considérer une grandeur qu'on va appeler E rond de oméga,
qui correspond uniquement à la partie des fréquences positives.
Donc c'est ce qui est représenté ici en grisé.
En fait je vais l'appeler E rond de oméga divisé par deux pour une raison qui va
être claire dans un instant.
Et donc si j'ai ici E rond de oméga divisé par deux, comme E de t est réel, vous
vous rappelez qu'on avait vu de manière générale que, de l'autre côté, pour les
fréquences négatives j'aurais forcément E étoile de moins oméga divisé par deux.
Donc quand je connais E rond de oméga,
je connais en fait l'ensemble de la fonction E de oméga.
La fonction E de oméga, ce sera tout simplement E rond de oméga plus E
rond étoile de moins oméga divisé par deux.
Alors comment explicitement calculer E rond de oméga à partir de E droit de
oméga, il suffit de multiplier par la fonction de Heavyside, de thêta de oméga.
Donc cette fonction de Heavyside je vous rappelle qu'elle est
nulle pour oméga négatif et égal à un pour oméga positif.
Et puis j'ai un facteur deux ici parce que j'avais ce facteur deux.
Donc simplement en multipliant par deux fois la fonction de Heavyside,
j'obtiens la fonction rouge ici qui a la particularité d'être parfaitement nulle
lorsque oméga est négatif.
Ensuite je vais évidemment pouvoir revenir dans le domaine à
l'aide d'une transformée de Fourier et donc je vais définir E
rond de t comme la transformée de Fourier de E rond de oméga.
Et cette fonction E rond de t évidemment va être complexe parce que ma fonction E
rond de oméga n'est pas paire donc cette fonction va être complexe.
Je vais pouvoir définir son module, module de t,
et puis je vais comme ceci pouvoir définir une phase temporelle qui est
représentée ici qui va être décroissante avec la fréquence.
C'est pas très surprenant parce que E rond de oméga finalement c'est une
gaussienne décalée de oméga zéro.
Et on a vu qu'un décalage de oméga zéro ça avait pour effet de
produire une phase temporelle de pente moins oméga zéro.
Donc c'est la droite qu'on voit ici.
Alors à partir de ce champ E rond de t, qu'on appelle le champ complexe,
qu'on peut aussi appeler la représentation analytique du champ réel,
je vais évidemment pouvoir revenir au champ E droit de t,
simplement à l'aide de cette relation-là.
Si je refais la transformée de Fourier,
E rond de oméga me donne E rond de t et puis E rond étoile de moins oméga ne me
donne pas E étoile de moins t mais comme on a vu ça va me donner E étoile de t.
Donc j'ai ici E droit de t qui est égal à E rond de t plus E rond étoile de t divisé
par deux, c'est-à-dire tout simplement la partie réelle de E rond de t,
donc c'est pour ça que j'avais mis ce facteur deux ici,
pour que le champ électrique soit bien la partie réelle du champ complexe comme vous
en avez l'habitude dans le cas d'un champ mono fréquence.
J'aurai ce résultat évidemment quelle que soit la fréquence de l'onde porteuse.
Vous voyez que si je change la fréquence oméga zéro,
je vais changer la période évidemment de l'oscillation.
Et puis je vais changer la pente de ma phase temporelle.
Donc maintenant j'ai rétabli la symétrie entre le
domaine des temps et le domaine des fréquences.
Si je considère le champ complexe E rond de oméga, j'aurai E rond de
oméga et E rond de t qui seront deux grandeurs complexes dans les deux cas.
Et de la même manière que j'avais défini le retard de groupe comme la dérivée de la
phase spectrale par rapport à la fréquence, je vais pouvoir définir la
fréquence instantanée, que je vais appeler grand oméga de t,
qui sera la dérivée de la phase temporelle par rapport au temps.
Je mets un signe moins ici parce vous avez vu qu'il y a une belle symétrie mais il y
a quand même ce signe moins qui apparaît dans un cas et pas dans l'autre.
Et donc de cette façon-là vous voyez que dans ce cas simple où on a une seule
fréquence porteuse oméga zéro, eh bien on avait une phase temporelle qui était en
moins oméga zéro t, et donc évidemment dans ce cas particulier la fréquence
instantanée sera constante et prendra la valeur oméga zéro que nous avons ici.
Bien pour illustrer tout ce que nous venons de voir,
nous allons maintenant regarder ce qu'on appelle un signal à dérive de fréquence,
c'est-à-dire un signal pour lequel la fréquence va varier au cours du temps,
ce qui peut être obtenu à l'aide de cette flûte à coulisse,
où en changeant la longueur du tuyau ici on va changer la hauteur du son,
et donc la fréquence du signal.
