[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] Наконец, третье важное объяснение прибыли в модели Бертрана, третий способ разрешить парадокс Бертрана — это ограниченные мощности продавцов. Роль ограниченных мощностей можно объяснять разными способами. Один из способов, который больше обращается к графику и интуиции, представлен в рекомендованном учебнике. Мы повторять рекомендованный учебник не будем, а используем несколько иной подход. И мы введем с вами конкретный вид функции спроса. Пусть функция спроса имеет простейший вид из всех возможных — обратная функция спроса — P = 1 − Q. Цена равна 1 минус величина спроса. И введем такое же упрощающее предположение, которое... Еще раз подчеркну: содержательно оно нам не важно, но для технической иллюстрации оно нам полезно. Это предельные издержки идентичных продавцов, равные нулю. Мы просто пренебрегаем их предельными издержками. Но, в отличие от базового варианта модели Бертрана, где мы предполагали неограниченные мощности продавцов, введем предположение о том, что мощности продавцов, которые мы будем определять как максимальный выпуск, который они в состоянии произвести, равны K у обоих идентичных продавцов, и это K ниже 1. Иначе говоря, это K ниже, чем величина рыночного спроса при цене, равной предельным издержкам. А теперь спросим себя: будет ли в этом случае равновесием по Нэшу назначение обоими продавцами цены, равной предельным издержкам, то есть, в нашем примере — цены, равной нулю. И, конечно же, мы сразу ответим на этот вопрос: нет. Потому что, если j-тый продавец назначил цену, равную предельным издержкам, то для i-того продавца отклонение от цены, равной предельным издержкам, позволит увеличить прибыль. Почему? Потому что как бы ни была высока мощность j-того продавца, до тех пор, пока она ниже 1, опять, пусть даже остался один единственный покупатель, который не может приобрести товар у j-того продавца, в этом случае i-тому продавцу выгодно отклониться от цены, равной предельным издержкам, и назначить для этого единственного покупателя цену, превышающую предельные издержки. Тем самым он увеличит свой выигрыш по сравнению с назначением цены, равной предельным издержкам. Все. Мы с вами уже доказали, что ограниченность мощностей разрешает парадокс Бертрана, что равновесием по Нэшу уже не будет назначение цен, равных предельным издержкам. Но нам интереснее с вами пойти дальше и задать другой вопрос: а какие же цены будут составлять для продавцов лучшую ценовую реакцию на решение конкурента? Сначала ответим на этот вопрос интуитивно. И интуитивный ответ будет следующим: это зависит от того, какую цену назначает конкурент. Представим себе, что j-тый продавец назначил цену 1/2. Что такое цена 1/2? Это цена монополиста. Чудесно. Тогда лучшей ценовой реакцией для i-того продавца будет... что? Назначить цену 1/2 − Ε. У нас покупатели по-прежнему исключительно рациональны, все они купят у i-того продавца, и он получит прибыль в размере... Проверим себя: 1/2 − Ε, которым мы пренебрежем, умноженное на?.. Совершенно верно, на его мощности K. Замечательно. Если у нас ситуация другая, если j-тый продавец назначает достаточно низкую цену. И предположим, эта цена очень близка к предельным издержкам. То для i-того продавца ценовая конкуренция а-ля Бертран, то есть, назначать цену чуть-чуть ниже цены другого продавца, не является лучшей стратегией. А лучшей стратегией для него является... что? Повысить цену и получить максимальную прибыль по отношению к тем покупателям, которые составляют его остаточный спрос. Еще раз: мы вышли на очень важную для нас в этой модели концепцию остаточного спроса. Остаточный спрос, который в базовой модели Бертрана был бы равен 0, если твоя цена превышает цену конкурента, но будет положительным, если мощности конкурента ограничены. Итак, давайте теперь ответим на этот вопрос чуть более строго. Рассмотрим вариант, когда цена j-того продавца достаточно низка. Чуть ниже мы увидим, что такое «достаточно низка», «достаточно высока». Это как раз будет следовать из модели. Определим, чему будет равна величина остаточного спроса для i-того продавца. Она будет равна разности между величиной рыночного спроса по цене i-того продавца — это те покупатели и то количество, которое было бы куплено, если бы у нас не было конкурента, j-того продавца на рынке, за вычетом чего? За вычетом, конечно же, мощностей j-того продавца. Потому что какое бы количество покупателей ни было готово приобретать по этой цене, количество K будет куплено у продавца с более низкой ценой. Опять, для нас пока не важно, насколько эта цена низка. Но в любом случае мы можем записать величину остаточного спроса как 1 − Pi (это величина рыночного спроса) − K (мощности другого продавца). Все. Этого нам достаточно для того, чтобы ответить на вопрос теперь: а какая же лучшая ценовая реакция i-того продавца? Его лучшая ценовая реакция будет решением задачи максимизации прибыли, максимизации прибыли по остаточному спросу. Если у нас величина остаточного спроса равна 1 − Pi − K Вспомним, обратная функция спроса как будет определяться? Pi = 1 − Qi − K. Соответственно, предельная выручка... Еще раз выводить это не будем, вспомним из микроэкономики, что предельную выручку для линейной функции спроса мы всегда получаем удвоением коэффициента при количестве. Предельная выручка i-того продавца будет составлять 1 − K − 2Qi, приравниваем предельную выручку к нулевым предельным издержкам и отсюда находим оптимальное значение Qi (1 − K)/2. Пожалуйста, проверьте арифметически эти вычисления сами. И цену, максимизирующую прибыль i-того продавца, которая составит 1 − K пополам. Назначая такое количество и такую цену (для нас в данном случае важнее именно цена i-того продавца как лучшая ценовая реакция) i-тый продавец получает прибыль равную (1 − K) в квадрате, / 4. Обратим внимание: результат абсолютно про-интуитивный. Что мы получаем? Мы получаем, что у продавца возможность получить прибыль тем выше, чем мощности его конкурента... что? Ниже. Соответственно, по мере того, как мощности конкурента K стремятся к 1, остаточный спрос стремительно снижается, и снижается та прибыль, которую может i-тый продавец получить, максимизируя прибыль по остаточному спросу. Сразу же с вами отметим, что это минимальная прибыль, которую i-тый продавец может получить на этом рынке. Ни при каких условиях он не получит прибыль ниже. Замечательно. Но легко заметить, что эта цена далеко не всегда является лучшей. Почему? Мы с вами на интуитивном уровне это решили. Если j-тый продавец назначает достаточно высокую цену, i-тому продавцу может быть выгодно чуть-чуть снизить цену по сравнению с ценой j-го продавца. Ну и рассмотрим этот вариант. Пусть цена j-го продавца достаточно высока, в этом случае лучшая ценовая реакция для i-го продавца — это назначить цену чуть-чуть ниже, то есть на ε ниже, чем цена j-го продавца, продавая выпуск, равный его мощности, которая равна K. И в этом случае прибыль продавца зависит от чего? Положительно зависит от цены j-го продавца и положительно зависит от K. Чем выше продавец-конкурент назначил цену, тем более высокую цену он позволил нам получить, ε мы просто здесь пренебрегли, а предельные издержки равны нулю, поэтому все в порядке. И при этом, при прочих равных условиях, чем выше наши мощности, тем большую прибыль мы получаем. А теперь ответим на важный для нас вопрос. Какая же цена конкурента? Какая же цена j-го продавца достаточно высока? Какая — достаточно низка? Ответить на этот вопрос очень просто. Нужно найти такую цену j-го продавца, когда безразличен i-й продавец между двумя типами ценовой реакции. Максимизировать прибыль по остаточному спросу и назначать цену, равную (1 − K)/2, и устанавливать цену чуть-чуть ниже цены j-го продавца и получать прибыль, как мы с вами определили, P(j) умножить на K. Соответственно, приравнивание этой прибыли позволяет нам найти граничное значение цены j-го продавца P̃(j) — это (1 − K) в квадрате, деленная на 4K. Опять, пожалуйста, самостоятельно проверьте вычисления. Обратим внимание, как же будет выглядеть функция нашей... наша функция лучшей ценовой реакции. Наша функция лучшей ценовой реакции будет выглядеть так: P(i) = P(j) − ε в том случае, если P(j) превышает ту самую, найденную нами, цену, граничную между высокой и низкой ценой конкурента. P(i) = (1 − K)/2 в том случае, когда P(j) достаточно низка, то есть ниже найденного нами, граничное значение цены. И обратим внимание на одну важную особенность. Что чем выше мощности продавцов в этой модели, тем ниже та граничная цена, по сравнению с которой цены лучшей ценовой реакции уже не опустятся. Я понимаю, что это уже «масло масляное», но давайте еще раз. Чем выше мощности продавцов, тем ниже граница, до которой могут опуститься цены на этом рынке. И это первый вывод. Соответственно, мы еще раз показали, каким же образом введение в модель Бертрана предпосылки об ограниченных мощностях, позволяет разрешить парадокс Бертрана. И каким образом ограниченные мощности ослабляют интенсивность ценовой конкуренции между продавцами. Одно техническое замечание применительно к этой модели: возникает соблазн, как в любом случае стратегического взаимодействия, поискать равновесие в чистых стратегиях. На самом деле в общем случае этой модификации модели Бертрана, равновесия в чистых стратегиях нет, то есть нельзя при произвольных мощностях определить ту цену, от которой не будут отклоняться, ту конкретную цену, от которой не будут отклоняться продавцы. Вообще-то этот вопрос для нас совершенно подчиненный, потому что нам было важно показать — каким образом ограниченные мощности ослабляют ценовую конкуренцию. Но если есть желание глубже изучить вопрос о том, при каких условиях в этой модели возникнет равновесие в чистых стратегиях, я рекомендую обратиться к рекомендованному уже учебнику, но несколько более высокого технического уровня Church and Ware. [МУЗЫКАЛЬНАЯ_ЗАСТАВКА] [МУЗЫКАЛЬНАЯ_ЗАСТАВКА] [МУЗЫКАЛЬНАЯ_ЗАСТАВКА]
