Теперь я хочу на этом чуме применить формулу обращения Мёбиуса как-нибудь.
Формула обращения Мёбиуса, как вы понимаете,
применяется в случае, когда у нас есть какие-то функции F и g, правильно?
Ну вернее, казалось бы, достаточно иметь функцию g,
и после этого F задается автоматически как сумма по предшественникам в значении
этой функции g.
Ну вот я сейчас на нашем чуме введу сразу 2 функции, и вы увидите,
что они действительно связаны этим соотношением.
Тоже надо будет немножко поднапрячь мозг.
Ну придется поднапрячься.
Значит, давайте буквой g обозначим такую
функцию от элемента чума: это просто мощность.
Значит, вот это у нас объединение по j, принадлежащим J Sj,
так вот это просто мощность этого объединения.
Просто количество элементов в нем, как в некотором множестве,
которое находится внутри Ω.
Все такие пересечения — это подмножества Ω, у каждого из них
можно найти число элементов, потому что мы всегда говорили о конечных множествах.
А теперь давайте введем более хитроумную функцию,
которую я сейчас введу, а вы над ней еще в течение перерыва потом подумаете.
Так будет проще.
f(P).
Это ужас.
Так, P — это вот это по-прежнему.
Это элемент чума, заданный каким-то там множеством индексов j.
Давайте по определению считать, что f(P) — это
число элементов
в вот этом пересечении,
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] число элементов вот в этом,
собственно, пересечении, собственно, в этом множестве P,
которые не принадлежат,
не принадлежат
ни одному P',
равному j∈J' Sj,
которые не принадлежат ни одному P', задаваемому стандартной формулой,
такому, что J' объемлет
строго множество J.
То есть это такие элементы, кратко говоря,
которые принадлежат вот этому элементу чума,
но не принадлежат ни одному его строгому предшественнику, строгому предшественнику.
Предшественники — они меньше, если они строгие, ну вообще говоря.
Хотя могут быть и не меньше, могут быть совпадающими.
Мы такой пример тоже приводили.
Но вот для каждого P мы определяем количество таких вот элементов,
которые для него уникальны.
Они задаются только им.
И никакими более жирными пересечениями они заданы быть не могут.
То есть вот у нас был какой-то P,
скажем, пересечение двух «сосисок», да?
Кто такие его строгие предшественники?
Ну это какие-то пересечения с бо́льшим количеством индексов, правильно?
Какие-то пересечения с бо́льшим количеством индексов.
Там может быть, конечно, как угодно, но вот есть какие-то элементы здесь...
Ой, извините, здесь конечно.
Есть какие-то элементы,
которые не попадают уже ни в какие более жирные пересечения.
Они совершенно уникальны для вот этого элемента чума.
Вот это — их количество, f(P).
[ПАУЗА] Понятно,
как посчитать f(P), если у вас есть конкретный ЧУМ с конкретными множествами?
Вы смотрите вот это пересечение, например, двух, и смотрите,
есть ли в нем вообще какие-нибудь элементы, которые не принадлежат больше
никаким более детализированным, более частным, что ли, пересечениям,
более глубоким пересечениям, с бо́льшим количеством множеств.
Ну давайте, прежде чем мы устроим перерыв,
я вам задам такой вопрос: а чему равняется f(Ω)?
Вот если вы сейчас мне скажете,
чему равняется f(Ω), вам чуть-чуть легче на душе станет.
Вы станете лучше понимать определение f.
Я слышу какие-то правильные ответы.
А? Нет, что значит «множество»?
f(Ω) — это число.
Ноль.
Ноль.
Правильный ответ — 0.
Потому что, например, вот у этого Ω — у него вообще все предшественники,
понимаете?
У него все предшественники.
S1 — предшественник, S2 — предшественник.
Потому что пустое множество индексов содержится как строгое подмножество
в любом множестве индексов.
Например, в одноэлементных.
То есть вот у такого парня, у Ω — у него предшественники и S1, и S2,
и S3, и Sn — все являются предшественниками.
Но ведь Ω — это их объединение.
Как же в нем могут быть элементы, которые не принадлежат его предшественникам?
Ω — это объединение множеств S1,..., Sn.
Конечно, в нем не может быть элементов,
которые не принадлежат ни одному из этих множеств, S1,..., Sn.
Это нонсенс.
Поэтому f(Ω) = 0.
Понятно?
Или не очень?
Я могу это написать на доске, если нужно, чтобы зафиксировать.
Ω покрывается
полностью множествами S1,..., Sn, и они все — его предшественники.
Значит, таких элементов,
которые бы предшественникам не принадлежали, просто нет.
f(Ω) = 0.
Ну и давайте перед самым уже началом перерыва я сформулирую утверждение,
которое доказывается путем пристального на него взгляда,
который я вам предоставлю проделать в течение
5 минут перерыва, ну а потом еще прокомментирую.
Утверждение — это не теорема, это просто в принципе понятный факт.
Факт говорит о том, что f(P) — это, конечно,
в точности сумма по всем P', нестрого предшествующим P, g(Р').
Ой, наоборот, конечно.
Извините, да, g(P) нехорошо обозначил.
Да, конечно, наоборот.
Это сумма f(P'), да.
То есть количество элементов в множестве — ну давайте я прямо скажу, я думаю,
что будет понятно на слух.
Как посчитать количество элементов в множестве?
Надо сначала посмотреть на его уникальные элементы.
Это будет f(P).
Потом убрать их и посмотреть на уникальные элементы каких-то его предшественников.
Потом убрать их и посмотреть еще более глубоко вложенных предшественников,
и там взять уникальные элементы.
И вот сумма этих количеств уникальных элементов
— это и есть количество всех элементов Р.
На самом деле, это просто очевидное, по сути, утверждение.