Сейчас я расскажу вам, ну, если хотите, такую достаточно интригующую историю, а доказывать теорему соответствующую я, с вашего позволения, не буду. Хотя вы меня и просили усложнить курс, но не до такой же степени, право. Там очень трудная теорема, о том, как устроена величина p от n. Больше того, я вам скажу: никакой явной формулы, короткой формулы для вот этой функции не существует и в каком-то смысле, не может существовать. Известна лишь асимптотика этой функции. Асимптотика, я, вообще, когда-то говорил, да, ведь что-то такое асимптотика? Или не говорил? Нет? Не говорил? Сейчас скажу. Сейчас все скажу. Вам уже понравится. Так, ну, давайте, во-первых, я просто напомню, что такое асимптотика на пальцах. Вот смотрите, пусть у нас есть две функции натурального аргумента, две последовательности чисел. Пусть f(n) — это какая-то функция натурального аргумента N, и g(n) – это тоже какая-то функция натурального аргумента N. Функция натурального аргумента N. Вот есть две какие-то функции, ну, давайте еще считать, что обе они принимают только строго положительные значения, ну, просто потому что нам это нужно будет в конкретно такой ситуации, и я не хочу морочить голову случаями, когда функции, могут обращаться в ноль. Давайте считать, что просто для любого N и f(n), и g(n), ну, как минимум, не равняются нулю; ну, а в нашем случае, они еще будут больше нуля. Это, конечно, немного ограничивает наши возможности, но у нас других ситуаций то и не будет. Вот, тогда мы будем говорить, что функция f, функция f асимптотически, асимптотически равна функции g при n, стремящемся к бесконечности, асимптотически равна функции g при n, стремящимся к бесконечности, если просто вот такое отношение f(n) поделить на g(n), стремится к единице при n, стремящимся к бесконечности. Ну, f то всем понятно, что значит. У меня к вам дурацкий, может быть, как кому-нибудь покажется, вопрос: а понимаете ли вы, – как ни странно, не всегда люди это понимают, хотя, это вроде очевидно, – понимаете ли вы, что из того, что отношение двух функций стремится к единице, вовсе не следует, что их разность стремится к нулю. Ну, есть тривиальный пример: одна функция это n + 1, другая функция — это n. Отношение, конечно, стремится к единице, но разность, извините, никак к нулю не идет. Вот, то есть все-таки здесь важно подчеркнуть, что у нас отношение стремится к единице, а ни в коем случае не разность к нулю. Ну, хорошо. И мы будем писать, что f(n) асимптотически равняется g(n) с помощью вот такого значка. Вот этот значок ~ (тильда), он обозначает в точности то, что я написал. F асимптотически равняется g. Так вот, давайте я вам теперь расскажу интересный такой исторический факт. Сейчас я эти печальные и радостные новости сотру, но вы про них не забывайте. Ну, во-первых, теорема, которую мы теперь можем сформулировать с помощью вот введенного обозначения асимптотического равенства. Теорема, авторами которой являются два замечательных математика, именно про них я расскажу через некоторое время, значит, два замечательных математика: Харди и Рамануджан. Ну, я думаю, что кто-то из вас, конечно, слышал имя Рамануджана, вот, но я все-таки расскажу про это, это очень важно для истории как бы нашей науки. Они доказали, что p(n) асимптотически равняется следующей замечательной совершенно функции. Она замечательна тем, что в ней участвуют сразу две мировых константы. Значит, во-первых, надо единицу поделить на 4n корней из тройки, но это не мировые константы, 4 и корень из тройки — это какой-то триф, это не интересно. Ну, и понятно, что p(n) не может равняться этому, потому что это стремится к нулю. Это как-то странно. Значит, надо умножить еще на что-то, а умножить надо вот на какую штуку. Значит, здесь стоит первая мировая константа. Это константа E, 2,71, ..., она возводится в степень pi, которая и есть, естественно, вторая мировая константа. Но не просто так, i надо еще умножить на корень из 2/3, а это надо еще умножить на корень... Ну, давайте, я пока напишу на корень из n, но вот про это сейчас будет как раз известный некоторым из вас, возможно, анекдот. А может быть, никому не известный. Анекдот исторический, это не такой анекдот, конечно, как история про ферматиста, это в каком-то смысле, более математически содержательный факт. Значит, вот авторы этой теоремы, Харди, Рамануджан. Давайте я немножко просто скажу слов об этих людях. Харди — это такой замечательный, английский математик, очень сильный специалист по анализу, теории чисел и комбинаторики. А Рамануджан – это такой совершенно гениальный индийский самородок, который, в общем, ну, сам зародился, как вот слово самородок, да, он сам зародился в математике, его никто не учил. Он каким-то образом начал, будучи, в общем-то, достаточно бедным в своей Индии человеком, начал передоказывать, не зная об их существовании, классические результаты математики, уже доказанные к тому времени в Европе, а иногда и самые современные факты тоже. То есть, он там переоткрыл, скажем, распределение простых чисел в натуральном ряде, о котором мы с вами обязательно в рамках этого курса поговорим. И многое-многое другое: цепные дроби, которые мы с вами тоже обсудим. Он оказался ну вот совершенно гениальным самородком. И Харди, который жил в Англии, он в некоторый момент просто обнаружил этого товарища Рамануджана. А Рамануджан жил в Индии, которая на тот момент была колонией Англии, поэтому ну в какой-то степени это было все-таки не мудрено. Вот он обнаружил, что есть совершенно гениальный молодой человек, который доказывает результаты, зачастую непосильные европейским математикам. И он его выписал к себе в Англию. Из этого получилось, знаете, я вот стер хорошую-плохую новость, да, из этого тоже получилось одно хорошее, как бы это сказать, последствие и одно плохое. Хорошее последствие состояло в том, что тандем Харди и Рамануджан произвел кучу совершенно потрясающих результатов, включая вот этот. То есть это действительно было очень хорошим следствием того, что Харди нашел Рамануджана, а плохое последствие состояло в том, что, к сожалению, Рамануджан в какой-то момент заболел туберкулезом и умер. Он был очень молодым человеком на тот момент. То есть, конечно, не исключено, что если бы он не уезжал из родной Индии, он пожил бы подольше. Вот, ну тем не менее он с большим воодушевлением работал вместе с Харди, и вот это один из результатов, который они вместе получили. Но это все не анекдот, конечно. Какой это анекдот? Это просто история. А анекдот касается того, как они доказывали этот результат. Ну, в основном в рамках тандема Харди доказывал, а Рамануджан придумывал какие-то совершенно неожиданные ходы. И вот доказать теорему о числе разбиений данного числа n на слагаемые им никак не удавалось. Они думали над этим постоянно, и Харди предлагал какие-то соображения, и Рамануджан тоже что-то придумывал. И однажды ночью Рамануджану явилась индийская богиня, ну, серъезно, просто вот так он рассказывал, во сне к нему пришла богиня и сказала: «Друг мой Рамануджан, ты вот мучаешся над этой замечательной проблемой и ты ее решишь. Но ты ее решишь, если вот в этом месте ты поставишь не корень из n, а корень из n- 1/24. Вот, не больше, не меньше — так сказала. Он проснулся, пошел к Харди и сказал. Давай поставим сюда 1/24. Ну и через некоторое время у них все получилось. То есть они доказали теорему именно в такой форме. У них действительно получилось доказательство.
