課程介紹與教學目標 (About the course) 房屋為我們遮風避雨，讓我們安心工作、生活，而結構系統又是房屋的骨幹，讓房屋能站的又高、又直、又穩。你知道橫者為梁，直者為柱，但你知道在結構工程師的眼中，梁與柱有什麼其他的不同嗎？他們其中藏著什麼秘密，能支撐起整個結構？工程師要怎麼決定梁該有多深？柱該有多粗？該用矩形、圓形還是其他形狀？該用實心還是空心？在有地震的地方，設計上是否又有不一樣的考量？ 材料力學是通往上述問題解答關鍵的一步。在材料力學(一)裡，我們會由大家熟知的虎克定律開始，以蓋房子的重要材料「結構鋼」為例，深入探討「力量」與「變形」這兩個令結構工程師愛恨交加的物理量之間的關係。然後依序探討結構桿件受軸力（拉/壓）、受扭、受彎、受剪四大外力作用下，會在桿件內部產生怎樣的相對應變形與受力，並探討建築結構設計概念與提供桿件設計演算範例。 本課程是希望精通「鋼筋混凝土設計」、「鋼結構設計」、「木構造設計」者必備的先修課程，也為對「彈性力學」有興趣者，提供許多基礎知識與這些知識如何實際應用於工程設計。 主要授課對象為土木、建築相關從業人員與在學學生，其他包括工學院各科系同學或對材料力學有興趣的人士，也歡迎選修。 授課形式 (Course format) 本堂課將以影片的形式為主, 搭配課後作業及期末報告的形式來進行。 修課背景要求 (Recommended background) 靜力學 ( Statics )
3-1 扭力桿件的變形
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來自 National Taiwan University 的課程
材料力學一 (Mechanics of Materials I)
25 個評分
從本節課中
桿件受扭力
學習目標：1. 了解並能夠計算靜定與靜不定扭力系統受力與變形的關係。 2. 了解並能夠計算薄管壁結構受扭所產生的應力。
與講師見面
黃尹男副教授 (Associate Professor)
土木工程學系 (Civil Engineering)
各位同學大家好！
這一周我們要學習一個新的主題，就是如果有一個桿件
它受到torsion扭動的時候，它的整個外部的
變形會是怎麼樣，然後裡面不同位置的材料它所受到的 力量，內部的力量跟變形又是什麼樣子。
呃，所以這個禮拜的課程結束之後，你就會知道像這樣的桿件你如果去扭它
它裡面受力的狀況到底會是怎麼樣，在哪些地方受到比較大的力，然後那個力量這個裡面的纖維啊、
材料啊，它所受到的挑戰，跟你外面施加給它這個扭矩的大小
的關係式你就可以知道了，可以想像你有一天會做這樣的
一個，有辦法解決這樣的一個問題嗎？只要看完這個禮拜的課程就可以了。
好，我們首先來了解一下這個扭轉的這個
是怎麼樣施加，然後它的一個大小跟它的
造成的變形的狀況是怎麼樣，像這樣子大家在投影片上面看到
的這樣的一個Shaft，這樣的一個圓形的一個這個桿件
然後呢，它在端點的地方被焊了一根鋼體的一個
桿子，長度是d，然後兩邊被加了一個力哦，那這個
然後這個Shaft的另外一端是固定在牆上的，那像這樣子的一個作用系統
當然它就會被讓這根桿子受到一個torsion，然後它的大小是P乘上d
OK，那通常呢我們是用這樣子的一個雙箭號的
符號來表示這個torsion，那這個是用右手定則來表示的，所以就是說
如果你拿出你的右手，然後就是像這個，那個箭頭
這個手指頭的方向就是要指向你那個雙箭頭的方向，所以如果你是把一個東西這樣子在扭
那你你寫的那個雙箭號就是這個樣子，那你如果是這樣子在扭它
再加一個力在它身上的話，那你的雙箭頭就是朝裡面這樣子去擠它
OK，好，所以是用右手定則，所以你這樣子在扭，就是畫這樣的雙箭號
如果我們用一個魔術方塊，那你這樣子在扭，這樣子在扭，那你的torsion就是要
畫這樣子雙箭號，如果你是這樣子 這樣子在扭它，那你的torsion就是這個方向的雙箭號
好 然後呢，torsion的我們通常用一個T來代表它喔
那它的單位當然就是一個力量乘上一個距離的單位，如果像這樣子的一個
受到torsion T大小的這樣子的一個
圓，圓形斷面的一個桿件喔，那大家注意一下
就是我們在這一個禮拜講的這個torsion，受到torsion的 作用的這個桿件呢我們都是用圓形斷面
好，原因就是因為圓形斷面的行為跟方形是不一樣的。
那其他不是圓形，像方形的這個形狀的桿件，你受扭之後呢，它會產生比我們這個禮拜要講的
這些桿件還要再複雜的行為，那我們這個禮拜講的都是一個圓形的斷面，
好，如果我在這個，這個
表面上面，這個圓形的這個桿件的表面上面畫上一個這個紅色的
正方形，那我這個torsion加上去之後這個圓形的正方形
這個，對不起，這個表面的正方形，它會變成什麼形狀呢？ 它會變成像底下這一個
虛線的形狀，原本是一個正方形，這個torsion一加上去 之後它就會被扭成這樣子的一個，好像一個菱形的一個形狀
所以大家會看到在這一邊，角度從90度被張開了
然後在另外一邊的這個角落它從90度被往裡面縮
喔，那這一個東西，當我們這個
課程結束之後呢，你就會發覺，就是這樣的T呢，會造成這一個
好，我如果把這個桿件，好，就是我把它這樣
表面這樣削一小片這樣下來的話，那一小片它其實是會被
這個torsion造成的一小片，它就是會被有一個這樣子，四邊有一個這樣的力量，跟它這個
切面呢是平行的這種力量會去作用，那這種我們知道這種就是剪力
那所以也因為這樣子的一對，四周
這種剪力的形狀，就把它這樣子往旁邊拉長，就讓它變成有點像菱形這個樣子
好，那如果那個剪力我們把它除以面積就變成一個剪應力，好，那剪應力
它也本身也是有一個虎克定律，那剪應力相對應的就是
剪應變，好，那剪應變指的是什麼呢？好，例如說這個角度
好，這個角度的這個變化就是一個，你把，我們指的就是這兩邊
好，這個角度收進去多少，這兩個加起來呢就是相對於這一個剪應力的剪應變
那，剪應力跟剪應變之間的這個線性關係
就是剪應力的虎克定律，然後那一個常數呢，我們把它叫做shear modulus，
剪力常數G，通常是用G來代表 所以呢這一個剪應變我們剛講的，例如說就是這個
這兩個角度加起來喔，那其實也就是說，這一個原本是90度，後來被張開這麼大
就是張開的這個角度減掉這個90度，如果你把這整個菱形這樣把這兩邊把它重合躺下來
那這這個角度的變化就是這個γ，就是我們定義的剪應變
OK，所以它跟τ跟γ之間的關係就透過一個shear modulus
好，好
那如果我們去扭動我們來看一下它的變形到底是什麼樣子呢？
大家看到如果這樣子的一個圓形的桿子，我在端點的地方把它加了一個這個方向的
這個torsion，原本的這個
原本的這一條黑色的線就被扭，這個q的位置整面就被扭到q'
就被扭到q'，所以原本的這個還沒有受到這個torsion作用之前這條線呢
你若在這邊畫一條線，它就會被扭到紅線這邊，扭過來，那我們有幾個詞要定一下，這一個
扭轉的這個角度我們就把它叫做扭轉角，叫angle of twist，
扭轉角就是這個Φ angle of twist。
然後呢，它這個，你看它這個沿著這個徑向表面，如果我原本畫一條黑色的線
這條黑色的線就會被扭動到這個紅色的這條線這邊 OK，好。
那我們如果把這一小片，把它切開來看喔，所以這一小片
我切的很小喔，就是在這一根桿子上面，這個dx在這邊，然後呢，你看我原本還沒有扭之前呢
我是這個黑色的abcd，這一個黑色的這個長方形
那我一扭了之後呢，它就被，這個b就變到了b'
然後c就變到c'，所以就被我扭動成這個，被剪之後的一個形狀
好，那這之間夾的當然就是我們剛講的剪應變γ
那為什麼在這邊又有一個γ maximum呢？那等一下我會再解釋，那是因為如果你
這一圈你是往裡面再削一點的話，那個剪應變就不會那麼大
好，然後這個剪應變就是我們剛講的那個
γ，那在這邊就會看到，那這個γ，我們先來看這個γ跟這個
額，這一小片的這個轉角喔，就是這，因為它現在原本是圓心到b點這條線呢已經被轉到b'
被轉到b'，然後這個就是我們剛講的扭轉角angle of twist
那為什麼加一個d，因為這一，為什麼是很小，因為
我們現在這一整段的長度是只有dx，我們看的是這一面相對於另外這一面它被
轉過來多少的那個角度，那這一個Φ呢，看的
是這個自由端這邊的，所以它是已經是從，它已經是每一小片的這個dΦ
然後一直被累積累積累積，累積到這邊才會轉了這麼多，好，所以它這個只是一小部分。
好，那我們看這個dΦ 我把它乘上這個管子的半徑，哦，對不起，這個斷面的這個半徑
好，就是這一段bb'的這個長度，對不對？ 好，bb'的長度，然後呢，這個長度呢也可以用另外一個算法
是什麼？就是我用這個剪應變的這個角度乘上這一段的長度 乘上這一段的長度，好，所以也就是說，γ
maximum乘上ds會等於 dΦ乘上這個r，OK
那所以呢，你看γ乘上dx就會等於r乘上dΦ
OK，好所以呢，我們從這邊我們可以定義另外一個參數，我們把
dΦ除以dx定義成叫做Rate of twist然後我們用θ來表示，這個θ就是說
你沿著你這個管子的徑向，你沿著你的管子的徑向，你每走過來一個dx的時候
這一段這一面跟這一面之間多轉動了多少
的那個扭轉角的一個增量，好，就是dΦ除以dx，好，所以如果
我的θ越大，就代表說它這個，那個扭轉角增加的或減少的越顯著
好，所以它是一個沿著x的一個 θ的增加或減少的一個，一個rate
那這個θ在乘上這個管子的這個半徑呢，它相對應
的就是在，呃，我這個r相對的那一圈那個地方的這一個
剪應變，好
所以呢，如果今天我把這個管子 就是我們剛看的是最外面這邊，最外面這邊，然後
有這樣子的一個關係，有沒有，就是我的γmax等於r乘上θ r乘上θ
那如果說，如果我的θ，θ就是，如果我整根，我現在這個是只有dx
如果我整根，呃，長度就是它的θ都是一個constant
好，那就是，我可以，我就可以把θ算成是整根從頭到尾，總共轉了多少θ，然後再除以L
這個就是我的，整根從頭到尾轉了多少θ，轉了多少扭轉角再除以我整個的長度
L，這樣子就是我的θ嘛，好 所以這個是，我們剛看的γmax，但是
如果我今天我看的不是最外面這個地方，我是在裡面這個地方我把它切開好了
好，我把它切，所以這個半徑是ρ，就不是整根的半徑了，我如果是看
這個地方，那我剛剛講的那個關係也是成立啊，對不對，就是我變成我的ρ乘上dθ
會等於我這邊裡面那個地方的這個剪應變乘上這段dx
對不對，好，所以就會形成什麼 我就會跟它得到一個一模一樣的式子，只是我的r會變成ρ，我的r會變成ρ
所以，我如果我剛剛看的這個γmax是我在這一根的這個
表面的地方，我如果在這邊畫一個正方形，我一扭它，它會出現一個
剪應變，那個是在表面這邊的這個剪應變，我如果呢是把它看往裡面一點
那個地方我把那一條切出來，我一樣我們在扭的時候裡面的那一個，裡面
那個圓柱子上面的方塊也會被扭，那那時候的剪應變往裡面切的時候呢
那一個剪應變叫γ，所以這個γ跟γmax之間呢， 因為這一個關係跟這一個關係就會形成說
原來γ跟γmax是一個線性關係，因為θ都一樣對不對 然後一個是ρ一個是r，所以呢
就是，我的γ比上γmax就是等於ρ比上r
所以我們如果這樣子來看這一個管子，就是
不見得是管子，它也可以是實心的，你知道一扭之後在最外面就是
因為你的剪應變，剪應變會隨著你離圓心的距離
越大越遠的話，那你的剪應變會越大，你的剪應變會越大
一直到而且是一個線性的關係，一直到你的切的那個地方你的半徑
等於這個，這一個圓斷面的半徑的時候，那它就到達這個γmax
所以我的ρ如果等於0，在圓心的地方，也就是說，我這樣去扭它的時候
好，我如果看的是圓心那個地方 我如果切一個圓心那邊抓一個出來，那它上面的
我看到的那個，我如果在上面也畫一個方塊，它扭的那個
呃，應變其實是很小的，越往外面切的那個東西 一拉出來，同樣整根這樣被扭，我越往外面切
我把那個拉出來，我看上面那一個方塊上面被，被剪形成的那個
剪應變，其實是會，越往外面切那個剪應變是會越大 而且隨著它跟圓心的距離是一個線性的關係
好，所以在
如果像這邊的這樣子的一個case，好，我們有r1跟r2假如它是一個管子的話
那這一根管子受到T的這個torsion作用 它最大的剪應變當然是發生在最外緣這邊
好，然後它的剪應變大小就是r2Φ乘上，除以L
然後最小的就是在呃，因為裡面是空心嘛 當然就不會有剪應變，那就是這個r最小的地方
就是r1，相對應的就是一個最小的剪應變 然後r，這個γ
minimum跟γ maximum的關係就是r1比r2的關係
好，那最後我們在這邊可以看到一個呃，這樣子的一個關係哦
這邊是一點複習，就是我們軸力桿件 我們用一個矩陣來代表我們之前學的東西哦
這個矩陣的呃第一列是代表內部的一個狀況
第二列代表的是外部，然後呢第一行是代表
力量，第二行的參數是跟變形有關的，所以在這一格，我們就是對應的外力
而這一格我們對應的就是一個外變形，所以如果是一個受軸力的桿件，我們外力當然就是指
我施加在上面的，好去把它的那個力量P的大小，然後外變形指的就是它到底伸長了多少就是那個δ。
那力量我們裡面呢，我們往內看材料受到的它的應力，內部的應力是多少，就要放在這一格
然後如果是，材料的這個內變形呢，就是ε這一格
就是裡面材料它相對於它的這個應力產生的一個應變，
那應力跟應變之間的關係，當然就是透過σ的Eε這個虎克定律
然後呢，如果是，內部的這個應力
跟這個外力的這個應變之間的這個關係呢，這也是我們之前學的，好
然後呢，那外部的這個應，外部的變形跟ε之間的關係，這個也是我們之前給ε的一個定義
好，那如果你看這彼此之間的關係，如果這是 這兩個之間的關係，這兩個跟這兩個關係又有了，那這兩個的關係當然一定
就可以透過這些東西裡面去把它建立起來，所以我們把這兩個代進去
這兩個代進這邊，這個代進來這邊，我們就得到我們之前學的這一個 外力跟外變形之間的關係，所以這個是外力、
外變形的虎克定律，這個是應力、應變的虎克定律 現在我們來看剪應力，我們現在學到的
剪應力跟剪應變之間的關係我們已經建立起來了，然後呢我們也知道，我外部這個扭轉角
這個扭轉角，跟我這個材料受到的這個剪應變之間的關係原來是有一個
好，這樣子，那不過要提醒大家注意，這一個 dΦ除以dx要變成Φ除以L，這個必須要
就是，那個θ是constant的時候 它才能夠，這樣子來做一個類比，就是從頭到尾它的
扭轉角的變化率沿著x方向是固定的時候
那，我們還不知道的就是
T跟θ之間的關係，還有T跟τ之間的關係到底是怎麼樣
好，那這就是我們下一個影片要幫大家建立起來的一個關係
好，那這邊我們已經知道了很重要的E跟G這2個參數。
好，它們是我們這個彈性力學或者是材料力學，就是很重要的兩個
參數，好，跟材料有關的參數，那我們之前還講過了一個Poisson’s ratio
這個參數，好，柏松比，大家不知道還記不記得，這三個都是我們去研究一個材料的時候它很基本
我們要掌握住的一個材料參數，但是它們三個之間對一個isotropic的材料
來講，這三個之間它並不是互相獨立的，好，它們之間是有一個這樣子的關係
你只要知道其中兩個，你可以去求第三個
好，那isotropic是什麼意思，是指的一個等向性的材料， 它在它的性質，它的
E、G、 v、 μ這些東西，就是可能什麼方向你試起來都一樣，例如說
木頭，它就不是一個isotropic ，它裡面的纖維有紋路
所以呢你把它，你截一個木頭的切片，你用某個方向去拉，拿出來的那個E值
跟你把它放了90度，再去拉另外一邊拉出來的E值，兩個會不一樣
OK，所以這一種就不是一個isotropic，所以isotropic的材料， 等向性的材料呢，例如像鋼
鋼就是一個非常典型的等向性的材料
