Ces quelques leçons de mécanique du point matériel font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel Pour illustrer les concepts introduits dans la première partie, on traite ici des problèmes pour lesquels le système mécanique peut être considéré comme un point matériel. Cette partie couvre notamment les problèmes à traiter en coordonnées cylindriques ou sphériques, le problème des orbites des planètes et les référentiels accélérés. 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
9.2 Le pendule mathématique
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Mécanique du point matériel
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Contraintes géométriques. Pendule mathématique.
Cette leçon est dédiée à un type de problème caractéristique de la mécanique du point matériel, dans lequel une contrainte géométrique est exprimée simplement pour autant qu'on utilise des coordonnées généralisées.
與講師見面
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour, bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.
Dans cette leçon,
je traite de problèmes de points matériels
astreints à se déplacer sur une surface ou une ligne donnée.
Ici, je vais regarder en détail un problème de ce type,
le problème d'un pendule idéalisé, appelé le pendule mathématique.
Le problème du pendule a son importance historique,
puisque Galilée, déjà,
avait observé le comportement des pendules.
En particulier, il avait remarqué que la période d'un pendule
ne dépend pas de la masse qu'on accroche au pendule.
Un résultat que nous allons retrouver ici.
Alors, je vais commencer par définir le pendule comme un problème
de point matériel avec une contrainte géométrique.
Je vais ensuite appliquer la marche à suivre
que je préconise pour tous les problèmes de mécanique.
On va obtenir des équations du mouvement,
et on regardera le comportement de ces équations, ou si vous voulez,
on regardera le comportement prédit par ces équations,
lorsqu'on a de petites oscillations du pendule autour de l'équilibre.
Ensuite, je montrerai comment aborder l'intégration
de cette équation du mouvement, par une méthode fort utile en mécanique.
Alors, je commence par la définition de ce que je vais appeler
le pendule mathématique plan.
D'abord, on va considérer qu'on a un point matériel,
on va supposer qu'il est sous l'effet de la pesanteur,
on dira que c'est un point matériel pesant.
On dit que ce point matériel est astreint à se déplacer sur un cercle,
encore une fois, c'est une façon d'évacuer toutes sortes de détails
sur les mécanismes qui assurent que le point matériel
oscille à une distance constante d'un point du référentiel.
On suppose que le mouvement a lieu dans un plan vertical,
et enfin, qu'il n'y a pas de frottement.
Je commence ma marche à suivre
avec la définition du référentiel,
pour un problème de pendule, il suffit de prendre
l'auditoire ou le laboratoire où je fais mon expérience.
Je matérialise
mon référentiel par un système de coordonnées cartésiennes.
je représente la force de la pesanteur,
en la notant F, sans spécifier plus avant ce que vaut F,
sinon qu'elle est verticale.
J'aimerais décrire le mouvement de ce pendule,
avec les coordonnées qui sont les plus commodes.
Manifestement, le mouvement d'un pendule
est caractérisé par l'oscillation ou la variation de cet angle,
donc je vais me proposer d'utiliser les coordonnées cylindriques
et utiliser l'angle phi des coordonnées cylindriques,
pour repérer la position de mon pendule.
Je recommande fortement
de construire le système d'axes cartésiens
de façon à ce qu'on ait toujours
la définition standard des coordonnées cylindriques.
Par exemple, l'angle phi doit être,
d'après notre définition, l'écart par rapport à l'axe x,
c'est pour ça que cet axe-là, je ne l'ai pas appelé z, je l'ai appelé x,
pour avoir, encore une fois, mon angle phi qui apparaît ici,
et qui décrit, de façon très commode, l'oscillation du pendule.
J'ai dessiné aussi, les vecteurs e rhô et e phi,
du repère associé aux coordonnées cylindriques.
Maintenant, dans ce problème-là,
on a des contraintes géométriques.
On va supposer qu'on reste dans un plan vertical,
si x est vertical, z est horizontal,
on n'a pas de mouvement dans la direction z,
Et rhô vaut la longueur du fil que j'ai notée l.
donc on a une contrainte sur z, z est nul en tout temps.
Je passe maintenant à la deuxième étape de notre marche à suivre,
C'est l'établissement du bilan des forces.
Alors, on a bien sûr la force de la pesanteur que j'ai appelée ici F.
J'ai la force, si on avait un fil,
manifestement, on aurait la force que le fil exerce, T.
Si on avait plutôt dessiné l'arc de cercle ici,
on aurait le même T, qui représenterait la force de réaction
du cercle sur le point matériel.
J'ai donc, la pesanteur et la force de liaison,
les deux seules forces qui vont intervenir dans ce problème.
La force de liaison, T,
je vais l'écrire comme ceci.
En l'écrivant comme cela, je me conforme à mon dessin,
j'ai dessiné T dans ce sens, parce que mon intuition me dit
que T est dirigé dans ce sens-là.
Dans ce cas-là c'est évident, si on étendait le cercle
jusqu'à la verticale vers le haut,
on serait peut-être moins sûr du signe de T.
Donc, je reviens à cette position-là, T est dirigé dans ce sens.
Je vais supposer T positif et mettre un signe moins.
Souvent, les étudiants sont troublés et se demandent
dans quel sens ils doivent mettre T.
Ce que je dis ici, c'est qu'il faut écrire le T ici,
qui corresponde à ce qu'on a dessiné.
De cette manière, si, à la fin du calcul, on trouve que T est positif,
ça veut dire qu'on avait raison, ce T était dans le bon sens,
si à la fin du calcul, ou dans un certain régime
et pour certaines positions, on trouve T négatif, T négatif,
ça veut dire que la force T sera dans le sens de e rhô,
dans l'autre sens.
Donc ici, à ce stade de la résolution du problème,
on ne fait que mettre ici
une projection qui correspond à ce qu'on a dessiné, là.
Pour la force de la pesanteur,
à ce stade, je ne présume pas, je ne dis pas F égal mg,
je vais juste écrire, F.
Je dois projeter cette force
sur le repère associé aux coordonnées cylindriques.
Ici j'ai l'angle phi,
donc j'ai cos phi dans la direction e rhô.
Je dois avoir un sin phi, avec un signe moins,
parce que la projection de F sera
du côté opposé à la direction donnée par e phi.
e phi est toujours dans le sens du phi croissant.
Donc j'ai mis ici un un signe moins,
mes signes sont justes par inspection du graphique,
tant que mes angles sont aigus.
Prochaine étape de ma marche à suivre :
la cinématique.
Ici, nous voulons utiliser les coordonnées cylindriques.
Donc, je vais chercher dans le formulaire l'expression de l'accélération vectorielle
projetée sur le repère des coordonnées cylindriques.
Je dois appliquer les contraintes géométriques,
d'une part,
la coordonnée rhô est une constante qui vaut l, la longueur du fil.
Donc ici, rhô point et rhô point point sont nuls.
Ce terme-là est nul, ce terme-là est nul aussi.
D'autre part, on est dans le plan vertical,
donc z égal 0, z point point est nul, ce terme-là est nul.
Il me reste deux termes à mon accélération vectorielle,
et vous vous souvenez qu'on est sur un cercle, on a un terme en e rhô,
c'est une accélération centripète, qui vaut l phi point carré,
dirigée vers le centre du cercle,
et le l phi point point est le long de e phi,
e phi est tangent au cercle.
On a une accélération tangentielle qui vaut l phi point point.
Maintenant, nous pouvons dériver les équations du mouvement.
Nous allons utiliser la deuxième loi de Newton, F = ma.
Ici on a deux forces, on a la pesanteur,
on a la force de liaison, et voilà masse fois accélération.
On a projeté toutes les grandeurs vectorielles ici, au préalable,
donc, on est prêt à écrire les équations du mouvement, que voici.
On a deux inconnues dans ces deux équations-là,
il y a phi, la fonction phi de T, et il y a la fonction t de T.
En principe, la pesanteur est connue,
je fais maintenant juste cette remarque par rapport à l'observation de Galilée,
Galilée a observé que la dynamique
du pendule ne dépendait pas de la masse.
Cette équation-là va nous donner la dynamique, le phi de T,
si on veut que cette équation-là ne dépende pas de la masse,
il faut que la masse tombe de l'équation.
Il faut donc écrire F qui vaut m fois g,
à ce moment-là, les m s'annulent des deux côtés du signe égal,
il n'y a plus de masse dans cette équation-là, et on a ce qu'on voulait,
une équation du mouvement qui est indépendante de la masse.
Une fois qu'on a trouvé cette équation du mouvement,
disons qu'on sache l'intégrer, on peut trouver phi de T.
Phi de T on le met ici, et dans phi point.
Et l'autre équation va nous donner T.
Je regarde maintenant les petites oscillations,
prévues par cette équation du mouvement.
Donc, j'imagine, que le pendule est ici en bas, et que donc phi est petit.
Phi petit, on va modéliser phi petit en remplaçant le sinus phi par phi.
Pour les petits angles, mon équation, à la limite des petits angles,
mon équation du mouvement devient comme ceci.
En attendant, je fais une pause
pour vous donner le temps de reconnaître cette équation différentielle.
Alors, cette équation différentielle,
c'est l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique.
On a introduit l'oscillateur harmonique pour une masse accrochée à un ressort,
on avait donc une équation différentielle
de cette forme pour une coordonnée cartésienne,
ici, on a une coordonnée angulaire, mais du point de vue mathématique,
on a la même forme d'équation,
donc on va dire qu'on a un mouvement équivalent.
On a un oscillateur harmonique, dont la pulsation vaut oméga,
donné par racine de g sur l.
Dans l'oscillateur harmonique,
on avait quelque chose du type x point point égal moins oméga carré, x.
Et on avait appelé oméga la pulsation.
Donc ici, on a oméga, qui vaut racine de g sur l.
Je rappelle que la pulsation oméga,
c'est 2 pi sur la période,
donc on obtient, pour la période,
2 pi fois racine carrée de l sur g.
On note que g est en mètres par seconde au carré,
ici on a des mètres,
la racine carrée nous donne des secondes, c'est bien l'unité d'une période.
Maintenant, je viens de considérer la limite des petits angles,
qu'est-ce qui se passe aux grands angles?
Alors, je peux imaginer un pendule qui est construit de la manière suivante:
vous avez un point matériel,
lié au point fixe par une barre rigide,
on présume que la barre est légère, et qu'on peut ignorer sa masse.
Quand on fait l'expérience, comme on le voit sur les vidéos,
on voit très clairement que si on part de très haut,
la période qu'on observe est beaucoup plus grande
que la période qu'on a quand on a les petites oscillations
autour de la position d'équilibre.
Je peux faire un dessin utilisant le modèle théorique,
j'ai dessiné ici l'amplitude phi 0
qui est l'amplitude de l'oscillation,
donc, c'est l'amplitude initiale.
Ici, je reporte la période,
normalisée, par la période à la limite des petites oscillations.
Donc ici, on a une petite oscillation, la fonction tend vers un,
et ce qu'on voit, c'est que si on a de grandes oscillations,
trois c'est voisin de pi, donc on est là en haut,
on a, pratiquement, une période qui est deux fois plus grande.
Donc c'est très clairement différent, la période du pendule mathématique
dépend de l'amplitude qu'on donne à ce pendule.
Si maintenant, on veut obtenir cette courbe-là,
donc le comportement du pendule à n'importe quel angle,
on doit repartir de l'équation du mouvement initial,
qu'on avait trouvée donc dans le cas général,
et on doit chercher à l'intégrer.
On repère ici une équation différentielle
qui a la forme suivante : ici on a une fonction de phi,
et là on a la dérivée deuxième de phi.
Dans un tel cas, on peut faire la manipulation suivante :
je multiplie l'équation par phi point,
et maintenant, quand je regarde ce terme-là,
j'y reconnais la dérivée par rapport au temps de phi point carré,
à un coefficient près.
De même, ici j'ai moins sin phi, phi point,
j'y reconnais la dérivée par rapport au temps de cos phi.
C'est ce que j'ai écrit ici, avec les coefficients correctement placés.
Maintenant, je vous mets en garde, il arrive souvent qu'un étudiant qui voit
que ces deux dérivées sont égales,
ait envie de dire que ce terme est égal à celui-ci.
Ce n'est pas correct, il faut voir la chose comme ceci :
vous avez d sur dt,
de la dérivée de une demi de phi point carré,
moins g sur l, cos phi.
Ça, c'est nul. Donc je suis en train de dire
que c'est ça qui est une constante.
Donc il ne faut pas se tromper, si deux termes ont des dérivées égales,
ça veut dire qu'ils sont égaux, à une constante près.
Je l'écris comme ceci. Cette constante-là,
ça doit être la valeur de une demi de phi point carré,
moins g sur l, cos phi, à n'importe quel autre temps.
En particulier au temps t égal 0,
alors je vais noter la valeur de phi point au temps t égal 0, phi point indice 0.
Et là, je vais mettre cosinus de phi 0, la valeur de phi, à t égal 0.
Je suppose maintenant que,
je lâche mon pendule d'un angle phi 0,
mais avec une vitesse initiale nulle,
donc je suppose que ce terme est nul,
il ne me reste plus que ce terme-là, c'est ce que j'ai écrit ici.
Et maintenant, je peux finir l'intégration avec quelques manipulations algébriques.
D'abord, je fais la chose suivante :
j'écris phi point carré égal 2 g sur l, fois cos phi,
moins cos phi 0.
Ensuite je prends la racine carrée, alors je vais le faire, comme ceci.
Phi point, ça vaut d phi sur dt.
Je peux donc écrire dt égal,
je passe le dt de ce côté-là du signe égal,
d phi, sur la racine de 2g sur l,
fois la racine de cos phi, moins cos phi 0.
C'est ce que j'ai écrit à la ligne en dessous.
J'ai le racine de 2g sur l qui vient ici,
à gauche, je n'ai qu'une expression qui dépend du temps
et ici, qu'une expression qui dépend de phi.
Je peux maintenant intégrer, de la manière suivante,
je vais intégrer entre le temps t égal 0, et un certain temps t,
et de façon correspondante, j'intègre entre la valeur de phi,
l'intégration est sur phi, j'intègre,
depuis la valeur de phi quand t était égal à 0,
c'était phi 0, et puis un certain phi, fonction de temps.
L'intégrale du membre de gauche est triviale,
j'ai donc t égal cette intégrale-là.
Alors, j'ai intégré, mais il y a une petite difficulté,
c'est que, normalement, ce qu'on appellerait l'équation horaire,
ce serait phi de t,
et on voit qu'ici, ce qu'on obtient, c'est t de phi.
Je ne vais pas plus loin car il y a une difficulté,
cette intégrale n'a pas une solution analytique simple,
c'est ce qu'on appelle une intégrale elliptique.
Donc on voit qu'on part d'un problème extrêmement simple,
le pendule mathématique,
et on tombe sur des difficultés au moment de l'intégration.
Tout tableur, ou tout programme d'intégration
peut calculer ceci, mais je ne peux pas en donner une expression analytique.
Je peux cependant
utiliser cette formule pour calculer la période.
Si je vais de phi 0, à moins phi 0, j'ai fait un demi-battement,
donc le temps, ici, va devenir la demi-période.
On voit ici qu'on a des unités de temps,
là, on retrouve un coefficient racine de l sur g
qui était proportionnel à la période
qu'on avait T à 0, c'est pas t égal 0,
il y a des facteurs 2 pi et il y a cette racine de 2 qui est apparue,
mais vous voyez pourquoi dans le dessin précédent, il était facile et naturel
d'exprimer la période T pour une amplitude phi 0,
en termes de la période pour une amplitude 0, ou voisine de 0.
Cette méthode d'intégration peut être utilisée dans de grands nombres de cas
parce que lorsqu'on fait de la mécanique, on a souvent
une équation du mouvement qui a cette structure-là.
Donc, ça peut être très, très utile.
Voilà, j'en ai fini de l'exemple du pendule mathématique.
Ce cours, je l'ai déclaré être un cours de savoir-faire,
pour apprendre à résoudre des problèmes,
il faut retrousser les manches et faire des problèmes par soi-même.
J'arrête ma leçon ici, je vous invite à aller voir les séries d'exercices,
où vous trouverez des problèmes avec des points matériels
astreints à se déplacer sur des surfaces,
ou des lignes particulières.
