Guten Tag, willkommen zur Vorlesung Allgemeine Physik der EPFL
In dieser Lektion habe ich die Grundlage der Kinematik des Massenpunkts gelegt.
Ich möchte hier die geradlinige Bewegung anschauen.
Wir werden zwei sehr klassische Beispiele anschauen:
die geradlinige gleichförmige Bewegung und die geradlinige gleichmässig
beschleunigte Bewegung.
Ich habe folgende Definition der gerad- linigen gleichmässigen Beschleunigung:
Ich nehme einen Massenpunkt der sich mit
konstante Vektorgeschwindigkeit V bewegt. Und ich gebe an, dass
der Massenpunkt,
zur Zeit t=0, durch einen Punkt O des Referenzsystems geht. Und ich
stelle die Frage nach der Zeit-Weg- Funktion des Massenpunkts.
Alles was wir kennen ist eine konstante Vektorgeschwindigkeit V.
Was ich nun tun werde,
ist, dass ich eine Koordinatenachse in der Richtung des Vektors V
nehmen werden, so wie hier, und ich werde
den Ursprung der x-Koordinate beim
Punkt O wählen. O ist der Punkt aus der Definition, durch welchen
der Massenpunkt bei t=0 geht.
Nun werde ich den Fakt nutzen, dass wir eine konstante Geschwindigkeit
haben. Wenn x meine Koordinate ist so ist x Punkt
meine Geschwindigkeit. Ich habe also x Punkt = v, eine Konstante.
Das kann ich alles aus meiner Definition und meinem
Koordinatensystem rauslesen. Ich habe hier
unsere erste Differentialgleichung.
Sie ist sehr einfach, sie besagt, dass x Punkt = v.
Man kann folgendermassen an sie herangehen: welches ist
die Funktion x von t, welche eine konstante Ableitung hat?
Ihr müsst eine gewisse Anzahl an Formeln im Kopf haben, vorallem
solche zu Ableitungen. Nun, es ist ganz einfach. Es reicht
natürlich die Funktion vt zu nehmen.
Wenn wir vt nehmen und nach t ableiten, erhalten wir v.
Ihr werdet bemerken, dass ich eine Konstante x0 anhängen kann.
Die Differentialgleichung x Punkt = v ist erfüllt, auch mit x0.
Es ist die Anfangsbedingung welche mir sagt, dass der Massepunkt
durch 0 geht wenn t=0. Mit unserer Wahl des Ursprungs
der Koodinaten, der Ursprung liegt bei O,
heisst das, dass bei t=0 muss x=0 sein. Zu t=0, x von 0
gleich 0. Setzt nun t=0 in dieser Formel.
Es bleibt x von 0 der gleich Null sein muss.
Und x von 0 ist gleich x0.
Wir haben also die Integrations- konstante gefunden.
Es bleibt die Zeit-Weg-Funtion x=vt.
Wir sind mit einer Definition einer Bewegung mit
konstanter Vektorgeschwindigkeit gestartet.
Wir haben eine Differenzialgleichung erhalten und die Zeit-Weg-Funktion
x=vt. Nun zur geradlinigen gleichmässig
beschleunigten Bewegung.
Stellt euch folgende Definition vor: Ihr habt einen Massenpunkt der sich
auf einer geraden Linie bewegt und man sagt euch, dass die Beschleunigung a
konstant ist. Ich frage nun nach der Zeit-Weg-Funktion des Massenpunkts.
Hier also die gerade Linie auf welcher mein Massenpunkt sich bewegt.
Ich zeichne den Vektor a, welcher seine Beschleunigung darstellt.
Ich halte fest, hier in der Aufgaben- stellung, dass der Massenpunkt
durch den Punkt O des Bezugs- systems geht zur Zeit t=0.
Nun, ich werde ein Achsensystem definieren
mit der Koordinate x, welche ihren Ursprung genau in O hat.
Und wir geben auch vor,
dass der Massenpunkt eine
Geschwindigkeit v hat wenn er bei O ist.
Mit x kann ich die Geschwindigkeit berechnen, sie ist gleich x Punkt,
und die Beschleunigung, x Punkt Punkt. Was uns die Aufgabenstellung nun sagt ist,
dass x Punkt Punkt gleich a, einer Konstanten ist. Hier also meine
Bewegungsgleichung, erneut eine Differentialgleichung.
Die Differentialgleichung sagt und einfach dass, x Punkt Punkt = a.
Ich muss also eine Funktion finden, welche eine zweite Ableitung
nach der Zeit hat die gleich einer Konstanten ist.
Um dies zu tun werde ich in zwei Etappen integrieren.
Zuerst integriere ich einmal.
ich suche eine Funktion,
wessen Ableitung gleich a ist. Diese ist mit at plus einer Konstanten,
hier C, gegeben. Jetzt sagt mir die Aufgabenstellung, dass bei t=0
die Geschwindigkeit gleich v ist. Wenn ich also in dieser Formel t=0
nehme, so habe ich x Punkt zur Zeit 0 die gleich C ist.
Also C=v.
Meine Gleichung ist nun x Punkt = at + v.
Nun suche ich eine Funktion x von t, wessen Ableitung gleich at + v ist.
Dies ist ziemlich einfach. Die Lösung ist ein halb at
im Quadrat + vt. Wenn ich ein halb at im Quadrat nach t ableite
erhalte ich wirklich
at, also diesen Ausdruck hier.
Der Term vt, abgeleitet nach t, ergibt v.
Ich kann auch hier eine Konstante hinzufügen.
Jetzt habe ich noch eine Anfangs- bedingung welche gegeben war.
Die Anfangsbedingung war, dass zur Zeit t=0
x auch gleich 0 sein muss, da ich ja
meinen Ursprung der Koordinaten auf dem Punkt O habe.
x0= ist also Null. Zurück bleibt meine Zeit-Weg-Funktion:
x= ein halb at im Quadrat + vt.
