Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
Expériences leçon 24
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Mécanique Lagrangienne
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Dynamique relativiste (optionnel)
On prend le point de vue d'induire par des arguments relativistes la relation qui doit exister entre la quantité de mouvement et la vitesse d'un point matériel. L'introduction d'un quadri-vecteur quantité de mouvement aboutit à la plus célèbre des équations de la physique : E = mc^2. On évoquera aussi la notion de photon.
與講師見面
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour!
Bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.
Dans cette leçon, j'introduis les bases de la dynamique relativiste.
Ici, j'aimerais vous parler d'une expérience qui va tester notre
prédiction sur la relation entre l'énergie cinétique et la vitesse d'une particule.
Ensuite, je vous illustrerai l'effet
Compton, c'est-à-dire la collision inélastique
entre un photon et un électron.
Alors, commençons avec la question de l'énergie cinétique.
Voilà notre formule pour l'énergie cinétique
d'expression relativiste et on aimerait voir sa
déviation par rapport à la prédiction classique une demie de m v carré.
Pour ce faire, je récris la formule de
cette manière et je vais, on sait qu'au premier
ordre on obtient une demie de m v carré.
J'aimerais maintenant faire un développement au deuxième ordre.
Alors, on peut facilement établir que le développement limité au deuxième
ordre 1 moins x quand x est petit, 1 moins x à la puissance moins une demie.
Et, comme indiqué ici, quand on utilise ce développement
limité pour notre formule de T, on voit que,
au deuxième ordre, T est corrigé par rapport à la
formule une demie de m v carré, la correction est proportionnelle au
coefficient une demie de m v carré divisé par m c carré, l'énergie au
repos de la particule. Par conséquent,
si on veut conduire une expérience qui montre une déviation
de la loi une demie de m v carré, il faut aller à des vitesses telles que
une demie de m v carré soit de l'ordre de m c carré, comme ceci.
Je profite de ces considérations-là pour introduire
une unité très utilisée en physique des particules élémentaires,
l'électron-volt. Un électron-volt c'est l'énergie
d'un électron dans un potentiel de un volt, tout simplement.
En général, disons, avec les particules élémentaires,
on travaille avec des multiples, ou bien le
MeV, méga électron-volt, le giga électron-volt,
ou encore le téra électron-volt, dix puissance douze électron-volts.
La charge d'un
électron c'est environ dix puissance moins 19 Coulomb, donc, un
électron-volt, ça fait, un virgule six fois dix puissance moins 19 joules.
Voilà la conversion dans une unité qui nous est plus familière.
Maintenant, la masse d'un électron, comme on dit, c'est 0,5 MeV,
en fait ce qu'on veut dire c'est m c carrés qui
vaut 0,5 MeV, ou m vaut 0,5 MeV par c carré.
En général on dit que la masse de l'électron c'est 0,5 MeV.
Si on veut observer une déviation de l'énergie cinétique par rapport à la
formule une demie de m v carré, il nous faut une énergie de l'ordre de 0,5 MeV.
Donc,
il faut accélérer un électron dans une tension de
0,5 mégavolt, et cela, ce n'est pas facile à réaliser.
Pour vous montrer comment on pourrait procéder, et pour montrer la difficulté,
je vous invite à considérer un générateur de Van der Graaf.
Alors vous voyez ici le schéma de principe, vous
avez un ruban d'une matière plastique qui tourne sur des
rouleaux et par triboélectricité, il y a des charges
qui se dégagent lorsque le plastique se décolle du rouleau.
Voilà le dispositif qu'on a les rouleaux, la bande qui passe sur les rouleaux
c'est donc cette bande blanche, actionnée par un moteur.
On a mis un appareil de mesure.
Vous verrez qu'on obtient des kilovolts et pas plus
parce que on a des arcs qui se créent.
Je vous invite maintenant à regarder la vidéo.
Les charges s'accumulent sur le papier, les charges se repoussent,
et donc les papiers se repoussent les uns les autres.
Et vous observez qu'il y a des claquages parce que la tension
est suffisante, suffisamment grande pour faire des arcs.
Bien le collecteur,
la cage de Faraday, elle se charge et donc on peut la décharger comme ceci.
Si on veut atteindre non pas
25 kilovolts mais deux mégavolts, alors il faut des installations beaucoup plus
grosses, comme celles que vous voyez sur cette image,
c'est une installation qui se trouve chez nous à l'EPFL,
c'est le gros caisson blanc dans le haut de l'image qui contient
un générateur de Van der Graaf qui peut atteindre, je crois, deux mégavolts.
Vous voyez autour des tables, des tabourets ce qui
vous donne une idée de la taille de l'expérience.
Bon, quelle que soit la façon d'accélérer les électrons, le
principe de la mesure de l'énergie cinétique et de la
vitesse est illustré sur le schéma suivant.
Vous avez ici un dispositif permet d'accélérer les électrons.
Les électrons sont produits à une cathode.
On va détecter leur passage au point A et au point
B, ce qui nous permettra de mesurer le temps de vol entre A et B.
On connaît la distance entre A et B, donc on déduit la vitesse.
Maintenant, les électrons qui arrivent ici avec une certaine énergie
cinétique, ont cette énergie cinétique qui est transformée en échauffement.
Il s'agit bien sûr de calibrer,
euh, l'énergie cinétique par rapport à l'échauffement.
Et l'échauffement va nous donner une mesure de T, l'énergie cinétique.
On arrive alors à ce genre
de résultat, ici vous avez l'énergie cinétique
mesurée en fonction du carré de la vitesse.
La droite correspond à la prédiction une demie de m v carré, là vous avez des
points de mesure, et vous voyez que, on a en effet une dévisa, une
déviation notoire par rapport à la prédiction classique dès que
on a une énergie cinétique qui est de
l'ordre de l'énergie au repos de la particule.
Et cette ligne-là, c'est la prédiction
relativiste qui est donc pleinement revérifiée.
Je passe maintenant à l'effet Compton.
Alors, l'effet, pour l'effet Compton on utilise des rayons X.
On a une source de rayons X, on a un
matériau diffuseur, lorsque que les rayons X arrivent sur le matériau
diffuseur il y a des collisions entre les rayons X et les électrons du matériau.
On peut calculer, comme on l'a vu par la, le calcul de collision,
euh, qu'il est possible d'avoir des photons qui ressortent à 90 degrés.
Ces photons n'ont pas la
même énergie, ils ont perdu de l'énergie
parce que l'électron, lui, a gagné de l'énergie.
Et pour mettre en évidence cette différence
d’énergie des photons, on va utiliser un absorbeur.
Si on met l'absorbeur avant le diffuseur les rayons X ont une énergie grande.
Ils passent facilement à travers l'absorbeur.
Après le diffuseur, donc à la position deux, les rayons
X ont moins d'énergie, ils passent moins bien à travers l'absorbeur.
Je vous invite maintenant à regarder la vidéo.
Le diffuseur c'est le petit bout de plastique.
On ferme, on met la sécurité.
Dans cette expérience-là, il n'y a pas d'absorbeur sur le chemin.
Vous mettez le, le, la mesure Geiger. Quand on
ouvre, la source de rayons X s'arrête.
On met maintenant l'absorbeur avant le diffuseur.
On a une mesure qui tourne autour d'une valeur de 100.
Maintenant on met le diffuseur, l'absorbeur
pardon, on met l'absorbeur après le diffuseur.
Et le taux de comptage est beaucoup plus petit.
C'est ce qu'on avait prévu.
Voilà,
c'est la fin de cette série de leçons, de 24 leçons.
Si vous m'entendez aujourd'hui parce que vous m'avez suivi tout au long de ce
cours, je vous félicite pour l'effort énorme que vous avez produit.
