Есть ещё два совершенно, на мой взгляд,
поразительных утверждения, которые следуют из непрерывности.
Первое такое.
Возьмем и сядем в поезд Москва-Питер.
И допустим, нам кто-то точно сообщил график его движения,
что он едет, разгоняется, есть некоторая скорость,
он тормозит там где-то около какого-нибудь светофора,
снова разгоняется, встает в Твери, стоит там две минуты.
Едет до Бологого с разной тоже скоростью
и с разными ускорениями в течение движения.
Какой угодно график, какой дадите мне.
Главное только мне сообщить его очень точно.
Постоял в Бологом, двинул дальше, значит, приехал в Питер.
Если я точно знаю график этого движения,
я могу взять палочку на шарнире из предыдущих наших с вами бесед,
и поставить её в такое положение,
что она не упадёт в течение
всего движения поезда,
в том числе стоянки в Твери, стоянки в Бологом и так далее.
На первый взгляд, это абсолютно невероятно,
но давайте вспомним, что палочка наша
вблизи положения вертикального может двигаться
очень-очень долго совершенно незаметным образом.
дерево падает бесконечное время.
Поэтому отгадка, грубо говоря, состоит в том,
чтобы поставить палку в такое положение,
что перед стоянками она будет почти вертикальной.
И вот во время стоянки она будет только медленно, медленно, медленно
входить в вертикальное положение или от него отходить, а потом уже
мы в процессе нового начала движения,
например, она вертикально почти, начинает падать,
начинается ускорение, падение прекращается.
Оно возвращается сюда, во время движения
без ускорения опять оно находится почти в вертикальном положении.
Когда начинается ускорение, оно уже начало падать
в ту сторону, оно начинает назад идти.
То есть, в принципе, после того как вы знаете
сюжет с деревом, это уже не выглядит столь невероятным.
Хотя, конечно, точно выбрать положение очень сложно.
Как доказать, что это положение существует?
Всё то же самое.
Нужно каким-то образом нарисовать график и убедиться в том,
что ну где-то в этом графике есть какая-то неподвижная точка,
какая-то точка, где график пересекает, например, нашу ось.
Давайте нарисуем.
Итак, что у меня будет по оси x?
Внимание.
По оси x будет наклон
палки в Москве в начале движения.
То есть это величина
от нуля градусов до 180 градусов.
Наклон может быть любой, которой я выберу.
Итак, вот наклон палки ноль, вот 90, вот 180.
что по вертикальной оси?
По вертикальной оси наклон палки в Петербурге,
когда поезд приехал, то есть то,
в каком положении находится палка в момент приезда поезда.
Теперь внимание.
Несмотря на то, что довольно ясно, что почти во всех положениях
мы обнаружим в Петербурге палку либо наклоненной полностью,
имеющей наклон ноль градусов, либо 180.
То есть почти во всех точках будет либо ноль, либо 180.
Тем не менее, наклон палки в Петербурге
— это непрерывная функция от наклона палки в Москве.
То есть если очень-очень мало поменял наклон палки в Москве,
то всё последующее движение этого шарнира
задаётся некоторыми уравнениями, называемыми дифференциальными.
Я об этом уже говорил однажды.
И решения системы соответствующих уравнений,
конечный итог движения палки,
непрерывно зависит от начального положения.
То есть чуть-чуть изменилось начальное положение,
чуть-чуть изменилось положение в конце.
Поэтому, на самом деле, это не то, что просто для всех каких-то наклонов
будет наклон ноль, а для всех каких-то еще наклонов
будет наклон 180 градусов. Например, вот так рывком.
Рывка быть не может, потому что решение системы уравнений
нахождения конца палки в Питере в зависимости от того,
где она находилась в Москве, непрерывно зависит от
вот этого наклона, в который я его поставил.
А значит, на самом деле, всё-таки этот график имеет
некоторый здесь наклон, и для какого-то значения
эта палка будет иметь в Петербурге наклон 90 градусов.
А если так, то ясно, что она ни разу за всё движение не упала.
Потому что падение палки автоматически означает,
что она в этом положении остается навсегда.
Ни при каком ускорении уже упавшую палку поднять не удастся.
Поэтому из того, что существует вот эта вот точка пересечения,
а значит, существует такой наклон,
на который я поставлю её в Москве,
может быть где-то очень близко к 90 градусам.
Здесь получилось, что очень близко к 90 градусам.
Но по крайней мере, такой угол существует,
при котором в течение всего последующего движения,
произойдут различные с ней изменения,
но в конце она встанет на угол 90 градусов в Петербурге.
А значит, никогда не упадёт, ни сюда, ни сюда.
Потому что после падения встать уже нельзя.
Вследствие, действительно фантастическим образом
можно выбрать такой угол, что палка всю дорогу
будет болтаться, шататься, но не падать.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
