Курс состоит из нескольких жизненных сюжетов, каждый из которых разбирается "по косточкам" и, как выясняется, содержит внутри себя нетривиальное математическое ядро. Это ядро далее также бьётся на "элементарные частицы" - так, что у слушателей возникает понимание всех глубинных механизмов рассматриваемой ситуации.
Сюжеты сгруппированы по смыслу: каждая группа сюжетов вращается вокруг одной и той же основополагающей математической идеи. Таких идей всего пять: инвариант, шаг через бесконечность, непрерывность физических процессов, самоподобие природы и нашего её восприятия, и, наконец, алгебраическая природа различных чисел.
Курс предназначен для всех, кто хочет лучше представлять себе тот мир, в котором мы живём. Не имея никаких предварительных знаний, слушатели будут введены в курс дела: какая техника используется в математике ("абсолютное доказательство" как главное отличие математического знания от любого иного) и как строить рассуждения.
Вскоре выйдет вторая часть, "Математика для энтузиастов", которую нужно будет уже изучать "с листочком бумаги и ручкой в руках". В ней встретится более нетривиальный материал, в том числе "приводные ремни" современной математики - "группы" и "поля". Кроме того, будут вскрыты весьма нетривиальные подоплёки многих школьных задач.
Курс состоит из 6 недель и 6 контрольных работ по окончании каждой недели. Для успешного прохождения курса необходимо успешно преодолеть все 6 испытаний.
從本節課中
Непрерывность
На четвертой неделе вы узнаете о непрерывности, разрывности, пределах и двойных пределах на примерах задач из окружающего мира.
Доктор физико-математических наук Кафедра дискретной математики МФТИ
Бычков Борис Сергеевич
Кандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ Кафедра дискретной математики
Есть ещё два совершенно, на мой взгляд,
поразительных утверждения, которые следуют из непрерывности.
Первое такое.
Возьмем и сядем в поезд Москва-Питер.
И допустим, нам кто-то точно сообщил график его движения,
что он едет, разгоняется, есть некоторая скорость,
он тормозит там где-то около какого-нибудь светофора,
снова разгоняется, встает в Твери, стоит там две минуты.
Едет до Бологого с разной тоже скоростью
и с разными ускорениями в течение движения.
Какой угодно график, какой дадите мне.
Главное только мне сообщить его очень точно.
Постоял в Бологом, двинул дальше, значит, приехал в Питер.
Если я точно знаю график этого движения,
я могу взять палочку на шарнире из предыдущих наших с вами бесед,
и поставить её в такое положение,
что она не упадёт в течение
всего движения поезда,
в том числе стоянки в Твери, стоянки в Бологом и так далее.
На первый взгляд, это абсолютно невероятно,
но давайте вспомним, что палочка наша
вблизи положения вертикального может двигаться
очень-очень долго совершенно незаметным образом.
дерево падает бесконечное время.
Поэтому отгадка, грубо говоря, состоит в том,
чтобы поставить палку в такое положение,
что перед стоянками она будет почти вертикальной.
И вот во время стоянки она будет только медленно, медленно, медленно
входить в вертикальное положение или от него отходить, а потом уже
мы в процессе нового начала движения,
например, она вертикально почти, начинает падать,
начинается ускорение, падение прекращается.
Оно возвращается сюда, во время движения
без ускорения опять оно находится почти в вертикальном положении.
Когда начинается ускорение, оно уже начало падать
в ту сторону, оно начинает назад идти.
То есть, в принципе, после того как вы знаете
сюжет с деревом, это уже не выглядит столь невероятным.
Хотя, конечно, точно выбрать положение очень сложно.
Как доказать, что это положение существует?
Всё то же самое.
Нужно каким-то образом нарисовать график и убедиться в том,
что ну где-то в этом графике есть какая-то неподвижная точка,
какая-то точка, где график пересекает, например, нашу ось.
Давайте нарисуем.
Итак, что у меня будет по оси x?
Внимание.
По оси x будет наклон
палки в Москве в начале движения.
То есть это величина
от нуля градусов до 180 градусов.
Наклон может быть любой, которой я выберу.
Итак, вот наклон палки ноль, вот 90, вот 180.
что по вертикальной оси?
По вертикальной оси наклон палки в Петербурге,
когда поезд приехал, то есть то,
в каком положении находится палка в момент приезда поезда.
Теперь внимание.
Несмотря на то, что довольно ясно, что почти во всех положениях
мы обнаружим в Петербурге палку либо наклоненной полностью,
имеющей наклон ноль градусов, либо 180.
То есть почти во всех точках будет либо ноль, либо 180.
Тем не менее, наклон палки в Петербурге
— это непрерывная функция от наклона палки в Москве.
То есть если очень-очень мало поменял наклон палки в Москве,
то всё последующее движение этого шарнира
задаётся некоторыми уравнениями, называемыми дифференциальными.
Я об этом уже говорил однажды.
И решения системы соответствующих уравнений,
конечный итог движения палки,
непрерывно зависит от начального положения.
То есть чуть-чуть изменилось начальное положение,
чуть-чуть изменилось положение в конце.
Поэтому, на самом деле, это не то, что просто для всех каких-то наклонов
будет наклон ноль, а для всех каких-то еще наклонов
будет наклон 180 градусов. Например, вот так рывком.
Рывка быть не может, потому что решение системы уравнений
нахождения конца палки в Питере в зависимости от того,
где она находилась в Москве, непрерывно зависит от
вот этого наклона, в который я его поставил.
А значит, на самом деле, всё-таки этот график имеет
некоторый здесь наклон, и для какого-то значения
эта палка будет иметь в Петербурге наклон 90 градусов.
А если так, то ясно, что она ни разу за всё движение не упала.
Потому что падение палки автоматически означает,
что она в этом положении остается навсегда.
Ни при каком ускорении уже упавшую палку поднять не удастся.
Поэтому из того, что существует вот эта вот точка пересечения,
а значит, существует такой наклон,
на который я поставлю её в Москве,
может быть где-то очень близко к 90 градусам.
Здесь получилось, что очень близко к 90 градусам.
Но по крайней мере, такой угол существует,
при котором в течение всего последующего движения,
произойдут различные с ней изменения,
но в конце она встанет на угол 90 градусов в Петербурге.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
