Курс является связующим звеном между математическими курсами общеобразовательной средней школы и вузовскими математическими курсами, частично входящими в основные образовательные программы высшего образования. Отбор содержания курса и его компоновка носит авторский характер. Слушатель, освоивший программу, должен: владеть: • методами аналитической геометрии для решения задач, возникающих при формализации простых геометрических моделей; • методами линейной алгебры для решения систем линейных уравнений второго и третьего порядка; • методом координат для решения задач аналитической геометрии. уметь: • решать задачи на проценты, арифметические прогрессии, геометрические прогрессии; • решать линейные и квадратичные уравнения; • решать неравенства методом интервалов; • выполнять действия с векторами и их проекциями; • проводить тригонометрические преобразования; • решать тригонометрические уравнения; • вычислять определители второго и третьего порядка; • решать системы третьего порядка методом Крамера; • перемножать матрицы; • переходить от декартовых координат к полярным; • решать задачи о сложных процентах; • решать задачи о сложном движении под действием разнонаправленных сил. знать: • базовые математические понятия; • системы счисления; • типы множеств вещественных чисел; • основные функции и их свойства, область определения и область существования функции; • скалярное произведение и его свойства; • решать задачи на нахождение угла между прямыми; • определения и свойства эллипса, гиперболы, параболы; • определения тригонометрических функций; • теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов; • матрицы, определители, миноры, алгебраические дополнения; • методы решения задач с параметрами.
Задачи на движение
Loading...
來自 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University 的課程
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1 個評分
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
1 個評分
從本節課中
Математические модели на основе алгебраических уравнений
В заключительном модуле мы рассмотрим несколько «нестандартных» задач, а так же ответим на вопрос, что такое кардиоида и построим её график.
與講師見面
Антонов Валерий ИвановичДоктор технических наук.
Заведующий кафедрой высшей математики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] Задачи на движение.
Давайте рассмотрим несколько задач, связанных с перемещением в пространстве.
Первая будет связана с ремонтными работами на метрополитене.
Представим себе, что у нас есть эскалатор и известно,
что рабочий по стоящему эскалатору
поднимается за 12 минут,
t₁ равно 12 минут.
Известно, что по движущемуся
эскалатору рабочий поднимается за время t₂, равное четыре минуты.
Спрашивается, а за какое время рабочий поднимется,
если он будет идти по движущемуся эскалатору?
Давайте рассмотрим классические формулы,
S равно v на t в тому случае, если v постоянна.
Но в данном случае мы будем считать, что скорость постоянная.
Итак, пусть v₁ — это скорость по неподвижному эскалатору.
Путь везде один и тот же: S равняется v₁ на t₁.
С другой стороны,
S равняется v₂ на t₂.
И S равняется
v₁ плюс v₂ умножить на t,
где t — как раз та величина, которую мы с вами ищем.
Здесь S₁ S₂, S₁ равно S₂ и равно S.
Значит, S₁ равно S₂ и равно S.
Один и тот же путь проходит.
Итак, давайте мы с вами поделим вот это равенство на это,
получим v₁ t₁ поделить
на v₂ t₂ равняется единичке.
Тогда v₁ поделить
на v₂ равняется, переносим это сюда,
t₂ поделить на t₁.
Оттуда можем выразить одну из
скоростей, например, v₁.
v₁ в этом случае будет равняться v₂
на t₂ поделить на t₁.
Продолжим наши вычисления, подставим вот сюда.
Значит, с одной стороны,
S — это у нас с вами v₂ на t₂, правда?
Значит, v₂ на t₂
равняется v₁,
это у нас с вами v₂ на
t₂ поделить на t₁ плюс v₂.
И всё это умножить на неизвестное нам время t.
Видно, что v₂ теперь уходит и мы получаем следующее соотношение:
t₂ равняется t₂ поделить
на t₁ плюс единичка умножить на t.
Если мы с вами проведём самые простые вычисления,
то получим, что в этом случае t равняется t₁ t₂
поделить на t₁ плюс t₂.
Или время t будет равняться,
t₁ у нас с вами — 12, t₂ — четыре,
и здесь 12 плюс четыре.
12 на четыре — 48, 12 плюс четыре — 16, три.
Итак, за три минуты
рабочий поднимется по движущемуся эскалатору.
Следующая задачка опять связана с ремонтом и выглядит она следующим образом.
У нас есть река.
Давайте мы её так вот нарисуем как некоторое русло.
У реки есть течение.
Значит, пусть традиционно из пункта A в пункт B,
и мы не будем изменять традиции,
из A в B отправляется моторная лодка или катер.
При этом в пути, неважно, в какой точке,
у неё останавливается мотор.
И на починку этого мотора уходит 20 минут.
Значит, если у нас
с вами это — течение реки,
то это у нас с вами — движение лодки.
Значит, река, лодка.
Пусть в результате в некоторой точке C произошло то, что мотор остановился.
И за это время, естественно,
за 20 минут с помощью течения реки лодка была снесена в пункт D.
Известно, что путь из A в B — tAB,
время в пути — относится к
времени tBA в обратную сторону.
Понятно, почему оно разное, потому что в одном случае мы движемся против течения,
в другом случае — по течению.
И пусть это будет tAB, tBA как три к двум.
Спрашивается, на сколько опоздает лодка
при таких условиях, естественно, по отношению к времени AB.
Давайте смотреть.
Значит, с одной стороны — у нас с вами AB,
[БЕЗ_ЗВУКА] обозначим буковкой S как обычно.
Это будет v лодки
минус v
реки на tAB.
Теперь за
время 20 минут у нас лодку снесёт из C в D, какое расстояние она при этом пройдёт?
Значит, CD будет равно v
реки умножить на t это,
на 20 минут.
Теперь этот же пусть лодка должна будет пройти с мотором.
Значит, в этом случае CD будет
равно v лодки минус
v реки и на некоторое Δt,
которое мы с вами постараемся каким-то образом определить.
Итак, у нас есть всё, что нужно.
Значит, давайте смотреть.
Ещё нам осталось tBA написать.
Если мы напишем, что BA —
это тоже S и это есть v
лодки плюс v реки на tBA,
то все необходимые данные теперь у нас с вами есть.
И давайте закончим решение нашей задачи.
Итак, значит tAB к tBA.
tAB — это есть
S поделить на v лодки
минус v реки.
tBA — это есть S
поделить на v лодки плюс v реки.
Или отношение теперь три к двум,
это tAB к tBA будет v
лодки плюс v реки
поделить на v лодки минус v реки.
Это уравнение легко решается — и мы получаем следующее,
что v лодки равняется пять v реки.
А теперь,
приравнивая эти два соотношения, мы получим следующее.
v реки умножить на 20 равняется
v лодки, это пять v реки,
минус v реки умножить
на Δt.
Теперь v реки сокращается — и мы получаем,
что Δt равняется
[БЕЗ_ЗВУКА] 20
поделить на четыре — пять, пять минут.
И таким образом общее опоздание будет складываться из
20 минут плюс пять минут
— это будет 25 минут.
[БЕЗ_ЗВУКА]
