[БЕЗ_ЗВУКА] [МУЗЫКА] Линии на плоскости. Давайте более подробно разберемся с тем, какие линии бывают на плоскости и какими уравнениями они задаются. Итак, если мы с вами рассмотрим в общем случае уравнение F (x, y) = 0, то в определенном числе случаев можно говорить о том, что это уравнение линии. Например, если мы рассмотрим с вами уравнение (x − x0)² + (y − y0)² − R² = 0, то вы скажете, что это уравнение окружности. Это действительно так. Если мы с вами рассмотрим окружность, [БЕЗ_ЗВУКА] давайте нарисуем оси, это центр, точка с координатами x0, y0. Понятно, что окружность — это совокупность всех точек, равноудаленных от точки M0 или от центра. Если воспользоваться теоремой Пифагора, то мы как раз прийдем к этому уравнению, чаще R переносят в правую часть. Для того чтобы была полная аналогия между вот этими двумя уравнениями, я R² перенес влево. Какие задачи могут быть связаны с уравнениями линий? Например, может ставиться задача о возможности пересечения двух линий. Например, если мы к окружности проведем прямую, то эта прямая может пересекать окружность, может касаться, может проходить вне ее. В общем случае это соотношение можно записать следующим образом. Если у нас есть две функции F1 (x, y) = 0, вот пример уравнения, и F2 (x, y) = 0, [БЕЗ_ЗВУКА] и мы запишем в качестве системы, то эти линии будут иметь точки пересечения в том случае, если такая система имеет решение. Давайте мы рассмотрим на примере, опять же, окружности и прямой, только окружность я задам в более простой форме. Итак, пусть у нас имеется окружность x² + y² = R². Понятно, что эта окружность с центром в начале координат. И имеется прямая y = kx + b. Спрашивается, при каких условиях эти линии будут иметь точки пересечения? Давайте мы с вами y подставим в первое уравнение и получим следующее: x² + (kx + b )² = R². Возведем в квадрат, получим x² + k²x² + 2bkx + b² − R² = 0. Если теперь здесь x² вынести, мы получаем следующее: (1 + k)x² + 2bkx + (b² − R²) = 0. Мы узнали в этой записи квадратное уравнение. При каком условии это уравнение будет иметь решение? Если оно будет иметь решение, значит, эти две линии будут иметь точки пересечения. Помним, дискриминант должен быть больше или равен 0. Или, что то же самое, B² − 4AC должно быть больше либо равно 0. И мы приходим к следующему соотношению: 4b²k², это B², − 4 (1 + k) (b² − R²) должно быть больше или равно 0. Но пока у нас нет конкретных значений b и k, b — это у нас с вами известная величина, потому что это коэффициент, который входит в уравнение нашей прямой, поэтому если мы здесь с вами поставим числа, а мы с вами будем решать такие задачи, то получим более точное условие пересечения этих двух линий. Итак, это общее уравнение линий, но иногда удобно использовать параметрические уравнения, с которыми мы с вами тоже встречались. Они имеют вид x = x (t), y = y (t). Например, уравнение окружности с центром в начале координат мы тоже с вами уже записывали. x = R * cos t, y = R * sin t. Возведя в квадрат и складывая, мы получим действительно уравнение окружности. Возможны и другие комбинации линий, но при этом мы должны с вами помнить следующее: есть понятие линии на плоскости и есть понятие графика функции. Если у нас с вами имеется линия F (x, y) = 0, например, окружность, то мы с вами уже обсуждали, что в этом случае y = ±√(R² − x²). То есть это уравнение дает нам две функции y (x), которые геометрически являются верхней и нижней половиной окружности. Но, с другой стороны, мы точно так же можем x выразить через y и получить следующее: x = ±√(R² − y²). Почему x не может быть функцией от y? Они равноправны в определенном смысле. Тогда первое уравнение у нас определяет две половины окружности, верхнюю и нижнюю, а второе уравнение определяет правую и левую половинки нашей окружности. [БЕЗ_ЗВУКА]