[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Применение векторной алгебры.
В этом разделе мы с вами применим векторную алгебру к решению некоторых
геометрических задач.
И первое, что мы с вами рассмотрим, мы вернемся к уравнению прямой на плоскости.
Выберем как всегда систему координат,
нарисуем нашу прямую.
Ее уравнение, как известно y = kx + b.
Но мы подойдем несколько с другой позиции.
Давайте проведем из начала координат вектор нормали к нашей прямой.
Я его обозначу буковкой n.
Тогда расстояние от
точки O до точки пересечения P,
OP мы обозначим буквой p маленькое.
Возьмем любую произвольную точку на нашей прямой,
пусть это будет точечка M.
Тогда вектор OM будет
иметь текущие координаты X и Y.
Давайте посмотрим следующее:
проекция вектора OM на направление n будет величина постоянная,
вне зависимости от того, какая точка на прямой у нас с вами взята,
и поэтому мы можем написать следующее: проекция
вектора OM на направление n
есть величина постоянная и равна величине p.
Давайте аккуратно выпишем, что же такое проекция вектора OM на направление n.
Значит, проекция вектора
OM на направление n это будет равно скалярному
произведению вектора OM на единичный
вектор нормали данного направления.
Зададим единичный вектор направления
нормали как направляющие косинусы.
Правда, здесь можно сказать, что cos β есть cos π /
2 − α это sin α, но это в данном случае не принципиально.
Итак. Мы получаем следующее.
Значит, OM это вектор.
Давайте перепишем.
Значит, OM * n0, это будет
(x;y) *
(cos α; cos β).
То есть получаем следующее соотношение: x на
cos α + y cos
β = p Это тоже уравнение нашей прямой.
На самом деле в более общем виде уравнение
прямой можно записать в виде Ax + By + C = 0.
Понятно, что из этого уравнения легко получается вот такой вид,
из этого вида получается такой,
и на первый взгляд эти уравнения кажутся отличающимися друг от друга.
Но если мы с вами увидим,
что Ax + By можно написать как скалярное
произведение вектора (A;B)
* вектор (x;y), то мы получаем,
что вектор AB в этом является вектором нормали к нашей прямой.
Правда, он не единичный, но это не столь важно.
Мы можем из него сделать единичный вектор.
Значит, если мы вектор Ab поделим на длину вектора Ab,
то мы получим единичный вектор нормали n0.
Таким образом, действительно, вот это уравнение является уравнением прямой,
и его называют нормальным уравнением прямой с учетом того,
что здесь явно присутствует вектор нормали.
Чем хорошо это уравнение?
Хорошо оно следующим: если мы возьмем следующий по рангу линейный
объект в пространстве, который будет у нас с плоскостью.
[БЕЗ_ЗВУКА] Опять же,
выберем систему координат, я возьму начало.
Опять же, проведем вектор нормали к нашей плоскости.
И возьмем текущую точку.
Проекция вектора
OM в этом случае проекция вектора
OM на направление нормали также будет равна некоторой величине p.
Значит, если мы возьмем вектор n0,
как (cos α;
cos β; cos γ),
а вектор OM, теперь мы находимся в пространстве,
как вектор с координатами (x; y; z),
то мы получим следующее уравнение плоскости:
x cos α + y cos
β + z cos γ = p.
Или по аналогии с уравнением прямой мы получаем следующее:
Ax + By +Cz + D = 0.
Я предлагаю вам самостоятельно преобразовать одно из уравнений в другое.
Скажем, верхнее в нижнее или из нижнего в верхнее.
То есть на самом деле вот в этом уравнении также присутствует вектор нормали к
нашей плоскости с координатами A, B и C.
Ну и наконец, для того чтобы внести
динамику в векторы, давайте посмотрим переменный вектор.
Итак, пусть у нас есть некоторая кривая, [БЕЗ_ЗВУКА]
по которой движется точка.
Ясно, что при этом радиус будет
меняться в зависимости от какого-то параметра.
Чаще всего им является время.
Таким образом переменный вектор r,
который мы можем обозначить как r (t),
на самом деле будет состоять из трех компонент,
а именно, это будет Ax,
давайте буковку r лучше здесь запишем,
чтобы не изменять rx,
ry и rz.
И таким образом задание вектора как функции
параметра будет состоять в следующем: мы должны будем задать три уравнения,
а именно, rx (t), ry (t) и rz (t).
То есть задание переменного вектора соответствует заданию трех
переменных скалярных уравнений.
[БЕЗ_ЗВУКА]