[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] N-мерное пространство.
Вернёмся к системе из двух уравнений с двумя неизвестными
и запишем опять её в виде a₁₁ x₁ прибавить
a₁₂ x₂ равняется b₁.
a₂₁ x₁ прибавить
a₂₂ x₂ равняется b₂.
Матрица системы A имеет
следующий вид: a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂.
Если мы с вами запишем столбец
неизвестных в виде
x₁ x₂ и столбец правых
частей B как b₁ и b₂,
то можно попробовать написать следующее равенство,
которое мы будем считать матричным.
A умножить на X равняется B.
Если это рассматривать как краткую запись нашей системы уравнений,
то мы должны сказать себе следующее, что произведение матрицы
A на столбец X определяется следующим образом: значит,
A — это a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂
умножить на x₁ x₂
будет равно a₁₁ x₁
прибавить a₁₂ x₂,
первая строчка, ну и, наконец, a₂₁
x₁ прибавить a₂₂ x₂.
И соответственно, если мы теперь приравняем
это построчно к величине B,
мы получим нашу систему уравнений.
Но никто не мешает нам рассматривать систему уравнений с
большим количеством неизвестных: два, три, и так далее.
Если у нас одно неизвестное, мы говорим, что мы находимся на линии.
Если у нас два неизвестных, мы говорим, что мы находимся на плоскости.
Если у нас три неизвестных, мы говорим,
что мы находимся в нашем трёхмерном пространстве.
Но с точки зрения абстрактных рассуждений никто не мешает нам говорить о том,
что существуют четырёхмерные, пятимерные и, вообще-то, n-мерные пространства,
в которых системы уравнения выглядят следующим образом.
Опять же мы запишем с вами A умножить на X равняется B.
Но теперь у нас матрица
A имеет следующий вид:
a₁₁ a₁₂ a₁n
a₂₁ a₂₂
a₂n an₁
an₂ ann.
Так же мы можем ввести столбец
неизвестных x₁ x₂
xn и столбец
правых частей B равное
b₁ b₂, и так далее, bn.
Пару чисел в двумерном пространстве мы можем трактовать как вектор.
Тройку числе в трёхмерном пространстве мы можем также трактовать как вектор.
По аналогии в n-мерном пространстве мы тоже можем рассматривать
некоторые вектора, которые теперь уже будут иметь n компонент.
Итак, если я возьму вектор Y,
то у него компоненты будет
y₁ y₂, и так далее,
yn.
В этой области, которую мы теперь назовём n-мерным пространством,
у нас появились вектора.
Раз появились вектора, то мы можем определить с вами действия с ними.
Любые действия в математике при расширении нашей области, в которой
мы рассматриваем задачу, обязательно должны обладать очень важным качеством.
Если мы вернёмся к началу, например к двух- или трёхмерным векторам,
то все правила должны сохраниться.
Итак, если Y равно Z,
два n-мерных вектора, отсюда следует, что они равны покомпонентно,
а именно, y₁ равно z₁,
yn равно zn.
Если мы умножим Λ на Y,
Λ — число, то опять же мы получим вектор.
Так бы мы сказали, что его длина увеличилась в Λ раз,
конечно, здесь нет такой полной геометрической аналогии.
Но несмотря на это,
мы можем написать λy₁ λy₂
многоточие λyn.
Как складываются вектора?
Вектора тоже складываются в этом смысле покомпонентно.
Значит, если мы хотим с вами сложить Y плюс Z,
то это будет вектор, состоящий из следующих координат:
y₁ плюс z₁
y₂ плюс z₂
многоточие yn
плюс zn.
Таким же образом мы можем с вами определить операцию
вычитания и определить следующие операции.
Мы можем определить, например, длину вектора.
В этом случае модуль Y будет
равно корню квадратному из y₁ в
квадрате плюс y₂ в квадрате
плюс плюс yn в квадрате.
И более того, мы можем с вами определить скалярное произведение векторов.
А именно, если мы с вами попробуем перемножить
Y на Z,
то мы получим сумму таких произведений y₁
z₁ прибавить
y₂ z₂ прибавить многоточие
прибавить yn
zn.