[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Здравствуйте!
Добро пожаловать на вторую неделю курса квантовых вычислений, в течение
которой мы с вами разберем математическую модель квантового компьютера.
Понимание материала, представленного в лекциях этого модуля,
критически важно для прохождения всего курса.
Поэтому на этой неделе вас ожидает наибольшее количество
тестовых заданий и упражнений.
Думаю, что не ошибусь, если назову эту неделю самой сложной во всем курсе.
Начнем!
Ключевым понятием всей теории квантовых вычислений является кубит —
квантовый бит.
Берем сокращение, получается
кубит — минимальная информационная единица квантового мира.
Точно так же, как бит является частичкой информации,
содержащейся в простейшем содержательном классическом
вычислительном процессе, точно так же кубит описывает простейший
содержательный квантовый вычислительный процесс.
В рассмотренном нами ранее двигателе Сциларда
[БЕЗ_ЗВУКА] бит
кодировался камерой,
в которой находится молекула идеального газа.
Например, левая камера — нолик, правая — единичка.
Точно так же кубит может кодироваться простейшей квантовой системой,
например, поляризацией фотона.
Как вы помните, электромагнитные волны — это поперечные волны,
то есть колебания в них происходят
перпендикулярно направления распространения.
Например, направление распространения у нас по оси Z,
и колебания могут происходить по оси Y или по оси X.
Например, колебаниям по оси Y у нас будет
соответствовать единичка, колебаниям по оси X — нолик.
Или в атоме водорода у нас есть две возможные
орбитали для электрона, и базовую орбиталь мы будем считать ноликом,
а верхнюю возбужденную орбиталь — единичкой.
Вы можете заметить и будете совершенно правы, что поляризация фотона,
вообще говоря, может быть не только по оси Y или по оси X в выбранном нами базисе,
но и вообще какой угодно.
Так же, на самом деле, и состояние атома водорода может быть не
только базовое или возбужденное, но и какая-то суперпозиция этих состояний.
Эти эффекты мешают нам построить классические вычисления на описанных
элементах, и именно эти эффекты являются сильной стороной квантовых вычислений.
Пришло время дать строгое математическое определение термину кубит.
Кубит — это вектор единичной длины в двухмерном
гильбертовом пространстве над комплексными числами.
У нас есть пространство над комплексными числами,
размерность пространства равна двум,
вектор φ принадлежит этому пространству,
норма φ равна единице, тогда φ — это кубит.
Пришло время вспомнить, что такое гильбертово пространство.
Гильбертово пространство — это пространство со скалярным произведением.
Например, для векторов x и y, имеющих соответствующие координаты,
например, вектор x в виде вектора столбца представляется так,
где все иксы — это комплексные числа.
y представляется в виде такого столбца.
У нас трехмерное пространство, скалярное произведение < x |
y > равно сумме перемноженных координат,
причем второй вектор берется сопряженным.
Эти скобки для обозначения векторов были введены Полем Дираком и
называются нотацией Дирака.
Теперь когда у нас что-то будет стоять в таких скобках, мы будем понимать,
что это вектор.
Без этих скобок — это не вектор, это какой-то скаляр.
В пространстве со скалярным произведением можно определить понятие угла.
Например, над комплексными числами в пространствах мы будем определять
угол как угол между векторами x и y,
будет равен модулю скалярного произведения x на y,
деленный на нормы этих векторов.
Только, простите, это не угол, это косинус угла.
И для того чтобы получить угол, нам надо взять арккосинус от этого значения,
и мы получим углы от нуля до π / 2.
В евклидовых пространствах модуль здесь не стоит,
потому что у нас нет риска получить в виде скалярного произведения комплексное число.
Нам просто не нужны комплексные косинусы, поэтому мы ставим модули.
Поэтому в евклидовых пространствах без модуля углы получаются от 0 до π.
В наших гильбертовых пространствах над комплексными числами все углы будут
от 0 до π / 2.
Имея понятие угла, мы можем определить, что такое ортогональные вектора.
| x > и | y > ортогональны,
если скалярное произведение
x на y равно нулю, при этом вектора имеют ненулевую длину.
И сонаправленные вектора — это те,
у которых скалярное произведение равно единице.
Модуль, вернее, скалярного произведения равен единице.
При этом мы будем большую часть курса,
практически весь курс, говорить только о единичных векторах, поэтому делить на
норму мы никогда не будем, потому что норма всегда будет равна единице.
И будет получаться, что косинус угла равен модулю скалярного произведения.
И для единичных векторов они сонаправлены,
если модуль их скалярного произведения равен единице.
При этом в евклидовых пространствах два единичных сонаправленных вектора,
как правило, совпадают.
Не «как правило» — просто совпадают.
А в наших же гильбертовых пространствах, например,
вектора x и вектор e в степени i φ на | x > сонаправлены,
но, как вы видите, это разные вектора.
Итак, мы вспомнили, что такое гильбертово пространство,
а кубит — это у нас вектор единичной длины в двухмерном гильбертовом пространстве.
Давайте это нарисуем.
Вот я нарисовал две оси,
каждая из них — это проекция комплексной плоскости на плоскость доски.
Нарисовать две ортогональные комплексные плоскости я не могу даже на
трехмерной доске.
Окружность, которую я сейчас рисую,
на самом деле это сфера,
представляет все возможные вектора в этом пространстве единичной длины.
Все возможные значения кубита.
Как видите, их значительно больше, чем значений классического бита,
которых всего два.
Кубит может принимать любое из бесконечного множества разных значений.
Так же, как поляризация фотона, помните?
Он может быть ориентирован не только вертикально или горизонтально,
а вообще под любых углом к оси Y.
Но на самом деле и с классическими системами все не так просто.
Ведь молекула в левой камере может быть в разных позициях — здесь,
здесь, здесь, тоже практически либо в очень большом,
либо в почти бесконечном диапазоне значений.
Но все эти значения мы воспринимаем как нолик.
Такое сужение количества значений, такая интерпретация,
такое измерение в классических системах называется оцифровка,
а в квантовых системах подобный процесс мы будем называть измерением.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА]
