Итак, мы ввели понятия криволинейной системы координат и
локального базиса криволинейной системы координат.
А теперь давайте научимся записывать векторы скорости и
ускорения в разложении по этому базису.
Чтобы уже начать решать содержательные кинематические задачи,
нам это совершенно необходимо.
Давайте я тему обозначу.
«Разложение вектора скорости
[БЕЗ СЛОВ] по
локальному базису».
Перед тем как непосредственно заняться представлением
вектора скорости в локальном базисе, давайте ещё вот о чём поговорим.
Ведь на самом деле существуют разные способы представить какой‐то вектор в
базисе.
Давайте я на плоской картинке это вам напомню, и дальше уже займёмся скоростью.
Представьте себе, что вот есть базис из двух векторов.
Я его специально нарисую не ортогональным (хотя нам они в задачах не так
часто встречаются) e1, e2, чтобы проиллюстрировать то, что я хочу сказать.
Значит, есть базис e1, e2.
Давайте тут для попрядка стрелочки подрисуем, чтоб все понимали,
что это векторы.
И по этому базису нам необходимо разложить какой‐то вектор, абстрактный совершенно.
Вот он как‐то вот так нарисуется.
Что мы тогда делаем?
Мы вспоминаем правило параллелограмма, рисуем нечто,
параллельное орто e1, нечто параллельное орто e2.
Вот такой параллелограммчик получается.
И говорим, что вот этот вот вектор, назовём его a, — это сумма вектора,
направленного вдоль e2, и вектора, направленного вдоль e1.
Ну то есть, есть коэффициенты, умножаясь на которые e1,
e2 дают вот эти вот маленькие векторочки, мы их потом складываем, получаем a.
То есть a =
k1 * e1 + k2 * e2.
Коэффициенты k1 и k2 у нас называются коэффициентами в разложении
вектора a по вот этому базису e1, e2.
А теперь другая ситуация.
Тот же самый базис, давайте его вот здесь нарисуем,
e1, e2,
тот же самый вектор a,
и тоже его нужно представить каким‐то
образом через вот эти вот направления, которые обозначены векторами e1 и e2.
Но можно поступить не так, как в прошлый раз, можно сказать: давайте рассмотрим вот
ортогональную проекцию вектора a на направление e1, ортогональную
проекцию вектора a на направление e2.
И вот эти вот отрезки O, скажем, OA и OB,
вот эти отрезки — они тоже однозначно определяют вектор a в этом базисе.
Возможно, нам это не так привычно, как просто разложение,
но так тоже иногда поступают.
И мы с вами, когда будем разботать с вектором скорости,
мы сочтём удобным способом вот этот.
То есть мы получим формулу для коэффициентов разложения вектора скорости
по локальному базису.
А потом, когда уже перейдём к ускорению,
мы будем работать именно с ортогональными проекциями, и я поясню,
почему: именно ортогональные проекции нам нужны от ускорений.
Но пока мы будем работать со скоростью, давайте традиционно разложим
вектор скорости по локальному базису какой‐нибудь системы координат.
Что мы для этого должны сделать?
Ну давайте вспомним, что такое скорость, для начала, по определению.
Скорость — это у нас r с точкой,
вектор скорости — это производная по времени от радиус‐вектора.
r — это у нас функция, если мы ввели криволинейные координаты,
от q1, q2, q3.
То есть в верхней формуле в определении скорости у
нас стоит производная по времени от функции многих переменных.
Давайте вспомним, как в матанализе мы такие производные писали.
r с точкой ещё раз напишем,
или dr по dq1 * q1 с
точкой + dr по dq2
* q2 с точкой + dr по
dq3 * q3 с точкой.
Стандартная формула, которую вы в математическом анализе,
конечно же, проходили.
И ещё одну вещь давайте вспомним.
Давайте вспомним, как мы выражали орт,
базисный орт криволинейной системы координат.
ei‐тое у нас записывался
так: dr по dqi‐тое * 1 / коэффициент Ламе Hi.
Давайте сравним две нижние формулы, которые у нас получились.
Итак, скорость — это, с одной стороны, сумма dr по dq1 * q1 с точкой +...
+ такие же члены для индексов 2 и 3, а с другой стороны,
вот каждая такая dr по dqi‐тое связана с базисным ортом вот таким соотношением.
То есть отсюда видно, что dr по dqi‐тое — это коэффициент Ламе,
умноженный на базисный орт.
Если мы в этой формуле заменим dr по dq1,
dr по dq2, dr по dq3 на соответствующие выражения через базисные орты,
мы получим окончательную формулу: скорость —
это у нас сумма по i от 1
до 3 Hi‐тое *
ei‐тое (это у нас вместо dr по dqi‐тое стоит)
и умножить на соответствующую производную qi‐того по времени.
Вот такая окончательная формула для разложения вектора
скорости по базису криволинейной системы координат.
Ну давайте здесь заметим, что коэффициентами в разложении, вот теми,
которые мы обозначали буквами k1 и k2 в самом начале,
являются произведение Hi * qi с точкой.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
