В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Поворот пространства. Активная точка зрения
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Кинематика
15 個評分
Explore Related Videos
At Coursera, you will find the best lectures in the world. Here are some of our personalized recommendations for you
從本節課中
Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение) Понятие кватерниона
與講師見面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
А теперь перейдем к заданию поворотов при помощи кватернионов.
Здесь, так же как и в случае с матрицами, есть активная и пассивная точка зрения.
И давайте проиллюстрируем их на примере знакомой уже вам задачи ― о повороте
вектора в плоскости XY вокруг оси Z.
Задача следующая.
У нас есть система координат.
Оси X, Y.
Ось Z перпендикулярно плоскости доски смотрит на нас.
И вектор r под углом φ, равном 45°,
между r и осью X.
Что мы сделаем?
Нам необходимо выписать кватернион поворота, который поворачивает вектор r на
угол 45°, на угол α = 45°,
и вычислить, в какой вектор перейдет наш вектор r.
На лекции вам говорили,
что вектора при помощи кватернионов преобразуются следующим образом.
Λ кватернион поворота, кватернион мы умножаем на исходный вектор r,
и кватернион мы домножаем на Λ сопряженный,
где Λ ― это кватернион поворота, нормированный кватернион.
Для нашей задачи кватернион Λ можно выписать следующим образом.
Это cos(α/2) ― поворачиваем на угол α ―
плюс ось поворота на sin(α/2).
Мы договорились, что поворачиваем вектор r вокруг оси Z.
Поэтому вектор e в нашем случае — это вектор с координатами
(0; 0; 1) на sin(α/2).
Теперь сопряженный кватернион
― это cos(α/2) − (0;
0; 1) * sin(α/2).
Давайте найдем, во что перейдет наш вектор r,
в какой вектор преобразуется.
Исходный вектор r имеет компоненты в системе координат XYZ
следующие: по X — это r, длина вектора,
* cosφ, угол φ ― это угол между r и X.
По Y: r * sinφ, и по Z ― ноль.
Теперь давайте кватернионы перемножим.
Λ на r и на Λ сопряженный.
Что это будет?
Выпишем кватернионы в виде четырехмерных векторов ― так нам удобнее будет
производить перемножение.
Скалярная часть у кватерниона Λ ― cos(α/2),
далее векторная часть 0, 0, sin(α/2).
Умножим кватернион на вектор r, который как четырехмерный вектор будет выглядеть:
0 — скалярная часть, и дальше его векторная часть ― r * cosφ,
r * sinφ и 0.
И кватернион мы домножаем на Λ сопряженный.
Это cos(α/2), 0, 0 и −sin(α/2).
Давайте будем перемножать по шагам.
Сначала первый множитель оставим без изменений ― cos(α/2), 0, 0, sin(α/2),
и кватернион мы домножим на результат произведения эти двух кватернионов.
Скалярная часть — это произведение скалярных частей
минус скалярное произведение векторных частей.
Что мы видим в нашем случае: 0 * cos(α/2) = 0,
и скалярное произведение векторных частей тоже дает 0.
Получаем, что скалярная часть произведения 0.
Далее, векторная часть.
Мы должны скалярную часть одного кватерниона умножить на векторную часть
другого.
В данном случае скалярная часть 0 на векторную часть не влияет, будет 0, 0, 0.
Далее, вторая скалярная часть умножить на векторную часть первого кватерниона.
Здесь уже мы видим, что есть результат.
Это r * cosφ * cos(α/2)
+ r * sinφ * *
cos(α/2), можно выписать нолик,
чтобы было понятно, что получилось.
И осталось добавить векторное произведение векторных частей.
Смотрим, первая компонента векторного произведения векторных частей
— это − r * sinφ на sin(α/2).
Вторая компонента произведения векторных частей
— это + r * cosφ
sin(α/2), и третья компонента ― 0.
[ЗВУК] Давайте преобразуем второй кватернион.
Первый пока так же выпишем, без изменений ― cos(α/2), 0, 0, sin(α/2).
И умножим кватернион
на преобразованный вот этот кватернион.
Что мы видим?
Что здесь на самом деле первая компонента векторной части — это косинус суммы углов.
Скалярная часть 0, r * cos(φ + α/2)
cos(φ + α/2),
а вторая компонента — это синус суммы углов.
То есть r * sin(φ + α/2).
И третья компонента ― 0.
Теперь перемножим вот эти два кватерниона выписанные.
Поступаем точно так же: значит,
скалярная часть кватерниона — это произведение скалярных частей,
равно нулю, минус скалярное произведение векторных частей — тоже 0.
Далее, получаем первую компоненту
векторной части.
Вообще, как мы должны получить векторную часть?
Домножаем скалярную часть на векторную часть.
В данном случае получается r * cos(φ + α/2) * cos(α/2).
Так, r * sin(φ +
α/2) * cos(α/2) и 0.
Произведение скалярной части второго кватерниона на векторную часть первого
дает 0.
Остается вычислить векторное произведение векторных частей.
Первая компонента −
r * sin(φ + α/2) ― я выпишу сюда
― первая компонента 0,
вторая компонента − r * sin(φ
+ α/2) * sin(α/2).
Вторая компонента
+ r * cos(φ + α/2) * sin(α/2).
Третья компонента 0.
Здесь добавим знак +, чтобы формула не была
обрубленной, и преобразуем кватернион.
Скалярная часть ― 0, первая компонента векторной
части — это опять косинус суммы углов, то есть r * cos(φ + α).
Вторая компонента — это синус суммы: r * sin(φ + α).
И третья компонента ― 0.
Если мы подставим наши заданные величины,
что φ = 45° и α = 45°,
то получим,
что вектор r после преобразования кватернионом
переходит в следующий вектор 0,
cos90° = 0, sin90° = 1,
значит будет r, и третья компонента 0.
То есть на самом деле наш вектор r после преобразования будет иметь компоненты 0,
r, 0.
Что мы могли получить сразу, посмотрев на рисунок и поняв,
что будет с вектором r после поворота на угол 45°?
Он действительно перейдет и совпадет с осью Y.
[ЗВУК] Но этот же
результат мы получили при помощи кватерниона.
Спасибо за внимание, активная точка зрения рассмотрена.
