В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Матрица направляющих косинусов
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Кинематика
15 個評分
從本節課中
Способы задания ориентации тела
與講師見面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Здравствуйте!
Я надеюсь, что вы отлично усвоили материал первой недели.
Теперь давайте перейдем к кинематике твердого тела.
Чем принципиально твердое тело отличается от точки?
Тем, что твердое тело может поворачиваться, вращаться.
Соответственно, нам необходимо научиться задавать положение твердого тела
относительно неподвижного базиса в каждый момент времени.
Вам на лекции уже говорили, что для этой цели подходит, например,
матрица направляющих косинусов.
Давайте на примере следующей задачи выпишем матрицу направляющих косинусов и
научимся ею пользоваться.
Задача следующая: у нас есть неподвижный базис XYZ.
[ЗВУК] Подвижный
базис повернут относительно него в данный момент времени на 30 градусов,
причем поворот осуществлен вокруг оси Z.
Подвижный базис X', Y' и Z', так как ось Z остается без изменений.
У нас есть неподвижный вектор r,
который направлен по биссектрисе между углом X'OY.
Значит, угол здесь 30 градусов, и угол здесь 30 градусов.
Давайте заодно обозначим орты подвижной и неподвижной системы координат.
Для X — это i1,
для Y — i1, для Z — i3.
Для подвижной системы координат: e1, e2, e3.
Совпадает с i3.
Глядя на рисунок, можно записать, чему равен вектор r.
Вектор r в неподвижной системе координат равен
[1/2; √ 3/2; 0].
Нам необходимо найти,
как этот вектор выглядит в подвижной системе координат,
то есть его компоненты в проекциях на подвижную систему координат.
Как мы это сделаем?
Давайте выпишем сначала матрицу направляющих косинусов.
Матрица направляющих косинусов состоит из столбцов, где в каждом
столбце компоненты векторов e1, e2, e3 в неподвижном базисе — в i1, i2, i3.
e1 вектор проецируется на систему координат i1,
i2, i3 следующим образом: на ось i1 проекция cos30⁰,
на ось i2 — cos60⁰,
на ось Z — проекция 0.
Теперь давайте спроецируем e2 на оси, опять же,
неподвижной системы координат — на i1, i2, i3.
Проекция на i1 равняется минус...
Точнее, лучше написать косинус 120 градусов, потом с минусами определимся.
На i2 — cos30⁰, на i3 — 0.
Осталось спроецировать вектор e3.
Видно, что на i1 и i2 проекция 0.
И проекция на i3 равна единице.
Вот мы получили матрицу направляющих косинусов для нашей задачи.
Можно подставить конкретные значения, переписать.
Что будет?
cos30⁰ — это √ 3/2,
cos120⁰ — −1/2,
cos60⁰ — 1/2, cos30⁰ — опять √ 3/2,
ноль, ноль, ноль, ноль, один.
Теперь, нам необходимо найти компоненты вектора в
подвижной системе координат.
Что для этого нужно сделать?
Давайте сначала просто его выпишем, это же легко сделать.
Как этот вектор выписывается в подвижной системе координат?
Проекция на
ось e1 — это cos30⁰,
проекция на ось e2 — cos60⁰,
и проекция на ось e3 — это ноль.
Если подставить конкретные значения косинусов углов,
то получим: √ 3/2, 1/2 и 0.
Если мы захотели получить проекции на
подвижную систему координат при помощи матрицы направляющих косинусов,
то мы сделали бы следующее.
Наш вектор в неподвижной системе координат выписывается следующим
образом: как матрица направляющих косинусов на компоненты
векторов в подвижной системе координат.
Эту формулу вам давали на лекции.
Давайте подставим.
√ 3/2,
−1/2, 0,
1/2, √ 3/2,
0, 0, 0, 1.
Необходимо умножить на вектор √ 3/2, 1/2, 0.
Давайте подставим.
В первой строчке получаем:
√ 3/2 * √ 3/2 3/4 − 1/4.
Вторая строчка: √ 3/4
+ √ 3/4.
И третья строчка — 0.
Получаем: первая компонента 1/2,
вторая компонента √ 3/2, третья компонента 0,
что и было дано изначально, то есть мы нигде не ошиблись, всё отлично.
Мы научились применять матрицу направляющих косинусов.
Спасибо!
