В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Естественный трехгранник Френе
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Кинематика
15 個評分
Explore Related Videos
At Coursera, you will find the best lectures in the world. Here are some of our personalized recommendations for you
從本節課中
Кинематика точки
與講師見面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Друзья, в прошлый раз мы с вами ввели скорость,
понятие скорости и ускорения материальной точки.
На самом деле, теоретическая механика, как некоторые выражаются,
— это искусство выбирать правильные координаты.
Мы об этом будем говорить, когда научимся составлять уравнения движения, которые,
вообще, очень важно писать в правильных координатах, чтобы они интегрировались,
чтобы они принимали хороший вид.
Ну и в кинематике важно правильно выбирать базис,
в котором мы раскладываем те или иные векторы.
Сейчас мы поговорим об одном таком базисе, на который очень удобно
проецировать векторы скорости и ускорения во многих задачах,
как в кинематических, так и потом в динамических.
Базис этот называется естественный или сопровождающий трёхгранник Френе.
Трёхгранник Френе.
В XIX веке введение этого трёхгранника
составляло существенную часть докторской диссертации этого самого Френе,
а теперь это проходят на лекциях в качестве такой достаточно очевидной,
но очень удобной вещи.
Вот Френе тогда изучал, как устроены геометрические кривые в принципе,
и придумал аппарат для описания этих самых кривых,
который нам очень пригодится в механике.
Начнём вот с чего.
У нас опять же есть трёхмерное евклидово пространство,
в котором введена прямоугольная декартова система координат: X,
Y, Z, как обычно, нас интересует некоторая точка,
совершающая движение вдоль некоторой траектории, точка P.
И сейчас мы для этой траектории введём некоторую длину дуги,
естественный параметр вдоль этой кривой,
выберем произвольным образом начало отсчёта этого параметра и будем
говорить: вот точка проехала от этого начала до некоторого
своего положения длину кривой s.
Давайте теперь посмотрим,
что это нам даёт в плане описания векторов скорости и ускорения.
Для начала, радиус-вектор
точки r — мы можем теперь сказать, что он зависит от s,
поскольку каждая точка этой кривой вполне себе определяется значением параметра s.
Итак, у нас радиус-вектор теперь является функция s.
Если мы захотим написать, что такое скорость, нам придётся брать производную
r с точкой от (s) и,
поскольку у нас r теперь зависит от s, то мы можем написать,
что эта производная есть (dr по ds),
(ds по dt).
И дальше мы говорим: что такое (ds по dt)?
(ds по dt) — это фактически модуль скорости.
Это скаляр, который показывает, как быстро точка проходит те или иные отрезки пути.
А (dr по ds), как может быть известно из математического
анализа или из начала дифференциальной геометрии, у кого как складывался путь к
теоретической механике, — это вектор, который принято обозначать буквой τ,
который направлен по касательной к траектории в той точке,
где сейчас у нас P на этой траектории расположен.
Итак, скорость — это у нас v * τ, где v — модуль скорости,
τ — орт касательной к траектории, определяющий направление скорости заодно.
Скорость у нас, поскольку она определяется как производная,
логично ожидать, что она и будет направлена по касательной.
Это мы знаем из геометрического смысла производной.
Пойдём дальше.
Давайте смотреть, что такое ускорение.
Ускорение — это вектор, который мы определяли
как производную вектора скорости по времени.
Давайте возьмём окончательное выражение для вектора скорости v * τ и
продифференцируем его по времени.
(d по dt), модуль скорости умножить на τ,
здесь у нас под производной стоит произведение v и τ.
Давайте по правилу дифференцирования произведения будем это выражение
дифференцировать, получим v с точкой умножить на орт касательной,
+ v * вектор τ, продифференцированный по времени.
Точно так же, как мы дифференцировали по времени вектор r, мы продифференцируем τ,
то есть напишем (dτ по ds) и опять (ds по dt).
Но поскольку для (ds по dt) мы уже ввели обозначение,
вот оно — это v, мы можем написать (dτ
по ds),
«умноженное на v» писать не будем, просто поставим здесь квадрат.
Вот такая промежуточная формула у нас получилась для ускорения.
Осталось только разобраться с тем, что такое (dτ по ds).
Вот что нас сейчас интересует: (dτ по ds).
Что это за вектор?
Во-первых, давайте отметим, что этот вектор у нас ортогонален вектору τ.
Ну, действительно, как мы знаем,
модуль вектора τ = 1.
По-другому это можно написать так: (τ скалярно
умножить на τ) = 1.
А теперь давайте это продифференцируем.
Продифференцируем как произведение, мы получим производное по s.
(dτ по ds) * τ, плюс, наоборот, τ * (dτ по ds) = 0.
Это нам даст 2
(dτ по ds) * τ = 0.
То есть скалярное произведение этих двух векторов = 0, то есть, действительно,
(dτ по ds) ортогонален вектору τ.
Давайте это где-нибудь отметим: (dτ по ds) =
какой-то коэффициент * вектор n,
где вектор n — единичный вектор, ортогональный вектору τ.
[БЕЗ СЛОВ] А теперь давайте попробуем это нарисовать.
Вот у нас укрупнённо кусочек траектории,
точка в некоторый момент находится здесь,
вот отсюда торчит вектор τ (s),
потом точка проедет какую-то дугу
вот досюда Δs,
и орт касательной будет торчать туда.
Это у нас τ (s + Δs).
Орт n отложим перпендикулярно вектору τ,
вот куда-то туда, даже не столько орт,
сколько перпендикулярно рисуем.
И как делают обычно в дифференциальной геометрии, может быть вы помните,
рассматривают с некоторого положения точки P, берутся две близкие точки слева,
справа на траектории, по трём точкам, как известно восстанавливается
окружность единственным образом, а значит и плоскость,
дальше переходят к пределу и получают некоторую предельную окружность,
у которой есть центр где-то, мы не знаем где,
и радиус которой мы назовём буквой ρ.
Вот я его так вот отложил, и здесь перпендикуляр.
И туда я тоже какой-то отрезок отложу, это уже не радиус
этой окружности, потому что точка у нас уехала достаточно далеко.
Этот угол я обозначу, скажем, α, и теперь посмотрим, что нам это даёт.
Даёт нам это вот что.
Давайте я нарисую треугольник из орта в τ и
τ (s + Δs) чуть правее картинки.
Вот у нас орт условно параллельный τ (s),
это он же, я просто выношу рисунок чуть правее туда,
и от этой же точки отложу τ (s
+ Δs).
Разность между этими двумя ортами Δτ...
[БЕЗ СЛОВ] это
у нас τ (s + Δs) − τ (s).
Эта разность понадобится нам для того, чтобы перейти к пределу.
Вот давайте смотреть.
Предел нам нужен какой?
Предел.
Δτ / Δs,
при Δs стремящимся к 0.
Вот это ровно то, что нам нужно.
Это вектор dτ по ds.
Как мы знаем,
этот вектор dτ по ds, это вот то,
что мы нашли здесь и обозначили, некоторая константа C * n,
где n — орт, то есть с направлением здесь мы полностью определились.
Это вектор нормальный, ортогональный к вектору τ, а с модулем давайте посмотрим.
То есть я могу здесь написать: предел при Δs,
стремящимся к 0, модуль Δτ / Δs * n,
где модуль Δτ
/ Δs и будет написан вместо этой константы C.
А модуль мы легко можем посчитать из треугольника,
в котором находятся векторы τ (s),
вектор τ (s + Δs) и третья сторона — это как раз вектор Δτ.
Этот модуль из этого равнобедренного треугольника достаточно легко найти.
Найдем мы его вот из каких соображений.
Δτ по модулю — это 2
умножить на сторону равнобедренного треугольника τ и
умножить на
sin α / 2,
где α — это угол между τ и τs + Δs,
и это же угол между отрезком ρ,
который мы отложили из центра окружности,
предельной к обоим векторам.
Пользуясь малостью угла, ну раз мы переходим к пределу, угол считается малым,
и поэтому sin линеаризуется как α / 2, и пользуясь тем, что длина вектора τ — 1,
мы получаем 2 * 1 * (α / 2),
то есть α.
Вот.
И дальше из рисунка мы можем понять, чему равен этот угол.
Длина дуги у нас Δs, радиус окружности… Вот
предел у нас стягивает все к этой точке так, что в пределе мы получаем радиус ρ,
поэтому α у нас — Δs / ρ.
И окончательно, dΔ по ds…
[БЕЗ СЛОВ] Если подставлять все в тот предел,
который мы пишем, получается предел при Δs,
стремящимся к 0,
Δτ / Δs * n.
Δτ — это у нас Δs / ρ,
то есть 1 / ρ * n.
Тем самым мы нашли все, что нам необходимо для того,
чтобы написать, что такое ускорение в наших новых обозначениях.
Для ускорения мы получаем следующую формулу.
Ускорение — это v с точкой
* τ + v² / ρ * n.
τ у нас — орт касательной к траектории, а n обычно называется ортом главной нормали.
Еще есть некая терминологическая вещь, которую мы должны знать.
Вот тут два слагаемых.
Первое слагаемое обычно называется ускорением
касательным или тангенциальным, и обозначается Wτ.
Касательное ускорение.
И второе слагаемое, v² делить на радиус кривизны,
обычно называется ускорением нормальным.
[БЕЗ СЛОВ] Итак,
мы с вами получили выражение для вектора скорости и ускорения,
и теперь нужно ввести базис, по которому удобно раскладывать эти самые векторы,
тот самый базис, который мы в самом начале назвали трехгранником Френе.
Давайте смотреть.
Вот он так может быть изображен.
Нарисуем декартову систему координат, в которой у нас все происходит,
по некоторой траектории у нас движется точка.
Пусть она будет такая параболическая.
Орт касательной.
Первый орт трехгранника Френе пусть
будет желтый — раз вектор базисный.
Далее, орт нормали, который у нас возник, когда мы писали выражение для ускорения,
— два вектор.
И имея два вектора, конечно, базис мы не получаем,
поэтому нам необходимо дополнить эту двойку третьим вектором так,
чтобы три вектора составляли правую тройку, и этот вектор,
вот он будет такой красный, называется бинормаль.
Вместе три вектора τ,
n у меня синий, будет синий,
и b вот в таких красных скобках,
составляют базисную тройку векторов, этот базис называется трехгранником Френе.
Этот тот самый базис,
на который достаточно просто записывается разложение векторов скорости и ускорения.
Действительно, вектор скорости имеет всего одну компоненту в разложении по
этому базису, всенаправленно с τ.
Вектор ускорения имеет две вот такие компоненты в разложении
по этому базису — касательное и нормальное ускорение.
Вот. Мы будем часто пользоваться этим базисом и
этими разложениями в задачах, которые будем решать и сейчас,
наверное, настало время разобрать одну из них.
