В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Естественный трехгранник Френе
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Кинематика
14 個評分
從本節課中
Кинематика точки
與講師見面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Друзья, в прошлый раз мы с вами ввели скорость,
понятие скорости и ускорения материальной точки.
На самом деле, теоретическая механика, как некоторые выражаются,
— это искусство выбирать правильные координаты.
Мы об этом будем говорить, когда научимся составлять уравнения движения, которые,
вообще, очень важно писать в правильных координатах, чтобы они интегрировались,
чтобы они принимали хороший вид.
Ну и в кинематике важно правильно выбирать базис,
в котором мы раскладываем те или иные векторы.
Сейчас мы поговорим об одном таком базисе, на который очень удобно
проецировать векторы скорости и ускорения во многих задачах,
как в кинематических, так и потом в динамических.
Базис этот называется естественный или сопровождающий трёхгранник Френе.
Трёхгранник Френе.
В XIX веке введение этого трёхгранника
составляло существенную часть докторской диссертации этого самого Френе,
а теперь это проходят на лекциях в качестве такой достаточно очевидной,
но очень удобной вещи.
Вот Френе тогда изучал, как устроены геометрические кривые в принципе,
и придумал аппарат для описания этих самых кривых,
который нам очень пригодится в механике.
Начнём вот с чего.
У нас опять же есть трёхмерное евклидово пространство,
в котором введена прямоугольная декартова система координат: X,
Y, Z, как обычно, нас интересует некоторая точка,
совершающая движение вдоль некоторой траектории, точка P.
И сейчас мы для этой траектории введём некоторую длину дуги,
естественный параметр вдоль этой кривой,
выберем произвольным образом начало отсчёта этого параметра и будем
говорить: вот точка проехала от этого начала до некоторого
своего положения длину кривой s.
Давайте теперь посмотрим,
что это нам даёт в плане описания векторов скорости и ускорения.
Для начала, радиус-вектор
точки r — мы можем теперь сказать, что он зависит от s,
поскольку каждая точка этой кривой вполне себе определяется значением параметра s.
Итак, у нас радиус-вектор теперь является функция s.
Если мы захотим написать, что такое скорость, нам придётся брать производную
r с точкой от (s) и,
поскольку у нас r теперь зависит от s, то мы можем написать,
что эта производная есть (dr по ds),
(ds по dt).
И дальше мы говорим: что такое (ds по dt)?
(ds по dt) — это фактически модуль скорости.
Это скаляр, который показывает, как быстро точка проходит те или иные отрезки пути.
А (dr по ds), как может быть известно из математического
анализа или из начала дифференциальной геометрии, у кого как складывался путь к
теоретической механике, — это вектор, который принято обозначать буквой τ,
который направлен по касательной к траектории в той точке,
где сейчас у нас P на этой траектории расположен.
Итак, скорость — это у нас v * τ, где v — модуль скорости,
τ — орт касательной к траектории, определяющий направление скорости заодно.
Скорость у нас, поскольку она определяется как производная,
логично ожидать, что она и будет направлена по касательной.
Это мы знаем из геометрического смысла производной.
Пойдём дальше.
Давайте смотреть, что такое ускорение.
Ускорение — это вектор, который мы определяли
как производную вектора скорости по времени.
Давайте возьмём окончательное выражение для вектора скорости v * τ и
продифференцируем его по времени.
(d по dt), модуль скорости умножить на τ,
здесь у нас под производной стоит произведение v и τ.
Давайте по правилу дифференцирования произведения будем это выражение
дифференцировать, получим v с точкой умножить на орт касательной,
+ v * вектор τ, продифференцированный по времени.
Точно так же, как мы дифференцировали по времени вектор r, мы продифференцируем τ,
то есть напишем (dτ по ds) и опять (ds по dt).
Но поскольку для (ds по dt) мы уже ввели обозначение,
вот оно — это v, мы можем написать (dτ
по ds),
«умноженное на v» писать не будем, просто поставим здесь квадрат.
Вот такая промежуточная формула у нас получилась для ускорения.
Осталось только разобраться с тем, что такое (dτ по ds).
Вот что нас сейчас интересует: (dτ по ds).
Что это за вектор?
Во-первых, давайте отметим, что этот вектор у нас ортогонален вектору τ.
Ну, действительно, как мы знаем,
модуль вектора τ = 1.
По-другому это можно написать так: (τ скалярно
умножить на τ) = 1.
А теперь давайте это продифференцируем.
Продифференцируем как произведение, мы получим производное по s.
(dτ по ds) * τ, плюс, наоборот, τ * (dτ по ds) = 0.
Это нам даст 2
(dτ по ds) * τ = 0.
То есть скалярное произведение этих двух векторов = 0, то есть, действительно,
(dτ по ds) ортогонален вектору τ.
Давайте это где-нибудь отметим: (dτ по ds) =
какой-то коэффициент * вектор n,
где вектор n — единичный вектор, ортогональный вектору τ.
[БЕЗ СЛОВ] А теперь давайте попробуем это нарисовать.
Вот у нас укрупнённо кусочек траектории,
точка в некоторый момент находится здесь,
вот отсюда торчит вектор τ (s),
потом точка проедет какую-то дугу
вот досюда Δs,
и орт касательной будет торчать туда.
Это у нас τ (s + Δs).
Орт n отложим перпендикулярно вектору τ,
вот куда-то туда, даже не столько орт,
сколько перпендикулярно рисуем.
И как делают обычно в дифференциальной геометрии, может быть вы помните,
рассматривают с некоторого положения точки P, берутся две близкие точки слева,
справа на траектории, по трём точкам, как известно восстанавливается
окружность единственным образом, а значит и плоскость,
дальше переходят к пределу и получают некоторую предельную окружность,
у которой есть центр где-то, мы не знаем где,
и радиус которой мы назовём буквой ρ.
Вот я его так вот отложил, и здесь перпендикуляр.
И туда я тоже какой-то отрезок отложу, это уже не радиус
этой окружности, потому что точка у нас уехала достаточно далеко.
Этот угол я обозначу, скажем, α, и теперь посмотрим, что нам это даёт.
Даёт нам это вот что.
Давайте я нарисую треугольник из орта в τ и
τ (s + Δs) чуть правее картинки.
Вот у нас орт условно параллельный τ (s),
это он же, я просто выношу рисунок чуть правее туда,
и от этой же точки отложу τ (s
+ Δs).
Разность между этими двумя ортами Δτ...
[БЕЗ СЛОВ] это
у нас τ (s + Δs) − τ (s).
Эта разность понадобится нам для того, чтобы перейти к пределу.
Вот давайте смотреть.
Предел нам нужен какой?
Предел.
Δτ / Δs,
при Δs стремящимся к 0.
Вот это ровно то, что нам нужно.
Это вектор dτ по ds.
Как мы знаем,
этот вектор dτ по ds, это вот то,
что мы нашли здесь и обозначили, некоторая константа C * n,
где n — орт, то есть с направлением здесь мы полностью определились.
Это вектор нормальный, ортогональный к вектору τ, а с модулем давайте посмотрим.
То есть я могу здесь написать: предел при Δs,
стремящимся к 0, модуль Δτ / Δs * n,
где модуль Δτ
/ Δs и будет написан вместо этой константы C.
А модуль мы легко можем посчитать из треугольника,
в котором находятся векторы τ (s),
вектор τ (s + Δs) и третья сторона — это как раз вектор Δτ.
Этот модуль из этого равнобедренного треугольника достаточно легко найти.
Найдем мы его вот из каких соображений.
Δτ по модулю — это 2
умножить на сторону равнобедренного треугольника τ и
умножить на
sin α / 2,
где α — это угол между τ и τs + Δs,
и это же угол между отрезком ρ,
который мы отложили из центра окружности,
предельной к обоим векторам.
Пользуясь малостью угла, ну раз мы переходим к пределу, угол считается малым,
и поэтому sin линеаризуется как α / 2, и пользуясь тем, что длина вектора τ — 1,
мы получаем 2 * 1 * (α / 2),
то есть α.
Вот.
И дальше из рисунка мы можем понять, чему равен этот угол.
Длина дуги у нас Δs, радиус окружности… Вот
предел у нас стягивает все к этой точке так, что в пределе мы получаем радиус ρ,
поэтому α у нас — Δs / ρ.
И окончательно, dΔ по ds…
[БЕЗ СЛОВ] Если подставлять все в тот предел,
который мы пишем, получается предел при Δs,
стремящимся к 0,
Δτ / Δs * n.
Δτ — это у нас Δs / ρ,
то есть 1 / ρ * n.
Тем самым мы нашли все, что нам необходимо для того,
чтобы написать, что такое ускорение в наших новых обозначениях.
Для ускорения мы получаем следующую формулу.
Ускорение — это v с точкой
* τ + v² / ρ * n.
τ у нас — орт касательной к траектории, а n обычно называется ортом главной нормали.
Еще есть некая терминологическая вещь, которую мы должны знать.
Вот тут два слагаемых.
Первое слагаемое обычно называется ускорением
касательным или тангенциальным, и обозначается Wτ.
Касательное ускорение.
И второе слагаемое, v² делить на радиус кривизны,
обычно называется ускорением нормальным.
[БЕЗ СЛОВ] Итак,
мы с вами получили выражение для вектора скорости и ускорения,
и теперь нужно ввести базис, по которому удобно раскладывать эти самые векторы,
тот самый базис, который мы в самом начале назвали трехгранником Френе.
Давайте смотреть.
Вот он так может быть изображен.
Нарисуем декартову систему координат, в которой у нас все происходит,
по некоторой траектории у нас движется точка.
Пусть она будет такая параболическая.
Орт касательной.
Первый орт трехгранника Френе пусть
будет желтый — раз вектор базисный.
Далее, орт нормали, который у нас возник, когда мы писали выражение для ускорения,
— два вектор.
И имея два вектора, конечно, базис мы не получаем,
поэтому нам необходимо дополнить эту двойку третьим вектором так,
чтобы три вектора составляли правую тройку, и этот вектор,
вот он будет такой красный, называется бинормаль.
Вместе три вектора τ,
n у меня синий, будет синий,
и b вот в таких красных скобках,
составляют базисную тройку векторов, этот базис называется трехгранником Френе.
Этот тот самый базис,
на который достаточно просто записывается разложение векторов скорости и ускорения.
Действительно, вектор скорости имеет всего одну компоненту в разложении по
этому базису, всенаправленно с τ.
Вектор ускорения имеет две вот такие компоненты в разложении
по этому базису — касательное и нормальное ускорение.
Вот. Мы будем часто пользоваться этим базисом и
этими разложениями в задачах, которые будем решать и сейчас,
наверное, настало время разобрать одну из них.
