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數學是物理之母-如何用數學描述一道光線的前進？

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基礎光學一 (Introduction to Optics (1))

国立台湾大学

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以深入淺出的概念說明日常生活與科學應用中常見的光學現象，特色在於大量的範例以及實驗展示。

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從本節課中

幾何光學

用數學描述光、透鏡、鏡子(ABCD矩陣)、光束追蹤法

關鍵能力11:37

幾何光學的概念 14:27

數學是物理之母-如何用數學描述一道光線的前進？10:49

教學方

朱士維
教授 (Professor)

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腳本

在这一小节中我们要开始来分析光线的行进。一开始我们要先讨论要如何描述一道光线呢？所以一开始我们想的问题是在数学上我们如果要描述一道光线需要哪些物理参数的组合呢？基本上要描述一道光线至少需要两个物理参数，第一个是光线离主轴光学轴的高度y，第二个是光线前进的角度α。我们要怎么描述光线的行进呢？有一个很有用的方法是光线追踪法。这个意思呢是将刚刚提到的高度还有角度y、α看成一组坐标。在均匀介质中传播的时候呢，基本上 α这个角度不会改变，y会改变，所以下面这个图当例子呢，这是起始点的y，这是起始点的α，在传播的过程中间呢这个角度并不会改变，可是沿着传播的途径，光线离主轴的高度会一直改变，于是到最后面这个y的高度就会跟前面不一样，所以y会变，α不会变。而在会产生折射的界面呢，这个部分则是折射造成概念就是角度α会改变，但在折射这个点上面，在折射这个点上，y的高度是不会变，所以在折射的界面呢是角度α会改变，而y不会变。我们举一个例子，当光线在均匀介质中传播的时候呢，我们先假设传播距离为D，一开始入射光线的高度呢我们称为yi1，入射光线的角度呢我们称为αi1，这就是光线的方向对光学轴之间的夹角。而在结果的出射光线的高度呢我们称为yt1，出射光线的角度我们成为αt1，这四个参数呢我们可以很简单地写成上面这个式子，其中呢我们刚刚提到角度不会改变，所以αt1一定等于αi1，而在高度的部分呢yt1和yi1之间的关系呢会差一个D乘上αi1，为什么呢？我们从图中可以看得出来， yi1跟yt1的差距是这一段距离差，这段距离差基本上就是传播的距离D乘上tanαi1，但是根据刚刚提到近轴近似的假设呢， tanαi1在αi1很小的时候呢就等于αi1。也就是说这一段的高度就是D乘上αi1，所以最后出来的yt1的高度就会是D乘上αi1，加上yi1，这就是光线在均匀介质中传播的角度跟高度之间的关系式。而第二个例子呢是光线在球面折射，我们可以看得到呢在折射点上光的高度是不会改变的，所以我们可以很容易写下，出射的高度跟入射的高度之间的关系是yt1等于yi1。而在折射的时候呢会发生的事情是光行进的角度呢会按照Snell's Law而改变。所以我们可以在这个图里面可以写下，nt1乘上θt1， θt1呢在这个地方是折射出来的光线于对法线的夹角。这个nt1乘上θt1会等于ni1乘上θi1，而这个θi1呢则是入射光的方向跟法线之间的夹角。我们从这个图上可以观察出来，入射角跟反射角是取决于法线的角度，而这个法线的角度则和光的入射点的高度有很大的关系。那接下来问题就是该怎么样计算这个角度跟高度之间的关系呢？我们先把Snell's Law写下来， nt1乘上θt1等于ni1乘上θi1，我们现在要把这个θ换成我们刚刚在计算角度的时候相对于光轴的夹角那个α，所以怎么把θ跟α连接在一起呢？我们可以从这个图上观察得到， θi1基本上呢等于 α1加上αi1，其中α1是什么意思呢？α1 是法线跟光轴之间的夹角，而αi1呢则是入射光线跟光轴之间的夹角，所以我们可以把θi1换成αi1加α1，同样的在穿透这一边的θt1等于αt1加α1。再一次的，这个α1是法线和光轴之间的夹角。而αt1呢则是穿透光和光轴之间的夹角。所以我们可以把θ成功地换成一个α的方程式。然后其中呢我们现在不确定的角度是这个α1，我们再从图上观察一下，这个α1基本上可以从这个绿色的三角形求得出来，绿色三角形的高就是y1也就是光离主轴的高度，而绿色三角形的横边基本上就是R，这个R指的是球面的曲率半径，所以从这个三角形里面观察我们看得出来α1 就是跟这个三角形的锐角是同一个角度，所以α1相当于是 y1除以R1的一个值，再一次的这边用到了一个近轴近似，也就是y1除以R1事实上是tanα1。不过因为tanα1在角度很小的时候就是α1，所以我们可以写下α1 相当于y1除以R1这个式子。把这些式子结合起来我们可以得到 nt1乘上αt1会等于ni1乘上αi1减掉 R1分之nt1减ni1乘上yi1。我们把刚刚这些式子结合起来，我们可以看到光线在球面折射的时候呢，高度的方程式是yt1等于yi1，这是不会变的，高度，而在角度上呢，我们可以把αt1跟αi1的关系写下来，里面会多一个yi1的关系在里面，这是因为折射的角度和法线有关，而法线的方向则和yi1的高度有关，所以在这个地方呢， α的折射会跟y高度这个参数有直接的关系。第三个例子呢是光线经过一个球面聚焦。所以我们把聚焦这个情况呢，从头到尾分析一下。从光源出发，我们的光源呢是一个高度为yi0的一个箭头，那从它的箭头的起点呢有一条光线沿着αi0的方向传播，在空气中呢它传播了D01的距离，那如同刚刚提到的，在这个传播过程中间呢，高度y会变，但是α不会变，然后第二个部分是当这个光撞到一个会折射的界面的时候呢，在这个地方产生界面折射，界面折射的条件呢是角度α会改变， y这个高度在这里不会改变，然后接下来呢，第三个部分是折射过后的光在这个介质中传播，这个传播的距离我们称之为D12，同样的在这个均匀介质中传播的情况呢，高度y会改变，但是传播的角度α 不会改变。所以我们以刚刚这个三部曲的概念呢，分布把它对应的方程式写下来。在空气中传播D01的距离呢我们可以从刚刚第一个例子，把式子代进来我们可以得到yt0、yi0的关系，还有αt0跟αi0的关系。第二个环节是界面折射，那同样的，我们用刚刚学过的式子呢，在这里可以得到yt1跟yi1的关系，还有αt1跟αi1的关系。而第三个环节呢则是在介质中传播一段距离，那同样的是传播的方程式，只是在这个地方传播呢折射率不一样。我们也可以在这里写下yt2跟yi2之间的关系，还有αt2跟αi2之间的关系。这些式子全部结合起来我们就可以用来分析一道光线在空气中传播之后经过一个球面聚焦折射的结果，这个就是我们所谓的光线追踪法。也就是我们跟着一个光线，从空气中传播，到界面折射，到介质中传播，整个合起来分析，这样可以得到最后的光线的高度和角度。所以我们把刚刚这些式子全部结合起来结果我们可以得到 yt2对yi0还有αi0的关系，还有αt2 对yi0跟αi0之间的关系，这个就是一个完整的光线经过球面聚焦，用光线追踪法得到的一个式子的结果。在一小节最后的随堂测验是，请问下列哪一个选项不正确？ 1. 光在空气中传播的时候，角度不会改变。 2. 光在玻璃中传播的时候，高度不会改变。3. 光在空气和玻璃界面折射的时候，高度不会改变。 4. 光在空气和玻璃界面折射的时候，角度改变会满足Snell's Law。

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