以深入淺出的概念說明日常生活與科學應用中常見的光學現象，特色在於大量的範例以及實驗展示。
曲面像差與變形像差
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來自 National Taiwan University 的課程
基礎光學一 (Introduction to Optics (1))
63 個評分
與講師見面
朱士維教授 (Professor)
物理學系 (Department of Physics)
所以接下来呢为各位介绍的是这一讲的第四节的部分，我们为各位介绍呢
五种像差里面最后两种，是曲面像差跟变形像差，也就是field curvature 跟 distortion。
那么跟刚刚一样的呢，我们先由Seidel多项式来推导像差距离，
从这个像差距离概念里面呢来思考对于成像的影响以及 看一些实际上的例子。然后最后谈一下这两个像差分别要怎么来修正。
所以我们先来看一下曲面像差。
同样地从第一节中的数学推导呢我们可以看得出来，相对于曲面像差那一项呢，
是W等于c4 y平方 r平方。
那么从这里面我们可以推导出来，横向像差距离呢，是W对xp的偏微分，
所以可以得到横向像差呢是正比于y平方r sinφ。
而在y’上面的横向像差呢则会正比于y平方r cosφ。
所以再一次地呢我们从φ的相关性可以看得出来呢，Δx‘跟Δy’呢会构成一个圆形。
而在r的相关性呢则告诉我们说r越大，这个像差的圆形越大。
但是跟球面像差不一样的地方是呢，这里是跟r成一次方的正比，
而球面像差是跟r成3次方的正比。所以呢我们把刚刚这个概念整合起来来看一下曲面像差
它的波前像差跟像差距离之间的关系。
所以在波前像差呢也就是下面这个左边这个图所显示的呢，可以看的出来，
它是y平方r平方这个形式呢是个对称光轴的一个波前的曲面。
而且呢这个波前像差离轴越远呢，会越严重。
因为它是跟y平方成正比的。
而这个y的相关性呢再一次代表这个曲面像差也是因为在y轴上
有斜向入射，也就是光源有在y轴上所造成的结果。
那么另外一个呢，像差距离的分析呢，则是我们把方程式呢写在右下角，这边可以看得出来。
它会告诉我们的形式是，这个像差最后形成一个圆形， 而且以光轴为中心会散开，正比于r。
所以呢同样的绿色区域呢，是由透镜平面距离光轴二分之r 的光所构成，而黄色区域呢则是由透镜平面距离光轴r的光，
所构成这样的一个形式。所以可以看得出来，如果在焦点的话呢，
在透镜平面上距离光轴越远的光，在焦点就会弧的越开。
这是曲面像差造成的结果。那么实际上呢，在 光线的光路图上来看呢，曲面像差代表的意思呢是
成像面会变成一个曲面，这就是为什么这个叫做曲面像差的原因。
而这个曲面像差呢我们现在在这张示意图上呢先假设，
前面的三种像差，球面像差、彗星像差跟散光像差
都已经被修正的情况之下呢，这个时候呢曲面像差会非常清楚地看得出来， 成像面会形成一个曲面。而且再一次地，它的
子午面跟横切面两个面所形成的曲面的焦点呢，并不一样。
所以呢，实际上在影像上看起来会发生的事情呢，是如果我的成像面是一个曲面，
但是我的底片是一个平面的话，所以你可以想象如果一个曲面把底片 往前移或往后移，我会看到
这个曲面上面不同位置清晰的结果。所以例如说像下面这张图里面呢， 黑色的这条线是成像面的这个曲面，
而红蓝绿呢，则是代表不同的底片置放的位置。所以呢当我们的底片放在蓝色位置的时候呢，
它跟成像面的切的位置呢是在比较外围的地方，也就是说呢，在这个情况下呢，影像的外围
会在焦点比较清楚。但是对于影像的中间的部分呢，它就会模糊掉。因为这个时候呢并不在成- 像面上面。
那么如果呢，我们把底片呢往右边移一点，移到红色这个平面，那你可以看得出来呢，它- 跟成像面
的切点呢，变得比较靠近中间一点。所以呢它比较清楚的影像呢就比较靠近中间一点。
而最外围跟最中心呢，仍然会有点模糊。
那么如果我们把成像面再往右移呢，也就是说变成绿色的这个平面，把底片放在
这个位置的话呢，会发现只有正中心非常非常清楚，但整个外围呢都会变得越来越模糊。
这个呢就是曲面像差造成的结果。那么要如何消除曲面像差呢？
基本上最简单的概念是呢，可以用对称的透镜组来消除曲面像差。
也就是说像下面这个例子呢，最上面这张图呢，显示的是具有曲面像差的一个
形式。那么假设在这个系统里面呢，其它的像差都已经被修正了， 所以呢只剩下曲面像差。那么如果呢我们把这个系统放成一个对称的形式，
就如同下面这张图所显示的，两个凹凸透镜呢面对面地放着。
这时候呢这两个凹凸透镜可以消除后面这一个 凸透镜呢会造成的曲面像差，因此呢会使得焦点
落在最后面形成一个平面。详细的分析呢事实上需要用到软体来做，
才能够比较清楚地看得出来为什么曲面像差能够被这样一个对称的一个透镜组给消除。
而最后呢我们介绍的是变形像差。变形像差呢 在第一节里面的方程式呢它会正比于y3方r
cosφ， 所以再一次地呢，我们很快地求得出来它的Δx'跟Δy'。
那么在这个地方呢要邀请各位练习看看，像这样的像差距离关系， 会造成什么结果呢？然后要记得呢，
我们所有这些方程式的假设呢都是光源是在y轴上的偏移。
所以变形像差呢它实际上会发生的事情呢从上面那个方程式联系起来呢，
它会造成的结果是，不在光轴上的光源呢， 它的放大率跟光源距离光轴的距离y有关系。
也就是说呢，如果光源距离光轴的y越大， 它的放大率可能会越大，这是所谓的正变形像差，
或者是越小，这就是所谓的负变形像差。
所以呢，当产生正变形像差的时候呢，基本上也就是刚刚这个c5大于0
的这个时候。那么它离轴越远呢，放大率会越大。所以整个影像会形成一个向外凸， 的一个四方形的形式。
那么反过来说，如果c5小于0的话呢，这个时候离轴越远，放大率越小。
所以呢整个影像会变成一个向内凹的一个
方形的一个形状，这是负变形的像差的形式。但是呢，这个变形像差呢里面如果前面的
球面像差、彗星像差跟散光像差都已经被修正的话呢， 变形像差本身是不会影响影像的清晰度的。
它只会影像整个影像的形状改变，所以称为变形像差。
所以呢在这张照片里面呢我们可以很清楚看到呢，这个房子呢并不是它盖歪了， 而是房子本来应该是一个方方正正的形状，但是经过透镜成像的结果呢，
它有一个整个，每个尖角都往外凸的一个形式。
那么这个尖角往外凸的这个形式就相对应刚刚我们讲的一个正的变形像差的
一个形式。那么下面这张随堂测验呢是呢，请问，各位可以判断一下，
这张照片，里面具有哪一种变形像差呢？
至于要怎么消除变形像差这件事情，最简单的方法是利用孔径阑的位置
来影响变形像差。所以我们从下面这个示意图呢可以看得出来，
如果孔径阑呢比较靠近光源跟透镜的中间这一面的话呢，
它会造成的变形像差呢是负的。而如果孔径阑呢在透镜
跟光源的另外一边的话呢，那它会造成一个正的 变形像差，就是往内凹的这样的一个情况。所以呢，这两个图像
放下来之后可以想象最佳的位置呢应该是，如果把孔径阑放在 对称的透镜组中间的话呢，会使得变形像差影响最小。
因此呢，在实际上的多透镜镜头的设计里面呢，
多半会把孔径放在对称的地方，所以下面这是一颗Zeiss镜头的设计。
要我们各位猜猜看里面的透镜阑应该会放在什么地方呢？
