קורס זה עוסק במתמטיקה של בית ספר תיכון מנקודת מבט מתקדמת. מטרתו העיקרית היא לחשוף סטודנטים לעתיד לאופן שבו מתמטיקאים רואים מקצוע זה, ובכך להכין אותם ללימודי מתמטיקה ברמת אוניברסיטה.
שטחים ואינטגרציה 2 - האינטגרל כביטוי אנליטי של מושג השטח
Loading...
來自 Hebrew University of Jerusalem 的課程
Invitation to Mathematics הזמנה למתמטיקה
50 個評分
從本節課中
חשבון אינטגרלי
ביחידה זו נציג את האינטגרל ונראה את הקשר בינו לבין שטחים גאומטריים
與講師見面
Raz Kupferman
Mathematics
Itamar Cwik
Mathematics
Ehud de Shalit
Mathematics
בשיעור השעבר אנחנו התוודענו מחדש למושג השטח
אנחנו נמשיך בכך היום תוך אימוץ גישתו של דקארט של לרתום את האלגברה לטובת הגאומטריה.
כבר הזכרנו זאת כמה פעמים במהלך הקורס שלנו,
הרעיון של דקארט היה לייצג נקודות, למשל במישור,
כן אם נדבר על נקודות במישור כזוגות סדורים של מספרים
על ידי כך שנקבעה ראשית צירים,
נקבעו שני ישרים מאונכים זה לזה
שאנחנו נוהגים לקרוא להם ציר ה-X וציר ה-Y ומאותו
רגע כל נקודה במישור על ידי
התבוננות בהיטילים שלה על שני הצירים,
אולי פה ראוי שאני אכתוב ציר ה-X וציר
ה-Y להבדיל מההיטל עכשיו של נקודה
מסוימת P וההיטל שלה על ציר ה-X שאני גם אסמן כ-X ו-Y ואז
אנחנו אומרים שמייצגים את הנקודה הגאומטירת
על ידי זוג סדור של נקודות.
X ו-Y במקרה זה.
ברגע שאנחנו מתבוננים כך בעצמים גאומטרים אזגם
למושג השטח עכשיו יהיה ניסוח יותר גאומטרי.
בפרט אפשר
יהיה להסתכל עכשיו על צורות
במישור ואנחנו מיד נדבר על זה יותר בפירוט אפשר יהיה
לתאר את השפה של אותה צורה כפונקציה.
אוקי, אנחנו מיד נראה, פה פונקציה אחת בלבד לא תספיק אבל את הרעיון מיד נבהיר.
אז נתחיל מדוגמה שתמחיש למה הכוונה הסכלנו
בשיעור שעבר על שטח של משולש אנחנו יכולים,
שאלנו שאלות בסגנון של מה שטחו של משולש שמימדיו נתונים,
למשל אפשר לשאול מהו שטחו של משולש ישר זווית
שאורכי ניצביו
הם 4 יחידות לא חשוב עכשיו,
4 יחידות אורך ו-3 יחידות
אורך אנחנו יודעים את התשובה זה לא הדבר החשוב
כרגע מבחינתי אני רוצה להראות כיצד בהקשר
של הייצוג האנליטי של הגאומטריה אפשר לנסח מחדש את השאלה הזאת.
אז מה שאנחנו נעשה, אנחנו נציג את אותו משולש
עם המימדים הנתונים, משולש ישר זווית על מערכת הצירים הקרטזית.
יש הרבה דרכים לעשות זאת, כן אני יכול כמובן למקם ולסובב את המשולש כרצוני.
אני אבחר דרך מסוימת אז יש לנו ניצב אחד שאורכו 4 יחידות,
1, 2, 3 ו-4 הניצב השני אורכו
3 יחידות 1, 2 ו-3.
הנה הנקודה ששיעוריה הן
4, 3
ונחבר עכשיו את שתי הנקודות האלה,
אז הנה משולש שעונה על הדרישות כאן,
כן אורכי הניצבים הם 3 יחידות ו-4 יחידות אני שואל מה
השטח אז דרך מעט שונה לשאול מהו שטחו במונחים של פונקציות
היא הבאה כן אנחנו נסתכל עכשיו על הקטע הזה, אפשר להמשיך אותו כישר.
הישר הזה הוא גרף של פונקציה.
אנחנו מכירים את הפונקציה הזאת זו הפונקציה Y שווה
3 רבעים פעמים
X את המשולש הזה אפשר להציג
באופן אנליטי המשולש
הוא אוסף הנקודות במישור
התחום על ידי ישרים
התחום על ידי
גרף הפונקציה Y שווה 3 רבעים X
על ידי ציר ה-X שהוא בעצם הפונקציה Y שווה
0.
או הפונקציה Y שווה בכל
מקום 0 והישר האנכי
שהוא לא גרף של פונקציה אבל אפשר לתאר אותו כישר X
שווה 4 אוקי.
אם כן, המשולש הזה הוא
אותו תחום שהגבולות שלו,
השפות שלו הן הקטעים מתוך שלושת הישירים האלה.
ובכן הניסוח האנליטי של השאלה מה שטחו של
משולש זה היא מהו השטח הכלוא או
התחום בין גרף הפונקציה Y שווה 3 רבעים X
וציר ה-X בין הנקודה
X שווה אפס והנקודה X שווה 4
בואו נתבונן בדוגמה נוספת.
בשיעור שעבר דיברנו על שטח של עיגול
עיגול זו צורה שהשפה שלה היא מעגל אנחנו כבר
יודעים שמעגל הוא לא פונקציה אז בואו נתבונן בחצי מעגל.
בואו נשאל עכשיו שאלה שהיא בהתחלה גאומטרית
טהורה מהו שטחו של חצי עיגול שרדיוסו יחידת אורך 1
חצי עיגול
שרדיסו 1 יחידות אורך
הגישה האנליטית
או הניסוח האנליטי של אותה השאלה יהיה שוב אנחנו לוקחים
את מערכת הצירים הקרטזית נבנה עליה,
אנחנו את מרכז העיגול באופן טבעי נבחר להיות ראשית הצירים ועכשיו אנחנו
מדברים על עיגול שרדיוסו יחידה 1 אז
הנה חצי עיגול ופה גם
1 אז הינה חצי מעגל.
שתוחם חצי עיגול.
אנחנו יודעים שאפשר להציג את חצי המעגל
הזה כגרף של פונקציה זה הגרף של הפונקציה
Y שווה לשורש הריבועי של 1 פחות X בריבוע.
אז גם כאן נוכל לשאול במקום
השאלה הגאומטרית הזאת שאלה יותר אנליטית מהו שטחו
של התחום התחום על ידי הפונקציה Y שווה לשורש
הריבועי של 1 פחות X בריבוע וציר ה-X בין
ערכים של X מינוס 1 ו-1.
את הרעיון הזה עכשיו נוכל להכליל
נתבונן בפונקציה כללית כלשהי
F של X אם כי
אני אומר כרגע שאותה F של X שאני רוצה להסתכל עליה צריכה להיות מספיק יפה.
מזה פונקציה יפה?
אתם תלמדו על זה בהרחבה באוניברסיטה.
אבל לצורך העניין פונקציה שאני יכול למשוך,
לצייר את הגרף שלה באופן
חלק בלי להרים את היד מהלוח אני אשרטט אקום,
היא תהיה מספיק יפה עבורנו.
ובשלב זה מסיבות טכניות לגמרי אני אניח שהערכים
שהפונקציה מקבלת הם חיוביים אחר כך נראה מה עושים כשהערכים אינם בהכרח חיוביים.
אז יש לנו פה גרף של פונקציה כלשהי F = X של X
נוכל באופן כללי לשאול מהו השטח שתחום
בין הגרף של אותה פונקציה ובין ציר
ה-X בין שני ערכים נתונים של
X שנסמן פה ב-A ו-B נעלה מכאן
קווים אנכיים תחמנו חלק מהמישור,
הנה הוא פה לחלק הזה נקרא
התחום במישור בין
גרף הפונקציה F של
X לבין
ציר ה-X בין
X=A ל-X=D אוקי,
זה המלל שמבטא את מה שאתם רואים כאן בצורה חזותית כשטח הזה.
לשטח של התחום הזה קוראים
האינטגרל של הפונקציה F בין הנקודות A ו-B.
זו פשוט הגדרה.
האינטגרל של
F בין A ל-B
הוא שיטחו של התחום הזה.
הוא שיטחו של תחום זה.
אוקי מעכשיו כשאנחנו מדברים על אינטגרל של
פונקציה בין שתי נקודות צריכים להבין שמדובר בגודולו,
זה שטח אוקי שטח של צורה גאומטרית.
והצורה הגאומטרית מוגדרת כאן כפי שהגדרנו אותה.
כמובן שכמו כל דבר אחר במתמטיקה
אנחנו לא משארים דברים כמלל אלא נותנים לדברים סימון.
הסימון הזה צריך
לבטא את העבודה שמדובר באינטגרל של פונקציה מסוימת F ושהאינטגרל הזה,
השטח הזה הוא שטח שכלוא בין הישרים האנכיים
X=A ו-X=B כל זה חייב לבוא לידי ביטוי בסימון.
אז אותו אינטגרל האינטגרל
של F בין A לבין
B מסומן סימון,
הסימון הוא סימון שמוכר לכם
מבית ספר זהו סימן האינטגרל
של F בין A ל-B האמת שאפשר לסמן זאת כך,
הסימון המקובל יותר הוא לכתוב F של X ולצידו
DX אני לא אסביר עכשיו מהו פשר הסימון הזה אלא מה פתאום,
כלומר מה תפקיד של ה-DX כאן וכו׳ אני אחזור לזה
מאוחר יותר אחרי שנבין קצת יותר טוב איך מחשבים
את האינטגרל של בינתיים אני תארתי באופן מילולי.
אם נחזור לדוגמה שראינו קודם
שטח של חצי עיגול, מכיוון שבמקרה זה כן,
חצי מעגל ה-F היתה שווה
לשורש הריבועי של 1
פחות X בריבוע הרי הביטוי
של שטח של חצי עיגול באמצעות אינטגרל שטח
של חצי עיגול יסומן
כאינטגרל של הפונקציה F של X,
במקרה זה היא 1 פחות X בריבוע עם אותו DX שאנחנו שמים כאן לצידה
בין הערכים X שווה למינוס 1 לבין X שווה 1.
כשאני כותב את זה, אני כמובן לא...
אתם לא יכולים לראות מתוך מה שכתבתי מהו ערכו של השטח הזה,
אוקי זה רק דרך מתמטית לבטא את זה שאני מתוך מה שכתבתי מהו ערכו של השטח
מדבר על שטח שכלוא בין ציר ה-X ובין
חצי מעגל שהנה נוסחתו, בין שתי הנקודות האלה.
ברגע שיש לנו את המושג הזה של אינטגרל
אנחנו יכולים לבטא באמצעותו שטח של הרבה מאוד צורות מישוריות אחרות.
למשל דמיינו
שיש לי צורה כלשהי כזאת.
השפה שלה אינה פונקציה כי לא אותו
ערך של X מתאימים שני ערכים של Y במקרה זה.
אבל אם נקח פה משיק אנכי
ומשיק אחר.
אוקי, אז הצורה כולה תחומה בין
הישרים X=A ו-X=B הרי שנוכל
עכשיו להסתכל על השפה הזאת ולהפריד אותה לשני חלקים.
לענף העליון והענף התחתון.
עכשיו הענף העליון הזה הוא כן גרף של פונקציה,
אני לא יודע, אין לי ביטוי אנליטי לאותה לפונקציה, אבל הוא בהחלט עונה על כל
הדרישות של גרף של פונקציה, נסמן אותו את הפונקציה,
ב-F וגם הענף התחתון הוא גרך של פונקציה אחרת נסמן אותה ב-G.
אני עכשיו באמצעות מושג האינטגרל יכול לבטא
את השטח של אותה צורה מישורית
האינטגרל של F בין A ל-B מבטא
את השטח שכלוא מתחת לגרף של F עד ציר ה-X.
אם אני אחסר מהאינטגרל הזה, מהשטח הזה,
את השטח שכלוא מתחת לגרף G של X הפונקציה G כן,
וציר ה-X כן אז נחשב את השטח הזה או נבטא את
השטח הזה ואז נחסר את השטח שבין הגרף של G וציר ה-X
נקבל בדיוק את אותו שטח של הצורה ששירטטתי כאן,
ולכן נוכל באמצעות האינטגרל לומר שהשטח במקרה זה שווה לאינטגרל
של F בין A ל-B שוב לפי הסימון שהגדרנ.
ומזה נחסר את האינטגרל של G של X.
בואו נתבונן
בדוגמה מסוימת שבה נוכל גם לחשב בצורה
מופרשת אינטגרל
למעשה זאת לא דוגמה אחת, זו תהיה משפחה שלמה של דוגמאות.
יש משפחה של פונקציות שהן באיזשהו מובן פשוטות במיוחד,
אנחנו מכירים אותן מתחילת העיסוק שלנו בבית ספר במושג הפונקציה אלה הפונקציות הקוויות,
הפונקציות הליניאריות שהייצוג האלגברי שלהן זה F של X שווה לקבוע
כפול X ועוד קבוע או באופן כללי
כן נכתוב F של X שווה ל-M,
M הוא איזשהו פרמטר, X ועוד N, N הוא גם כן פרמטר.
עסקתם רבות בפונקציות מהמשפחה הזאת,
נבחר נקודה A ונקודה B באופן
שרירותי ובזאת אנחנו מגדירים
צורה מישורית שתחומה מלמעלה על ידי גרף
הפונקציה F מלמטה על ידי ציר ה-X ומהצדדים על ידי
האנכים X שווה A ו-X שווה B השטח של הצורה הזאת
הוא מה שסימנו כאינטגרל בין A ל-B של
הפונקציה F MX + N DX
ואנחנו שואלים למה שווה השטח הזה?
אז במקרה זה, אנחנו מכירים היטב את הצורה שיצרנו,
מדובר בטרפז שאלה הצלעות המקבילות שלו.
האם אנחנו יודעים את המימדים של הטרפז?
שאלה הצלעות המקבילות שלו כן, אם אנחנו מכירים את הפוקנציה,
אנחנו יודעים מהי נקודת החיתוך כאן זו הנקודה A, אז הנקודה הזאת,
שיעור ה-Y שלה יהיה MA
ועוד N הנקודה הזאת
שיעור ה-Y שלה X=B,
Y=MB+N מכאן שאנחנו יודעים, אם אלו בסיסי הטרפז,
אנחנו יודעים את אורכי הבסיסים נזכיר שטח של טרפז הוא סכום אורכי
הבסיסים כפול אורכו של הגובה ו-B פחות A חלקי 2.
אז הדבר הזה צריך להיות שווה חצי של
הגבוה: B פחות A כפול
סכום אורכי הבסיסים
שזה MA+N+MB+N כן,
קיבלנו פה ביטוי מפורש יש בו פרמטרים,
אבל אם הפרמטרים האלה היו מספרים, כן אם למשל הפונקציה שלי היתה 5X+9
ו-A=5X+9 ו-A היה שווה ל-3,
ו-B היה שווה ל-5 היינו
קובעים במקרה זה
שהשטח או
האינטגרל של הפונקציה
5X+9DX בין X שווה 3,
ל-X=5 הוא הביטוי שכתוב כאן, חצי,
5 פחות 3 ואז M הוא 5 ואז A הוא 3,
ועוד N ששווה ל-9 ועוד M שהוא 5
ו-B שהוא 5 ועוד N שהוא 9 לא חשוב מה ערכו, קיבלנו ביטוי מפורש.
אני רק אעיר כהכנה למה שיבוא במהמשך שאפשר
לכתוב מחדש את מה שכתוב כאן על ידי אלגברה
פשוטה ואני מציע שתבדקו זאת באופן עצמאי
שאת הביטוי הזה אפשר לכתוב מחדש
באופן הבא: חצי MB בריבוע
ועוד NB סליחה,
שווה.
פחות חצי MA בריבוע ועוד NA אוקי,
למי שעסק בתיכון בחשבון דיפרנציאלי
ואינטגרלי יראה שבאמת, אם הייתם מתבקשים לחשב את
הביטוי הזה זה בדיוק מה שהייתם מקבלים בדרכים שלמדתם בבית ספר.
אם נחזור למקרה הכללי, כן יש מקרה פרטי שמתקבל
כש-M שווה לאפס במקרה כזה הפונקציה היא פונקציה,
הפונקציה היא: F של X שווה ל-N,
אולי נכתוב זאת מקרה פרטי
כש-M שווה אפס במקרה זה F של X הוא פונקציה
קבועה הפרמטר N ואז מה שמקבלים זה שבמקרה
זה האינטגרל של F של X DX בין
A ל-B שווה לחצי B פחות A.
זה אפס וזה אפס אז יש לנו N ועוד N פעמיים N זה פשוט שווה ל-N
פעמים B פחות A אין פה הרבה הפתעה כמובן מפני שגרף
הפונקציה הוא פשוט הישר האופקי
Y=N והשטח
שתחום בינו לבין ציר ה-X בין X=A ו-X=B הוא
פשוט מלבן ששטחו הוא N פעמים כן,
N זה האורך הצלע הזאת כפול B פחות A, פשוט מכפלת הצלעות
כדוגמה אחרונה לשיעור זה על פונקציה או משפחה
של פונקציות שאנחנו יודעים בדיוק כיצד לחשב את האינטגרלים
שלהן אני רוצה להציג פונקציות שנכנה פונקציות מדרגה.
אני אצייר אחת כזאת קודם ואז אני אסביר
בדיוק כיצד מגדירים את הפונקציות האלה.
כשאני אומר אני אצייר את הפונקציה אני כמובן מתכוון לומר שאני אצייר את הגרף שלה כזכור
גרף של פונקציה ופונקציה הם אותו דבר הפונקציה מוגדרת באמצעות הגרף שלה.
אז הנה פונקציה שזה יהיה תחום ההגדרה שלה בואו נכנה את הקטע
שבו היא מוגדרת הקטע AB ועכשיו אני אצייר את הגרף שלה
אז קבעתי אוסף של נקודות עוד אחת נכנה אותן,
את A אני גם אכנה X0 את הנקודה הזו אני אכנה X1,
X2, X3 X4 ו-X5 ו-B היא גם X6 מיד תראו.
והנה הגרף של הפונקציה.
אוקי אז מהי אותה פונקציה?
אנחנו יודעים כיצד לקרוא גרף של פונקציה לכל X אני
עולה אנכית ניפגש עם הגרף
ובודק מהו ארכו של Y באותה נקודה על הגרף.
הגרף הזה, עכשיו אני רק אומר שהעובדה
שאני הדגשתי את הנקודות האלה אומרות שבנקודה X1 כן,
לכאורה לא ברור אם אני פוגש את הגרף כאן או כאן אז ציינתי שזו נקודת המפגש הגרף
צריך להית מוגדר בכל נקודה ובאופן חד ערכי אז אני גם צריך להבטיח שיהיה ברור מה ערך
הפונקציה ב-X1 כלומר שיהיה ערך כזה ושהוא אחיד, אני לא יכול שהוא יהיה גם זה וגם זה.
אז ציינתי את זה באיור.
הגרף הזה מתאר פונקציה שהיא מה שאנחנו קוראים לו
קבועה למקוטעים היא בין הערכים X0 ו-X1
כולל שני הקצוות היא מקבלת את אותו ערך,
בו נכנה את הערך הזה A1 בין X1 ו-X2 היא
מקבלת את הערך ערך שנכנה A2,
שימו לב שזה בין X1 לא כולל X1 לבין X2 כולל X2,
לאחר מכן בין X2 ל-X3 היא מקבלת ערך שנכנה אותו A3 לאחר מכן,
פה היא מקבלת ערך A4 ולבסוף בין עדין לא לבסוף אני דילגתי פה,
זה A4 פה A5 ובקטע האחרון בין X5 לבין B
שגם כיניתי אותו לצורך העניין X6 היא מקבלת
ערך שנסמן ב-A6 אז זו הפונקציה אפשר
גם לכתוב לה נוסחה שתאמר, טוב אם X נמצא בין פה לפה היא מקבלת את הערך הזה והזה,
אבל מספיק לראות את הגרף כדי להבין מה הפונקציה ועכשיו אני שואל,
אז זה גרף של פונקציה נסמן אותה ב-F מהו האינטגרל
של F בין A ובין
B אז השטח שתחום בין הגרף של F לבין ציר
ה-X בין A ו-B הוא השטח הבא.
כן השטח הזה: מה גודלו?
אז מספיק שנבחין שאני יכול לפרק אותו לאוסף של מלבנים.
כמובן שטח של מלבן אני יודע לבטא בדיוק.
המלבן הזה, הראשון, שטחו הוא אורך הקטע הזה, שזה X1 פחות
X0 כפול גובהו שהוא A1,
המלבן השני המלבן הזה, אורך הצלע הזאת
זה ההפרש בין X2 ל-X1 וגובהו הוא
הקבוע שכיניתי A2 וכן הלאה...
כן, השטח הזה הוא בסופו של דבר סכום של שטחים של
6 מלבנים המלבן הבא אתם יכולים לראות כבר מכאן את החוקיות,
שטחו יהיה X3 פחות X2 כפול A3 וכך נמשיך
עד לשטחו של המלבן השישי והאחרון ששטחו
יהיה X6-X5 כפול A6 ראינו אם כך,
משפחות בשלב זה מאוד מצומצמות של פונקציות פונקציות
לינאריות ופונקציות שהן קבועות למקוטעים שבמקרה של
הפונקציות המיוחדות האלה והן לא סתם נבחרו, כן,
הם נבחרו כי ידעתי מה לעשות במקרה זה אנחנו מסוגלים לבטא בדיוק את שטחן.
לחשב את שטחן מתוך הנתונים.
מתוך הפרמטרים של הפונקציה.
מה שנראה בשיעורים הבאים זה איך אפשר לחשב
שטחים של פונקציות הרבה יותר מסובכות כלומר לחשב,
סליחה, לחשב אינטגרלים של פונקציות יותר מסובכות, כלומר את השטחים שתחומים בין
הגרפים שלהם לבין ציר ה-X כשהכלים לך הם כלים שהומצאו במהלך
המאה-17 והיוו הפתעה גדולה ובעצם פריצת דרך מאוד גדולה בעולם המתמטי,
החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
