אז מה זה יהיה 4
בחזקת 3 כמובן אנחנו יכולים לפרש את ה-4
כנתון על ידי 2 בחזקת 2 2
מצביע כאן על המיקום בסדרה
כל זה בחזקת 3
לפי הכלל שכרגע הזכרנו זה צריך
להיות 2 בחזקת 2 כפול 3.
בעית החזקה הופכת להיות בעיית המכפלה.
2 בחזקת 3 זה 2 בחזקת 6.
ו-2 בחזקת 6 זה המספר שיושב במקום
השישי הרי יהיה 64.
שוב במקרה הזה אנחנו לא זקוקים להתבוננות כזו
כדי לבצע את החישוב אבל הדוגמה הזו ממחישה איך
אפשר לתרגם בעיה של חזקה לבעיה של מכפלה.
במילים אחרות אילו היינו עוסקים רק במספרים ששייכים
לסדרה החשבונית הזו בעיית המכפלה הופכת להיות בעיה
של סכום ובעיית החזקה הופכת להיות בעיה של מכפלה.
מה יותר טבעי מאשר לחשוב נניח שהיינו יכולים להציג לא רק את המספרים האלה,
אלא את כל המספרים שמעניינים אותנו בצורה של 2 בחזקת משהו.
אם כך מה שנרצה
לעשות זה להציג את הבעיה הבאה.
אם נמשיך ופרוס את הסדרה הזו נקבל פונקציה
שלכל מספר טבעי אנחנו מקצים מספר ממשי
ל-N אנחנו מקצים את המספר 2 בחזקת N.
ניתן לפונקציה הזו שם.
נקרא לה פונקציה Exp על שם של
אקספוננצילית בבסיס 2 ומיד
ניתן את הדעת על כך שאפילו אם ניתן ל-N
לרוץ על כל הבחירות האפשריות של המספרים הטבעיים בוודאי
שבצורה כזו לא נעבור על כל המספרים שמעניינים אותנו.
תמיד נקבל מספרים חיוביים אבל לא רק זה.
בוודאי שיש מספרים בין אלה שהצגנו כאן שהיינו רוצים לממש,
להציג אותם בצורה כזו ואז נראה אולי טבעי
לחשוב על האם אפשר להרחיב את תחום ההגדרה
של הפונקציה על מנת שבעזרת הרחבה זו
נוכל למצות לתפוס, להציג מספרים נוספים.
אז השלב הראשון הטבעי הוא לעבור מהפונקציה שהיא
מוגדרת רק על המספרים הטבעיים להרחיב אותה לעולם של, למשל המספרים השלמים.
אז נציג לפנינו את האתגר הבא: נשתדל
לבנות פונקציה עם תחום יותר גדול אבל אשר שומרת על שתי התכונות העיקריות האלה.
למשל איך היינו יכולים להגדיר מזה 2 בחזרת אפס.
אם אנחנו רוצים לשמור על התכונה הראשונה
הרי אם נכפיל את 2 בחזרת אפס ב-2
בחזקת N כלשהו לפי הכלל
הראשון 2 בחזקת N כפול 2 בחזקת אפס
צריך להיות 2 בחזקת N ועוד אפס במילים אחרות 2 בחזקת N.
אז אם נתבונן על המשוואה הזו אין מנוס,
אלא להטיל על 2 בחזקת אפס להיות המספר ה-1 והיחיד
שכשהוא מכפיל את 2 בחזקת N שומר עליו
במילים אחרות, 2 בחזקת אפס חייב להיות שווה ל-1.
בצורה אנלוגית מה
היה קורה אם היינו שואלים את עצמנו מה צריך להיות הערך של 2 בחזקת מינוס 5.
אם אנחנו לוקחים 2 בחזקת מינוס N
כאשר N הוא מספר טבעי כלשהו לכן בצורה כזו
נוכל לדון על מזה 2 בחזקת שלם שלילי.
שוב לפי אותו רעיון, אם נכפיל אותו ב-2 בחזקת
N אם נשמור על התוכנה הראשונה זה צריך להיות 2 בחזקת N ועוד הנגדי של N.
במילים של אחרות 2 בחזקת אפס.
אבל כרגע השתכנענו וכך עשינו ש-2 בחזקת אפס חייב להיות שווה ל-1.
לכן, נקבל ש-2 בחזקת מינוס N הוא המספר
האחד והיחיד שכאשר אנחנו מכפילים 2 בחזקת N אנחנו מקבלים 1.
במילים אחרות, 2 בחזקת מינוס N הינו
ההופכי הכיפלי של 2 בחזקת N.
בצורה זו נוכל להרחיב את הפונקציה
או ליתר דיוק את תחום ההגדרה של הפונקציה,
כך שלכל מספר שלם נקצה את
המספר 2 בחזקת Z הפעם Z הוא מספר שלם כלשהו.
כמובן שמה שעשינו
הגדרנו את ההרחבה בצורה כזו ששמרנו על
התכונה הראשונה חלה עלינו חובה להראות שאכן זה כך,
ולא רק זה שההגדרה הזו גם כן שומרת על התכונה השניה.
זה נעשה את זה במסגרת התרגיל.
שימו לב, כדי להמחיש בצורה כזו אז
הוספנו לרשימה הזו מזה 2 בחזקת אפס, זה 1.
מזה 2 בחזקת מינוס 1, זה חצי.
2 בחזקת מינוס 2, זה רבע.
2 בחזקת מינוס 3 זה שמינית וכו׳.
אבל ברור שבצורה כזו על אף העובדה שבעקרון הרחבנו את
תחום ההגדרה של הפונקציה אקספונצילית בבסיס 2,
עדין אנחנו רחוקים מלמצות את כל המספרים שאנחנו מעוניינים לעסוק.
אז עולה הרעיון אולי שנרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה קצת יותר.
אולי נוכל להציג, או להרחיב לעולם
המספרים הרציונלים.
מה הם המספרים הרציונלים?
מספר רציונלי הוא מספר שניתן להציג
אותו כמנה של שני מספרים שלמים.
אז למשל בפרט נניח שהיינו
רוצים להגדיר מזה 2 בחזקת 1 חלקי N.
אם הפעם נתבונן על התכונה השניה,
הרי אם את המספר הזה נעלה בחזקת
N בהתאם לתכונה השניה שאנחנו רוצים לשמר אותה
בהגדרה הרי נצטרך לקבל 2 בחזקת 1 חלקי N כפול
N במילים אחרות 2 בחזקת 1 והרי זה 2.
אז שימו לב, המספר שבתוך הסוגריים
חייב להיות כזה שהחזקה ה-N שלו זה בדיוק 2.
אבל זה בדוק מה שאנחנו מכנים השורש ה-N של 2.
על כן, כדי לנו, רצוי או אם נרצה לנסח
את זה כך התנאי הזה כופה עלינו להגדיר מזה
2 בחזקת 1 חלקי N באמצעות השורש ה-N של 2.
בצורה דומה מה צריכה
להיות ההגדרה של 2 בחזקת M חלקי N.
2 בחזקת M חלקי N אילו,
היינו רוצים לשמר את הכולה השניה,
בבואנו לקחת את החזקה ה-N של הביטוי מה
שאנחנו נקבל זה שהתוצאה תהיה 2 בחזקת M חלקי N כפול N.
כמובן זה 2 בחזקת M.
אז שוב אנחנו במצב אנלוגי.
המספר שבתוך הסוגריים, החזקה ה-N שלו זה 2 בחזקת
N אז זה בדיוק המספר שאנחנו מכנים השורש ה-N של 2 בחזקת M.
בצורה כזו עלינו להגדיר וכך נעשה.
2 בחזקת M חלקי N באמצעות הביטוי השורש ה-N של 2 בחזקת M.
בצורה זו לכל מנה
מספרים שלמים
הגדרנו מזה 2 בחזקת אותו מספר.
עכשיו בואו נשים לב, אני לא כתבתי כאן M חלקי
N השתמשתי ב-Q ככינוי למספר רציונלי כלשהו.
עכשיו אנחנו בפני מצב חדש שאולי לא פגשנו עד עכשיו.
מספרים רציונלים ניתנים להצגות שונות.
כמנה של שני מספרים שלמים חצי,
שני רבעים או שני שליש, ארבע שישיות הן
הצגות שונות של אותו מספר רציונלי.
אז מתבקשת השאלה הבאה