Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Resolución de triángulos cualesquiera (parte II)
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來自 Universitat Autònoma de Barcelona 的課程
初级微积分
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Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas, identidades fundamentales, representaciones gráficas, resolución de triángulos rectángulos, resolución de ecuaciones trigonométricas, resolución de triángulos cualesquiera.
與講師見面
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Finalmente veremos un último caso donde no
conocemos ninguno de los ángulos del triángulo.
Pero, sabemos el valor de todos los lados del triángulo.
O sea, queremos calcular los ángulos A, B y C.
Y conocemos los lados a, b y c.
En este caso utilizaremos la ley del
coseno para obtener cada uno de los ángulos
del triángulo. Empezaremos calculando por ejemplo el
ángulo A. Por lo tanto, utilizaremos la igualdad a
al cuadrado es igual a b al cuadrado más c al cuadrado menos dos b por
c por el coseno de A. you que queremos calcular el ángulo A
y conocemos el resto de variables. Despejamos el coseno de A y obtenemos
que este es igual a sesenta y cuatro menos cuarenta y nueve
menos ochenta y uno dividido por menos dos por siete por nueve.
O sea, menos sesenta y seis dividido por menos ciento veinte seis.
Que es aproximadamente cero coma cinco, dos, tres, ocho.
Así el ángulo A es el arco coseno
de este valor. O sea, aproximadamente
cincuenta y ocho coma cuatro grados. De la misma forma
podemos calcular el ángulo B utilizando la igualdad b al
cuadrado es igual a: a al cuadrado, más c al cuadrado,
menos dos a por c, por el coseno de B. Despejamos coseno
de B y obtenemos que este es igual a cuarenta y nueve menos sesenta y cuatro,
menos ochenta y uno, dividido por menos dos por ocho por nueve.
O sea, menos noventa y seis dividido por menos ciento cuarenta y cuatro.
Que es aproximadamente cero coma seis, seis, seis, seis.
O sea,
el ángulo B es el arco coseno de este
valor. Que es de aproximadamente cuarenta y
ocho coma dos grados. Y finalmente para calcular
el último ángulo, el ángulo C, podemos utilizar de
nuevo la ley del coseno, o bien, simplemente la igualdad
A más B más C igual a ciento ochenta grados.
Sabemos el valor de A, sabemos el valor de B y podemos obtener el valor
de C que es de aproximadamente ciento ochenta grados menos cincuenta y
ocho coma cuatro, menos cuarenta y ocho coma dos.
O sea, aproximadamente setenta y tres coma cuatro grados.
Así hemos obtenido los tres ángulos del triángulo del enunciado.
En los siguientes dos ejercicios veremos
dos aplicaciones de resolución de triángulo.
En este primero, se trata de calcular la
distancia entre las dos orillas paralelas de un río.
Sabiendo que desde dos puntos de una misma orilla
distantes veinte y cuatro metros, se observa un mismo punto
en la orilla opuesta.
Más las visuales forman con la dirección de la orilla
donde se observa treinta y cuatro y cincuenta y ocho grados.
A partir de esta información, queremos
calcular la distancia entre las dos orillas.
O sea, la anchura del río.
O sea, queremos obtener esta distancia que la denotaremos por h.
Además denotaremos
este ángulo como el ángulo A, este como el ángulo B y este como el ángulo C.
Por lo tanto esa distancia de veinte y cuatro metros será el lado c.
A partir de estos datos, como conocemos dos de los ángulos del triángulo, podemos
obtener fácilmente el tercer ángulo utilizando esta igualdad de aquí.
O sea, C es igual a ciento
ochenta grados menos el ángulo A y el ángulo B.
O sea, menos cincuenta y ocho grados menos treinta y cuatro grados.
Así obtenemos que el ángulo C es de ochenta y ocho grados.
A partir de este ángulo calcularemos el lado b de este
triángulo utilizando la ley del seno. Concretamente utilizaremos la igualdad
seno de C dividido por c es igual a seno de B dividido por b.
De esta igualdad conocemos todos los valores excepto el valor b.
B es igual a seno de treinta y cuatro grados multiplicado por veinte y cuatro
que es el valor de c y dividido por el seno de C que es de ochenta y ocho grados.
Esto es de aproximadamente trece coma cuatro, dos, ocho, ocho,uno.
O sea, podemos decir que b
es aproximadamente trece coma cuarenta y tres.
A partir de este valor consideremos el siguiente triángulo rectángulo.
Donde este es el lado h que queremos calcular, este es
el lado b y conocemos el ángulo A que es de cincuenta
y ocho grados.
Este será un ángulo recto de noventa grados.
Así sabemos que el seno de cincuenta y ocho grados es igual al cateto opuesto.
O sea, h dividido por la hipotenusa, en este caso es el
valor b que conocemos que es trece coma cuarenta y tres aproximadamente.
Por lo tanto h es aproximadamente
de trece coma cuarenta y tres por el seno de cincuenta y ocho grados.
O sea, aproximadamente es de once coma treinta y nueve.
Así hemos obtenido que la anchura del río
es de aproximadamente once coma treinta y nueve.
En este segundo y último ejercicio veremos otra aplicación de
la resolución de triángulos, donde se trata de calcular la distancia
entre dos puntos dados.
En este caso la distancia entre los puntos P y O.
Suponiendo que conocemos la información dada por este dibujo.
Para calcular la distancia del punto P al punto O, que denotaremos
por c, necesitaremos calcular la distancia de P a M
que denotaremos por a. Y la distancia
de M a O que denotaremos por b. Para calcular la distancia
a, consideraremos el siguiente triangulo que pintaremos de color azul.
De este triángulo, de color azul,
observamos que conocemos dos de los ángulos.
Uno es de cuarenta grados y el otro es de cincuenta más treinta grados.
Por lo tanto podemos calcular fácilmente el tercer ángulo.
Simplemente considerando la siguiente ecuación.
Ciento ochenta menos cuarenta grados menos la suma de cincuenta más treinta.
O sea, menos ochenta.
Así obtenemos que el ángulo es de sesenta grados.
A partir de este ángulo podemos calcular el lado a utilizando la ley del seno.
Concretamente la igualdad seno de cuarenta
dividido por a es igual al seno de sesenta
dividido por ciento veinte. Despejamos a, y obtenemos que es igual a
ciento veinte por el seno de cuarenta dividido por
el seno de sesenta. Utilizamos la calculadora y vemos que
a es de aproximadamente ochenta y nueve coma cero, seis, siete,
dos, seis, cuatro. Para calcular el valor de b
consideraremos el siguiente triángulo que pintaremos de color verde.
De nuevo, observamos que en este
triángulo conocemos dos de los ángulos. Uno es este
y el otro es este, el de cincuenta grados. Por lo tanto, de nuevo, podemos calcular
fácilmente este otro ángulo, el tercer ángulo del triángulo de color verde.
Simplemente considerando de nuevo ciento ochenta menos
cincuenta menos la suma de cuarenta y treinta.
O sea, setenta. Así obtenemos que este ángulo también es
de sesenta grados.
A partir de este ángulo podemos calcular el
lado b utilizando de nuevo la ley del seno.
Concretamente utilizamos que seno de setenta grados dividido por
b es igual al seno de sesenta dividido por ciento veinte.
Despejamos b y obtenemos que es igual a ciento veinte por
el seno de setenta dividido por el seno de sesenta grados.
Esto es aproximadamente de ciento treinta coma veinte, siete, seis, dos, nueve.
Finalmente calcularemos you el lado c considerando el siguiente triángulo
que dibujamos de color rojo. Vemos que en este triángulo conocemos
un ángulo y dos de los lados, pero, no conocemos el
lado opuesto al ángulo dado. Por lo tanto, utilizaremos la ley del
coseno. En este caso c al cuadrado es igual a b al
cuadrado más a al cuadrado menos dos a por b por el coseno de C.
Sustituimos los valores que you conocemos, conocemos el valor de a, el valor
de b y el valor de el coseno de C.
C en este caso es el ángulo de treinta grados de este ángulo de aquí.
Por lo tanto si sustituimos obtenemos que c al cuadrado es igual aproximadamente
a cuatro mil ochocientos coma cero, cero. Por lo tanto c será
la raíz cuadrada positiva de este valor,
que es aproximadamente de sesenta y nueve coma veinte y ocho.
Así hemos obtenido la distancia del punto P al punto O.
Muchas gracias y nos vemos en otro vídeo.
