En esta última semana nos centraremos en
los números complejos y como operar con ellos.
Veremos como surge la necesidad de introducir
estos nuevos números y su relación con
los conjuntos de números que you hemos visto y utilizado a lo largo del curso.
O sea los números naturales, enteros, racionales y reales.
En la primera semana del curso hemos visto
que los números se utilizan normalmente
para contar, medir, expresar relaciones, etcétera.
Así tenemos que los números naturales, por ejemplo,
surgen de la necesidad de contar elementos, cantidades, objetos.
Los números enteros surgen por ejemplo de la
necesidad de mostrar temperaturas, pisos de un edificio, etcétera.
Por ejemplo,si planteamos el siguiente problema.
La temperatura ha subido
quince grados durante el día, hasta alcanzar una temperatura de diez grados.
¿Cuál era la temperatura inicial?
La solución vendría dada por la solución de
la ecuación x más quince igual a diez, que
es menos cinco, o sea podemos decir que
la temperatura inicial era de cinco grados bajo cero.
Los números racionales surgen de
la necesidad de calcular relaciones, proporciones,
etcétera.
Por ejemplo, si repartimos un pastel entre siete amigos, y
queremos calcular que parte del pastel le tocaría a cada
uno, la solución vendría dada por la solución de la
ecuación siete x igual a uno, que claramente es un séptimo.
Por lo tanto diríamos que a cada amigo le tocaría una séptima parte del pastel.
Finalmente también habíamos visto que los números reales
surgen de la necesidad de medir, por ejemplo, el área de una circunferencia o
la diagonal de un cuadrado Por ejemplo, si queremos saber cuanto mide la diagonal de
un cuadrado de lado uno, que denotamos
por x, podríamos plantear la siguiente ecuación, x
al cuadrado igual a dos, que podemos
obtener fácilmente a través del teorema de Pitágoras.
La solución de esta ecuación x al cuadrado
igual a dos es raíz cuadrada de dos, que sabemos que
no es un número racional y sí es un número real.
La relación entre estos conjuntos es que los
números naturales están contenidos dentro de los números enteros.
Y estos dentro de los números racionales, que a su
vez están contenidos dentro del conjunto de los números reales.
A continuación
veremos un nuevo conjunto de números
que contendrá a todos estos conjuntos anteriores.
Sabemos que muchos problemas se pueden plantear
como la solución de una cierta ecuación.
Las soluciones de estas ecuaciones pueden
ser números naturales, enteros, racionales o reales.
Así por ejemplo, la solución de la ecuación x más
tres igual a cero es menos tres, que es un número entero que no
es natural. La solución de la ecuación dos x más tres
igual a cero es menos tres medios, que es un número racional no entero.
Las soluciones de la ecuación x cuadrado menos
dos igual a cero son raíz cuadrada de dos y menos raíz cuadrada
de dos, que son dos números reales no racionales.
Pero vemos que si por ejemplo intentamos resolver la ecuación
x al cuadrado más dos x más dos igual a cero, la solución sería
menos dos más menos raíz cuadrada de menos cuatro dividido por
dos, utilizando la fórmula que you sabemos para cualquier ecuación de segundo grado.
Como en este caso la raíz cuadrada de menos cuatro no existe en el conjunto de
los números reales, you que no existe ningún
número tal que elevado al cuadrado sea menos cuatro.
Claramente podemos decir que esta ecuación no tiene
solución en el conjunto de los números reales.
En este punto es cuando aparece la necesidad
de ampliar el conjunto de los números reales.
A partir del siglo XVI, las soluciones no reales de ecuaciones como la
que acabamos de ver, fueron llamadas imaginarias por algunos matemáticos,
y dieron lugar a los ahora llamados números complejos, que no fueron aceptados
plenamente por toda la comunidad matemática hasta finales del siglo XVII.
Para simplificar la escritura, se utilizó el símbolo i para designar el valor
imaginario, cuyo cuadrado fuese menos uno, o sea i al cuadrado es igual a menos uno.
Equivalentemente i es la raíz cuadrada de menos uno.
Así por ejemplo, las soluciones de la ecuación que hemos visto antes
x al cuadrado más dos x más dos igual
a cero, se pueden expresar de la siguiente forma.
Primero, utilizando la fórmula que you sabemos
para cualquier ecuación de segundo grado, tenemos que
las soluciones son menos dos más menos
raíz cuadrada de menos cuatro dividido por dos.
Raíz cuadrada de menos cuatro se puede escribir como
raíz cuadrada de cuatro por raíz cuadrada de menos uno.
La raíz cuadrada de cuatro, sabemos que es dos y la raíz cuadrada
de menos uno, acabamos de definirla como el número imaginario
i. Sustituyendo estos valores, dos i,
obtenemos, esta expresión y dividiendo
por dos, tenemos que las soluciones son menos uno más
i y menos uno menos i. En general
llamamos número complejo a toda
expresión de la forma a más b i, donde a y b son números
reales y se cumple la condición que i al cuadrado es igual a menos
uno. Además se dice que a es la parte real
y b es la parte imaginaria del número complejo a más b i.
Veamos un par de ejemplos más de ecuaciones que no tienen solución en el
conjunto de los números reales, pero si
podemos expresar las soluciones como números complejos.
Por ejemplo, las soluciones de la ecuación x al cuadrado
más seis x más diez igual a cero serían las siguientes,
x es igual a menos b, menos seis más menos
la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro por
a por c, o sea treinta y seis menos cuarenta
dividido por dos por a, o sea dividido por dos.
Esto es igual a menos seis más menos raíz cuadrada de menos cuatro dividido por dos.
Sabemos que la raíz cuadrada de menos cuatro se puede expresar como
la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de menos uno.
Y además sabemos que la raíz cuadrada de menos uno es i.
Por lo tanto, podemos escribir la solución como
menos seis más menos dos i dividido por dos.
Por lo tanto, podemos dividir el seis y el dos entre
dos y tenemos que la solución es menos tres más menos i.
O sea las dos soluciones serán menos tres más i, y
menos tres menos i. Y para la ecuación x al cuadrado menos x
más cuatro igual a cero, las soluciones serían las siguientes.
Menos b, o sea uno, más menos raíz cuadrada
de b al cuadrado menos cuatro por a por c,
sería uno menos dieciséis dividido por dos por a.
Y esto es igual a uno más menos raíz cuadrada de menos quince dividido por dos.
De nuevo, raíz cuadrada de menos quince la podemos expresar como la raíz cuadrada
de quince por raíz cuadrada de menos uno. Y la raíz cuadrada
de menos uno expresarla como i. Por lo tanto, sería raíz cuadrada de
quince por i. Así tenemos que las soluciones serían uno
más menos raíz cuadrada de quince por i dividido por dos.
O sea uno dividido por dos, más menos raíz cuadrada
de quince dividido por dos i. Y las dos soluciones
serían un medio más raíz cuadrada de quince dividido por
dos i y un medio menos raíz cuadrada de quince dividido por dos i.
Observad que cualquier ecuación de segundo grado siempre tendrá solución si ampliamos
el conjunto de soluciones considerando no
sólo los números reales sino también incluyendo
los números complejos.
Si tenemos una expresión donde aparecen números reales y el término i,
siempre podemos reescribirla y obtener un número complejo de la forma a más b i.
Por ejemplo, si tenemos la siguiente expresión
esta la podemos simplificar de la siguiente forma.
Podemos realizar el producto tres por cinco quince,
menos tres por dos seis i, menos tres más cuatro i.
Y ahora realizamos estas sumas, como si fuera un polinomio
donde en lugar de una x, ahora aparece una i.
Por lo tanto podemos sumar quince menos tres, que es igual a doce y los
términos menos seis i más cuatro i los podemos unificar,
sería menos dos i. Así you tenemos esta expresión
escrita como un número complejo de la forma a más b i,
donde la parte real es doce y la parte imaginaria es menos dos.
En este otro ejemplo, si queremos expresar dos menos cinco i al
cuadrado, como un número complejo de la forma a más b i,
igual que hemos hecho antes, podemos tratar estas expresiones como
expresiones polinómicas donde en lugar de x, ahora aparece el término i.
Y siempre que tengamos i al cuadrado lo sustituimos por menos uno.
Así esta potencia dos menos cinco i al cuadrado,
o sea dos menos cinco i por dos menos
cinco i, la podemos calcular realizando un producto
de dos polinomios, donde en lugar de x ahora tenemos el término
i. O sea esto sería igual a
cuatro menos diez i menos diez i
más veinticinco por i al cuadrado. Ahora sustituimos i al cuadrado
por menos uno, y obtenemos que es igual a cuatro menos
diez i menos diez i menos veinticinco. Agrupamos los términos que
no tienen i y los términos que tienen i. Por lo tanto,
cuatro menos veinticinco es menos veintiuno, y menos
diez i menos diez i será menos
veinte i.
Y you tenemos el resultado de la forma a más b i, donde
la parte real es menos veintiuno y la parte imaginaria es menos veinte.
En este último ejemplo, veamos como calcular estas potencias de i.
Y en general, cómo calcular cualquier potencia de i, Para
ello, empezaremos calculando las primeras potencias; i elevado a uno es
i, i elevado a dos es menos uno
por definición, i elevado a tres es i al cuadrado por i.
Por lo tanto, menos i; i elevado a cuatro sería i al
cuadrado por i al cuadrado, o sea, menos uno por menos
uno es igual a uno; i elevado a cinco es el anterior que es uno,
multiplicado por i. Por lo tanto, i.
O sea, vemos que obtenemos exactamente, el mismo
valor que habíamos obtenido para i elevado a uno.
i elevado a seis sería el anterior multiplicado por
i, o sea, i al cuadrado que es menos uno.
Y obtenemos exactamente, el mismo valor que para i al cuadrado.
Si continuamos realizando potencias, vamos viendo que se van repitiendo los valores.
Así para calcular, i elevado a cuarenta, haremos lo siguiente.
Vemos que, cuarenta es igual a cuatro por diez.
Así tenemos que, i elevado a cuarenta se puede
expresar como i elevado a cuatro y todo ello elevado
a diez. Sabemos que i elevado a cuatro es uno.
Por lo tanto, esto sería uno elevado a diez que es uno.
Para i elevado a cuarenta y uno, realizaremos exactamente lo mismo.
Vemos que, cuarenta y uno es igual a cuarenta por diez más uno.
Dicho de otra forma, dividimos cuarenta y uno entre cuatro,
diez es el cociente de la división y uno es el resto de la división.
Así podemos expresar cuarenta y uno como, cuatro
por diez más uno. La suma, en el
exponente se puede traducir a dos potencias con la misma base.
O sea, i elevado a cuarenta por diez, multiplicado por i
elevado a uno.
Esto es igual a i elevado a cuatro, elevado a diez por i elevado a uno.
O sea, como i elevado a cuatro es igual a uno,
uno elevado a diez por i y el resultado final es i.
Lo mismo podemos hacer para i elevado a cuarenta y dos.
Dividimos cuarenta y dos entre cuatro
y obtenemos que el cociente es diez y el resto de la división es dos.
Por lo tanto, podemos expresar i elevado a cuarenta y dos como,
i elevado a cuatro, elevado a diez por i al cuadrado.
Realizando el mismo proceso que hemos visto antes.
Como i elevado a cuatro es uno y uno elevado a diez es uno,
éste resultado sería i al cuadrado que es menos uno.
Por lo tanto, i elevado a cuarenta y dos es, menos uno.
Y finalmente, i elevado a cuarenta y tres.
Realizamos exactamente el mismo proceso. Cuarenta y tres es igual a cuatro por diez
más tres, o sea, dividimos cuarenta y tres entre cuatro el cociente es diez y el
resto es tres. Por lo tanto, i elevado a cuarenta y tres
se puede expresar como, i elevado a cuatro, elevado a diez por i elevado
a tres. O sea, i elevado a tres que sabemos es
igual a menos i. En general, para calcular una potencia i
elevada a n, realizamos exactamente lo mismo, dividimos n entre
cuatro y tenemos un cociente que lo denotamos por q y un resto que lo
denotamos por r. Las potencias de cuatro, nos darán uno.
O sea, i elevado a n, se podrá expresar como i elevado a
cuatro, elevado a q por i elevado a r. i elevado a cuatro es
uno, uno elevado a q sea el valor que sea, el resultado será uno.
Por lo tanto, esta expresión se simplifica y quedaría i elevado a r.
Donde r es el resto de la división de n dividido entre
cuatro. Así para calcular, una potencia de
i, simplemente la podemos expresar como i elevado al
resto de la división entre el exponente n y cuatro.
Hemos definido, qué es un número complejo y
hemos visto como realizar algunas operaciones con ellos.
El conjunto formado por todos los números complejos, o sea todos los números
de la forma a más bi, dónde a y b son números reales y i al cuadrado
es igual a menos uno, se denota por C. Si la parte
imaginaria o sea b, es cero entonces obtenemos los números reales.
Así tenemos que el conjunto de los números
reales está contenido dentro de los números complejos.
El conjunto de los números complejos, amplía
los conjuntos de números que you habíamos
visto antes.
Los naturales, enteros, racionales, reales y ahora tenemos los complejos.
Si la parte real es cero, tenemos números de la forma b i.
Y éstos se llaman números imaginarios puros,
o sea, números que no tienen parte real.
Veamos finalmente, otra forma de expresar los
números complejos de la forma a más b i. Llamada también forma binómica.
A cada número complejo, de la forma a más b i, como está formado por dos
números reales a y b, se le puede asociar simplemente un punto del
plano cartesiano (a,b). En este caso, diremos
que a más b i es equivalente a (a,b).
Y lo expresaremos de esta forma. Así por ejemplo,
el número complejo cuatro i, es equivalente al punto (0,4).
O el número complejo dos menos cinco i, es equivalente
al punto (2,- 5). Muy bien, el número
complejo, menos seis más seis i es equivalente
al punto (- 6, 6). Así hemos visto, que un número complejo a
más b i, se puede escribir siempre como un par ordenado de números reales (a,b).
Además, esto lo escribimos de ésta forma y decimos que
a más b i, es equivalente a, el par ordenado (a,b).
Igual que antes, dado un número complejo expresado
como para ordenado (a,b), Se dice que a es la parte real
y b es la parte imaginaria del número complejo.
El conjunto formado por todos los números complejos, o sea todos
los pares ordenados de la forma (a,b), donde a y b
son números reales, se denota igual que antes por C.
Finalmente observar que un número real a, número que no tiene parte
imaginaria se expresa en forma binómica como el par ordenado (a,0).
Y el número imaginario i en forma
binómica, se expresaría como el par ordenado (0,1).
Como resumen podemos decir que los números complejos
surgen, por la necesidad de representar las soluciones de ecuaciones cuadráticas.
que no tienen solución en el conjunto de los números reales.
Además, hemos visto que llamamos número complejo a toda expresión de la forma a
más b i, donde a y b, son número reales y se cumple que i al cuadrado
es igual a menos uno. El conjunto de todos estos números
complejos se denota por la letra C. Dado un número complejo a
más b i, se dice que a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Si la parte imaginaria es cero, estos
se corresponden exactamente con los números reales.
Por lo tanto, tenemos que el conjunto de los números
reales está contenido en el conjunto de los números complejos.
Y tenemos esta propiedad. Si la parte real es cero, o sea
tenemos los números de la forma b i, éstos se llaman imaginarios puros.
Finalmente, un número complejo a más b i, también se puede
escribir como un par ordenado de números reales de la forma (a,b).
En este caso, lo escribiremos de esta forma y diremos que a más b i es
equivalente al par (a,b). En los próximos vídeos, veremos con
más detalle como operar con números complejos, de la forma a más b i.
Cómo resolver algunas ecuaciones en el conjunto de los números complejos.
También veremos como expresar de otras formas los números
complejos llamadas forma trigonométrica y forma polar.
Estas representaciones nos permitirán hacer algunos
cálculos de forma mucho más eficiente.
Concretamente, veremos como multiplicar y dividir
números complejos utilizando la forma polar.
O cómo calcular potencia de números
complejos utilizando también la forma polar.
Y finalmente,
veremos como calcular raíces enésimas de números
complejos de nuevo, utilizando la forma polar.
Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
