Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Конечные подгруппы в группе движений прямой
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Геометрия и группы
35 個評分
從本節課中
Начальная теория групп
與講師見面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ СЛОВ] Этот
последний сюжет нашей третьей недели называется
«Смотрите как это делается у нас, теоретикогрупповиков».
Не то, чтобы я был сам теоретикогрупповиком или себя к ним
причислял, но сейчас я буду надевать этот кафтан,
то есть весь этот курс я читаю в кафтане теоретикогрупповика.
Смотрите: рассмотрим конечную подгруппу в группе движений нашей прямой,
а группа движений прямой состоит из всевозможных
переносов и всевозможных отражений на
любые вектора влево, вправо и от любых точек o.
То есть вот здесь, внутри вот этого бесконечного множества состоящего
из двух таких непрерывных семейств, мы должны искать какие-то конечные подгруппы.
Итак, утверждение № 1: не может...
Да, давайте-ка подгруппу,
которую мы исследуем, назовем какой-нибудь группой H, буковкой H.
H — это подгруппа конечная.
Вот так это записывается,
количество элементов во множестве записывается вот таким образом.
Значит, количество элементов в нашей подгруппе < +∞,
то есть конечное количество и все.
Не может быть, Tv ∈ H ни при
каком V ≠ 0.
Вот так сразу, как гром среди ясного неба.
В конечную подгруппу движений прямой не может входить ни один перенос.
Почему?
Потому что если Tv
входит в нашу подгруппу,
то тогда Tv * Tv тоже входит в нашу подгруппу, не так ли?
Ну подгруппа так и определяется, что композиции элемента внутри нее
должны давать элементы тоже внутри нее.
Но, извините, Tv * Tv = T * 2v.
Перенос и снова перенос — это перенос на двойной вектор.
Дальше, надеюсь, всем понятно.
Итак, для любого n = 2, 3,
4 и так до бесконечности.
Tv * Tv * Tv...
Вот это вот взял n раз.
Это называется n-я композиционная степень какого-то элемента группы,
в данном случае преобразования от переноса — это просто перенос на n-кратный вектор,
и он тоже должен принадлежать H, но это невозможно,
потому что это всё разные переносы на всё более длинные вектора,
и этих переносов вот таких уже бесконечное количество.
Значит, не может такого быть, чтобы хоть один нетривиальный
перенос принадлежал нашей конечной подгруппе.
Прекрасно, отлично.
Утверждение № 2: не
может быть двух
разных отражений,
то есть относительно разных точек, из H.
То есть, где A ≠ B.
Почему?
В силу утверждения № 1, иначе,
это же конечная подгруппа, значит в ней можно брать композиции,
иначе SB выполненное за SA тоже принадлежало бы H, но это же перенос!
Перенос на двойной вектор AB, помните таблицу композиций,
принадлежал бы H, и все.
Мы бы подали бы условия пункта № 1.
Значит, если есть два разных отражения, то тогда мы попадаем в условия пункта № 1,
у нас есть перенос, и это противоречит конечности подгруппы H.
Все. Эти два утверждения разбомбили задачу в
хлам.
Потому что теперь ясно, что из всех вот этих вот и вот этих
вообще может в нашей конечной подгруппе содержаться только один элемент,
и он должен быть обязательно отражением.
То есть, если в конечной подгруппе больше одного элемента, то либо там есть перенос,
что противоречит № 1,
либо там два отражения, значит есть опять перенос, но это противоречит № 2.
То есть в нашей конечной подгруппе не более двух элементов.
Ну а, следовательно, конечная подгруппа должна выглядеть как?
Либо как просто E, но это совсем уж неинтересно,
E = Id — тождественное преобразование и больше ничего,
но это какая-то совсем глупость, ну что это за конечная подгруппа?
Это совсем неинтересно.
Либо конечная подгруппа выглядит как Id и какое-то одно отражение.
Это действительно подгруппа, все по чесноку.
Потому что, ну просто возьмите и составьте таблицу композиций: Id,
So, Id, So.
Id * Id = Id, Id * So = So, So * Id = So, So * So = Id.
Все.
Все внутри лежат.
То есть, вот такие двухэлементые подгруппы — их там бесконечное количество.
То есть можно взять любую точку, построить на этом основании отражение и включить
вместе с E, вместе с Id в подгруппу из двух элементов.
Полное описание завершено.
Кстати, обратите вот на это внимание.
В неделе, посвященной теории групп, мы эту табличку еще вспомним.
Мы её уже видели сразу в двух воплощениях: чет, нечет...
Даже в трех.
В общем в сумме в четырех: вот такая — чет,
нечет по сложению, и тип: перенос отражения,
или, соответственно, поворот отражения для групп движений.
В абстрактной теории групп это просто говорится,
что это одна и та же группа — группа из двух элементов, она только одна.
Хорошо, перейдем к более сложной ситуации — конечные подгруппы в
группе движений окружности.
