Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Формулировка теоремы о классификации и доказательство леммы о гвоздях
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Геометрия и группы
33 個評分
從本節課中
Движения окружности
與講師見面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Ну давайте,
значит, повороты обозначать буковками R.
Здесь мы не будем указывать точку, относительно которой все вертится,
потому что понятно, что мы поворот, когда мы осуществляем поворот обруча,
мы вертим относительно одной и той же точки,
а именно центральной точки этого обруча и все.
И поэтому ее не обязательно указывать, важно только указать угол — вот такие вот,
на все углы, на все возможные углы этих поворотов, бесконечное множество,
но такое, компактное, то есть их вот 360° и 0° — это один и тот же угол.
Ну и, соответственно, теперь вопрос про отражение.
Отражение — это мы взяли за две точки и вот так перевернули,
то есть на самом деле отражение обруча — это отражения от прямых,
проходящих через его вот воображаемый центр.
Ну и, в общем, если мы
обруч поместим в какую-то плоскость, в ту самую единственную плоскость,
в которой он лежит сам по себе, то это будет просто отражения те самые,
которые мы уже встречали — это отражения относительно прямых.
Ну и вот у нас получается, что угадываются сразу
отображения поворотов и отражений, и кажется, что больше ничего нет.
Интуиция эта верная, и соответствующую теорему мы теперь
будем формулировать в немножко измененном виде по сравнению с движениями прямой.
Будем ее формулировать следующим образом.
Итак, теорема классификации,
[ШУМ] или,
как можно сказать, теорема Шаля для окружности.
Была малая теорема Шаля — она была для прямой, но это тоже как бы малая пока что
теорема Шаля, большая теорема Шаля — для плоскости формулируется.
Но, вообще, теорему Шаля можно сформулировать для любого интересующего
нас объекта, описывая его группу движений.
Вот сейчас для окружности.
Итак, теорема классификации.
Первые два пункта будут называть лемма о гвоздях,
а вот о скольких сейчас мы увидим, после того как ее сформулируем.
А пункт c, соответственно, будет касаться утверждения о том,
что если гвоздей нет вообще, то есть неподвижных точек, если
движения окружности,
нашей окружности, нашей окружности
S1 вовсе не имеет неподвижных точек,
[ШУМ] то оно
является поворотом на некоторый угол.
Вот. То есть последнее утверждение,
на самом деле, полностью аналогичное утверждение про прямую,
только нужно перенос заменить на поворот.
Значит, теперь, кстати, еще одна аналогия очень важная: переносы не меняют,
грубо говоря, направления прямой.
Если вектор был в ту сторону нарисован, то при переносе он в ту же будет смотреть,
а отражение меняют.
Здесь вместо направления есть угол против или по часовой стрелке,
то есть если мы на самой окружности нарисуем вот такой векторок,
то повороты не меняют его направление, а любое отражение будет менять,
то есть здесь аналогии еще и в этом тоже проявляются.
Ну и пункт c, соответственно, переносится почти без изменений, только нужно перенос
заменить на поворот, а вот пункты a и b должны немножко видоизмениться.
Итак, пункт a: если движение
g обладает
какими-то как минимум двумя не
противоположными [ШУМ]
неподвижными точками a и b,
то тогда уже можно точно смело говорить,
что g = Id, то есть ничего не меняет.
Итак, если две точки, но не на противоположных сторонах
окружности остались на месте, скажем точка a и точка b — кстати,
тем самым в соответствии с этим фактом их было всего целых 4.
Вот, так вот если две остались на месте, которые не противоположны,
то тогда g — обязательно Id.
Вот.
b: если
движение обладает
ровно двумя,
то есть тем самым обязательно противоположными
противоположными неподвижными точками,
то g = Sl,
то есть является отражением относительно той самой прямой,
той самой прямой — давайте точками A,
A с волной, которые принадлежат
прямой l, проходящей через центр нашего обруча воображаемого, то g = Sl,
то есть равно отражению относительно этой прямой, совпадает с отражением.
Итак, то есть видите, как устроена логическая цепочка.
А логическая цепочка такая: значит, если были две не противоположные неподвижные
точки, то на самом деле из этого факта следует, что неподвижных
точек было минимум четыре, и тогда уже все — тогда на самом деле у нас получается,
что движение должно быть равно Id.
И это будет доказано методом практически такого же визуального восприятия
окружности — это можно доказать с помощью системы координат,
но это как бы мы посвятим этому сейчас минутку.
И это первая опция.
Значит, итак, две не противоположные точки.
Теперь дальше: какие еще есть варианты?
Есть вариант, что есть одна неподвижная точка?
Ответ: нету, такого варианта нет.
Согласно этому факту, если есть одна, то и противоположная к ней, есть две.
Соответственно, другой вариант состоит в том, что есть две, но противоположные,
и больше никаких нет.
И вот тогда это отражение.
И все. Значит, одной быть не может.
Если ровно две, то они противоположные, это отражение.
Если 0, то здесь утверждается, что это поворот.
А если больше двух, то сразу ясно, что две какие-то из этих трех будут уже не
противоположными, и мы попадаем сюда, и это Id.
Поэтому как бы лемма на самом деле о двух не противоположных гвоздях.
Если у нас есть две неподвижные точки ровно, то это вот этот случай,
Если же не ровно две, то у нас не может быть ни один, ни три,
потому что это нечетное число, нечетное не может быть, они парами приходят.
И, значит, мы попадаем в пункт a, что есть какие-то две не противоположные, и все.
Конец, это Id.
Но если нет, это поворот.
Вот, значит, сейчас мы вот эти два утверждения опять докажем
более-менее визуально, а в следующем сюжете мы будем уже доказывать
c примерно тем же методом, которым мы доказывали пункт, значит,
соответствующий пункт в предыдущей неделе про прямую линию.
Поехали.
Итак, вот у нас есть окружность.
Давайте на нее посмотрим и предположим, что вот эта точка осталась на месте и вот
эта точка осталась на месте и точки эти не противоположны друг другу.
Тем самым у нас еще есть две точки,
которые остались на месте: это A с волной и B с волной.
Очень хорошо.
Давайте посмотрим на какую-то точку, вот такую, например, точку,
любую — точку C, которая не совпадает, значит, ни с A, ни с B.
Где она находится?
Вот она либо в этом секторе, либо в этом, либо в этом, либо в этом.
Можно каждый из этих случаев рассмотреть отдельно, а можно просто сказать,
что они все довольно симметричны друг другу.
Вот, например, если она в этом секторе, что с ней происходит,
куда она должна попасть?
Она должна остаться от A на том же самом расстоянии.
Так как она не является точкой A с волной, которую мы уже рассмотрели,
то кроме нее есть ровно одна точка, куда она может перейти.
Может ли она сюда реально перейти?
Конечно, нет, потому что новая точка от точки B будет обязательно находиться на
другом расстоянии, чем старая,
кроме случая, когда B была бы A с волной, но этот случай мы убрали.
Соответственно, вот эти две точки находятся на одном расстоянии от A и
от A с волной, но от B — уже на разном.
Поэтому не может быть, что C изменила свое положение,
иначе бы она изменила свое расстояние до точки B.
Все, значит, любая точка осталась на месте.
И также из этого сектора тоже можно посмотреть,
что если вы сюда перекинете эту точку, то от A расстояние, допустим,
не изменится, но от B-то оно сократится, поэтому совершенно очевидное
визуальное утверждение, которое я не буду доказывать, переходя к системе координат,
просто предложу желающим это проделать в координатах, а я, в принципе,
я считаю, что это утверждение не требует доказальств, оно совершенно очевидно.
И из этого сразу же следует,
что если у нас неподвижных точек ровно две,
то это будет отражением, потому что теперь про каждую точку
есть только одна опция — переместиться вот на противоположную сторону.
Если вдруг точка не переместилась, значит, она обязательно осталась на месте,
ведь сохраняется расстояние до A.
Значит, она если не переместилась сюда, осталась на месте,
тогда мы попадаем в предыдущий пункт.
Тогда это Id, а значит, все они должны переместиться.
Или потому что просто больше неподвижных точек нет, а значит,
все прочие точки должны переместиться в единственно возможную — в ту,
от которой расстояние и до A, и до основной останется тем же.
Но это в точности,
вот мы прямо вот сконструировали отражение обруча относительно этой прямой.
Все, лемма о гвоздях доказана, движемся к классификации через пункт c.
