Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Движения, сохраняющие квадрат и окружность
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Геометрия и группы
24 個評分
從本節課中
Введение
與講師見面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Итак.
Квадрат.
Какие преобразования движения плоскости сохраняют на месте квадрат?
Вы не поверите, но, на самом деле, мне этот вопрос пришел в голову еще до школы.
Я у папы спрашивал, что можно сделать с квадратом, чтобы он остался таким же.
Ну и я сам очень быстро догадался до поворотов,
а вот почему-то до отражений я не догадался.
Ну давайте попробуем навскидку перечислить все такие преобразования.
Посмотрим, сколько их.
Ну, и, может быть, нам еще какие-то мысли в голову при этом придут.
Итак, какие преобразования сохраняет квадрат?
Ну, во-первых, ясно, что,
простите, я это все-таки оговорю, что квадрат,
как и любую другую фигуру, сохраняет преобразование, которое ничего не меняет.
Наверное, часть слушателей уже возмущается,
зачем так много внимания такому бессмысленному преобразованию уделять?
А вот увидите.
«А вот увидишь, как!», — сказал большой кот маленькому,
когда судил ему неприятности во дворе, с именем Гав.
Вот увидите!
Давайте пока просто перечислим его первым.
Id. Хорошо.
Ну Id — это, как бы, поворот на 0 °, можно так считать.
Ну, понятно, что повороты все у нас будут относительно центра квадрата,
поэтому надо сделать из этого что-то вроде Андреевского флага,
и сюда поставить точку O.
И ясно, что нужно прибавить еще три разных поворота,
они все будут с одной и той же точкой O, вот здесь.
Можно было бы даже точку O пока просто не указывать.
Вообще, когда мы будем заниматься поворотами окружности,
мы не будем указывать ее центр, понимая, что все повороты относительно
центра происходят, но пока, давайте, все-таки укажем.
И углы. Какие углы?
Ну, понятно, какие.
90 °, 180 ° и 270 °.
Кстати, в дальнейшем я буду постепенно переходить на
терминологию, связанную с числом π.
90 ° у меня будет π ⁄2.
Что такое π ⁄2?
А что такое вообще π?
Что значит число π?
Дайте мне пару минут, и я об этом скажу, если кто не помнит.
А пока вот у нас четыре преобразования поворота, которые сохраняют квадрат
(ну понятно, раз, потом еще раз), и еще есть,
сразу угадываются четыре преобразования отражения.
Ну, давайте, эти прямые как-нибудь назовем.
l₁, l₂, l₃ и l₄.
Все, следующая прямая — это уже та же самая прямая l₁.
И поэтому мы выписываем Sₗ₁, Sₗ₂,
Sₗ₃, Sₗ₄.
Что тут ни придумывай, больше ничего не найдешь.
Никаких других преобразований, которые квадрат сохраняют на месте, нет.
Но строгое доказательство, опять же, сейчас я давать не буду,
потому что для строгого доказательства нам нужен довольно подробный анализ вообще
множества всех движений, или группы движений,
как мы будем говорить вскоре, познакомившись с понятием группы.
Но тогда из этого, вроде бы, должно сразу следовать,
что какие бы преобразования отсюда ни брать (что угодно,
любую пару), и произвести в любом порядке одно, а потом другое...
Кстати, обычные числа можно умножать и складывать в
любом порядке, но не преобразования.
И вскоре мы убедимся в том,
что это редчайшая ситуация, если два преобразования,
будучи взяты в одном порядке, а потом в другом, в композиции, дают одно и то же.
Ну скажем так, не редчайшее, но редкое, то есть это иногда случается, иногда — нет.
Вот с поворотами такое случится.
Если два разных поворота возьмем, то не важно, в каком порядке их выполнять.
А вот если мы возьмем любой поворот, ну, кроме вот такого,
любой из этих трех поворотов и любую из этих четырех преобразований отражения,
любое, и скомпонуем в одном порядке, а потом в другом,
у нас получатся совершенно разные два преобразования.
Это удивительно, но вот, так сказать, можете прощупать сами.
Но, что я утверждаю?
Я утверждаю, что при такой композиции всегда будет
получаться что-то все равно из этого круга подозреваемых лиц.
То есть, все операции композиции, они не выводят за пределы вот этих восьми.
Вот эти восемь преобразований движения замкнуты относительно операций композиции.
Мы, на самом деле, все ближе к понятию группы, и я к нему постепенно подвожу.
У нас на множество всех движений есть операции композиций.
Вот эти восемь движений, когда мы будем делать внутри них операции композиций,
они будут выводиться за пределы этих восьми движений.
Прекрасно.
А что еще интересно заметить?
Мы могли заметить это и раньше на примере треугольника,
но я хочу заметить это сейчас.
Просто тот сюжет уже не надо было перегружать.
А вот сейчас давайте обратим внимание на следующее обстоятельство.
Любое преобразование можно выполнить, так сказать, в обратную сторону.
Например: поворот на 90 ° можно выполнить на 90 ° в обратную,
в плохую, в неправильную сторону, то есть по часовой стрелке.
Что будет, если выполнить поворот на 90 °, а потом обратно, на −90 °, так сказать?
Все сократится.
Получится вот что!
Вот смотрите, какую важную роль играет вот это Id,
вроде бы ничего не меняется, что тут может быть интересного?
А вот что.
Что вот этот поворот умножить на этот поворот, то есть взяв композицию,
вот он −90 ° и 270 ° — одно и то же.
Значит, соответственно, если я выполню эти два поворота в любом порядке,
то я просто докручу квадрат до исходного состояния.
Тем самым, вот эти два поворота являются взаимно обратными друг другу,
как преобразования.
Мы можем с помощью вот этого поворота нейтрализовать вот этот.
Как я еще люблю говорить: преобразование,
как и вообще любое отображение, это некий приказ.
Приказ дается всем точкам плоскости каждой точке куда-то отправится.
Вот преобразование поворота, например, вот этот,
на 90 °, вот этой точке дает приказ отправиться вот в эту точку.
Этой точке дает приказ стоять на месте, эту точку отправляет вот в эту,
эту точку отправляет вот в эту.
То есть, поворот — это выходит начальник перед полком точек (у нас есть полк точек,
это вся плоскость), и он каждой точке говорит: так, ты — туда идешь,
ты — туда идешь.
Вот это вот преобразование — это приказ, и в этом смысле что значит композиция?
Это значит, один полковник вышел, а потом — другой вслед за ним.
Первый дал один приказ всем, а другой сказал: так, а теперь ты — туда,
ты — туда и так далее.
Вопрос: каким новым полковником, или, скажем, генералом, можно заменить всю эту
конструкцию, чтобы он пришел, и сказал сразу вот этому — пойти сюда,
вот этому — сюда, то есть минуя приказ первого полковника, и как бы сразу туда,
куда второй полковник послал в дальнейшем.
То есть два полковника заменяются на одного.
Это и есть композиция преобразований.
Ну и вот композиция вот таких двух преобразований в любом порядке дает Id.
Они друг друга нейтрализуют.
Более того, для любого другого преобразования
здесь нужно указать тоже то, которое его нейтрализует.
Скажем, вот это — самонейтрализующее преобразование.
Что вообще такое поворот на 180 °?
Это то, что называется центральной симметрией в школе.
Но в большой науке центральная симметрия уже, по крайней мере, как преобразование
плоскости, не обсуждается, потому что на самом деле это поворот.
То есть центральная симметрия является поворотом на плоскости.
Поворотом на 180 °.
И он сам себя нейтрализует.
Если его второй раз применить, у нас получится Id.
Ровно то же самое можно сказать про каждое из преобразований отражения.
Если вы берете отражение и потом применяете еще раз,
то вся плоскость возвращается в исходное состояние.
То есть вот эти преобразования, они самообратны, обратны к самим себе.
Композиционный квадрат (это я новую ввожу терминологию) каждого из
вот этих преобразований пяти является Id — преобразованием, ничего не меняющим.
А что, если мы возьмем Id, и будем его компоновать с остальными?
Всегда будет получаться то, с чем компонуем, причем в любом порядке.
Фактически, я сейчас уже перечислил все аксиомы группы.
Возможность композиции, существование обратного,
ну и еще одно требование называется,
которое я не сказал, «ассоциативность композиции».
О нем давайте чуть-чуть позже поговорим.
Итак, вот группа, конечная причем,
состоящая всего из восьми разных движений, которые сохраняют наш квадрат.
Называются «группа диэдра».
Но она называется «группа диэдра» для произвольного правильного многоугольника,
то есть, если я вот этот ряд продолжу, будет пятиугольник,
шестиугольник, семиугольник и так далее.
Эта группа будет разрастаться постепенно,
всегда будет вдвое больше элементов в ней, чем в вершине.
Но об этом тоже позже.
Это такая задача, не самая простая.
Хочу теперь, буквально на минутку, зайти сюда.
И постараться представить себе,
какие преобразования сохраняют окружность (преобразования движения).
Смотрите, окружность в каком-то смысле — это предел последовательности правильных
многоугольников со все большим числом сторон.
То есть, если вот вы сейчас представите себе стоугольник,
то он будет очень мало отличим от этой окружности.
Правильный стоугольник, вот у него маленькие, маленькие стороны будут,
почти совпадет с этой окружностью.
У этого стоугольника, если это не окружность, а стоугольник,
у него будет, как я уже сказал (это надо доказывать),
но у него будет двести преобразований движения, которые его сохраняют.
А сколько же у окружности?
Ну, логичный, правильный, естественный ответ — бесконечное количество.
Это непрерывная группа преобразований.
Или, как страшно называется, «группа Ли».
Софус Ли изучал бесконечные такие группы преобразований,
непрерывно меняющихся преобразований.
Ну и в данном случае, вот эта вот группа, которая состоит из всех движений,
сохраняющих окружность, как минимум, включает все повороты на все углы.
Rφ (ну, относительно одной и той же точки O) — при всех φ.
Ну всех φ это что такое?
Всех значениях угла.
Понятно, что это бесконечное количество значений.
Как минимум, но на самом деле еще и все отражения относительно всех прямых.
То есть, это такой предел предыдущей конструкции.
Ну вот, собственно, завершая этот вводный, один из вводных сюжетов,
первый вводный сюжет, я показываю, что вот уже такая богатая геометрия
возникает на примере совершенно базовых фигур, изучаемых в школе,
то есть простейших фигур: треугольника, квадрата и окружности.
Если мы задаем здесь вопросы вот этой глубинной природы (глубинная природа
состоит в том, что мы ищем преобразования, сохраняющие эти фигуры),
и вот мы сразу оказываемся в общем-то уже в сердце современной математики.
Следующий сюжет будет касаться проективной геометрии.
