Доказательство. Доказательство будет геометрическим. Рассмотрим прямую. На этой прямой отметим нашу истинную ценность, которая нам стала известной. Теперь попробуем написать в конверте что-нибудь выше, чем эта истинная ценность, то есть что-то типа vi + ε, где ε > 0. Давайте посмотрим, каким образом мы можем повлиять на исход игры. Прежде всего, исход игры случаен и зависит от реализации всех остальных v. Независимо даже от того, какие вот эти вот b, то есть как ведут себя люди, исход игры зависит от того, как реализовались их вот эти значения, и, соответственно, от того, что они сами написали в этих конвертах, то есть он зависит от от неизвестной нам комбинации b1, b2,... (b(i − 1), b(i + 1), ..., bn) — от вот этой комбинации. Но давайте разобьем все классы событий, которые связаны с поведением остальных, на три класса, а именно те события, в которых максимум из вот этих переменных, max... давайте вот так напишем: max b. Максимум b это максимум из вот этих оставшихся, то есть это тот самый максимум по j ≠ i bj-тых. Первый класс событий состоит в том, что max b больше, чем вот эта величина, второй класс событий состоит в том, что он попал внутрь вот этого отрезка, и третий класс событий состоит в том, что max меньше вот этой величины, меньше моего истинного значения vi. Тогда изменение моего хода при истинной ценности vi, с vi на vi + ε вот в этом случае не меняет вообще ничего. Потому что я как не выигрывал, так и не выигрываю после этого. Выиграл тот, кто назвал этот максимум. В случае, если максимум на самом деле находится здесь, вот такое изменение моего хода тоже ничего не меняет именно потому, что у нас аукцион второй цены, и я плачу не то, что я записал, а максимум из остальных, поэтому я плачу по-прежнему столько же и по-прежнему выигрываю аукцион, то есть здесь тоже ничего не меняется. И меняется ситуация только тогда, когда максимум находится между этими двумя значениями. А как она меняется? Ответ: в худшую для меня сторону, всегда, потому что когда я, вместо того чтобы назвать vi, назвал vi + ε, я перепрыгнул через максимум, соответственно, предмет я купил, но за какую цену? За цену, которая больше моей истинной оценки, то есть я проиграл. Во всех таких случаях я проиграл. При разных значениях этого максимума я проиграл разную величину, но если мы проинтегрируем все это по множеству всех таких вот реализаций, то мы получим строго отрицательную величину. А здесь и здесь ничего не изменилось, поэтому изменение моего выигрыша при перенесении стратегии отсюда сюда, оно интегрально будет строго отрицательным. Здесь не меняется, здесь не меняется, здесь всегда отрицательно, поэтому интеграл от этого будет отрицательным, поэтому ожидаемое изменение моего выигрыша от изменения стратегии от того, чтобы написать честное к написанию vi + ε — строго отритцательно. Отлично. Идем дальше. Идем дальше. Теперь давайте посмотрим, что будет, если я занижу в конверте свою истинную оценку. Опять разбиваем все на три случая, что максимумы из остальных живут здесь, здесь и здесь из заявок. Опять в этих двух случаях ничего не изменилось, я либо как получал предмет, так и получаю и плачу то же самое, либо как не получал, так и не получаю. А вот если максимум стоял здесь, то я раньше получал предмет и платил вот столько, то есть оставался с чистым выигрышем вот такого размера, а теперь я зачем-то взял и сбежал от получения предмета, и теперь предмет получил вот этот человек. Я могу его получить, но зачем-то от него отказался, хотя чистый выигрыш у меня был положительный, он был равен длине этого отрезка. То есть опять мы разбили всю, все многообразие случаев, всю палитру остальных, реализации остальных ценностей на 3 класса, в первом из которых ничего не изменилось, во втором ничего не изменилось, и в третьем строго ухудшилось, но на различную величину, которая в интеграле даст опять строгое ухудшение. Поэтому какой бы vi мы не рассмотрели, изменения его, как в положительную, так и в отрицательную сторону по сравнению с написанием честного значения vi ухудшает мой выигрыш, поэтому речь идет действительно о строго доминирующей стратегии: всегда писать истинную оценку, всегда писать правду. Вот. Это совершенно знаменитый результат, вот смотрите, ровно за то, что я вам сейчас сказал за эти пять минут, человек получил Нобелевскую премию, это, наверное, самая короткая Нобелевская премия в истории человечества. Ну, и надо еще сказать следующее в дополнение, что повышающий английский аукцион второй цены в случае, если значения ценностей друг друга, в случае, если значения вот этих ценностей, реализация v1, v2, ..., не влияют на выигрыши остальных, то есть если мой вырос, или он, наоборот, упал, это может влиять на выигрыш второго только через то, что он с большей или меньшей вероятностью победит весь аукцион. Но не на ценность для него этого предмета. Вот в этом случае, таких несвязанных друг с другом ценностей, повышающий английский аукцион — это фактически аукцион второй цены, потому что, ну, посмотрите, как идут торги. Представим себе, что у каждого вот палочка такая до его истинного значения, vj, vk и так далее. Тогда как идут торги? Вот здесь вот три человека хотят купить, вот здесь три человека хотят купить, и постепенно люди повышают ставки. Понятно, что обычно повышаются мелкими такими мелкими шажками, ну, и ясно, что вот на этом уровне как раз отпадет последний, ну и отпадет предпоследний участник, останется только один и его истинную ставку мы никогда не узнаем, он выиграет уже в момент, когда отпал второй. То есть если достаточно маленький шаг, то заплатит он как раз вторую цену. Поэтому английский аукцион второй цены и закрытый аукцион Викри, извините, английский повышающий аукцион, и закрытый аукцион второй цены (аукцион Викри), они стратегически эквивалентны, и поэтому в этом аукционе тоже все будут просто торговаться до своей ставки и все.
