Итак, будем писать условия о максимизации, помня о том, что, в принципе, условия второго порядка можно не проверять. Всё равно здесь есть максимум, и в нём должна быть производная равна нулю, поэтому мы можем просто взять и приравнять производную нулю. Давайте возьмём производную от этого выражения по по b с волной. Итак, чтобы найти Argmax, нужно продифференцировать вот это по b с волной. Поехали. Все, наверное, помнят, как дифференцируются обратные функции, придётся дифференцировать здесь. Получается, −b в −1 от (b с волной) + (v − b с волной) * производную обратной функции, то есть 1 / b' от (b в − 1 от (b с волной)). И вот это вот = 0. Давайте я перепишу, перекидаю, вот это я направо скину и умножу на вот это. Тогда я получу: v − b с волной останется слева, а справа b в −1 от (b с волной) * b'(b в −1 от (b с волной)). И это есть условие на b с волной в зависимости от v, как функция от v, то есть при каждом v b с волной должно быть выбрано так, чтобы максимизировать это выражение, то есть так, чтобы удовлетворять вот этому вот уравнению. А теперь внимание! Теперь самый главный момент, ключевой момент. Если b — равновесие, симметричное равновесие в нашем аукционе, то есть равновесная стратегия поведения, стратегия ставок, то для любого v решением этого уравнения должно служить в точности b с волной = b (v). То есть вот у нас есть условие, по нему можно вывести b с волной как функцию от V. Но если мы ищем равновесие, предположим, что b — действительно, равновесная функция поведения, тогда ответная функция поведения — тоже b, а значит, b с волной при любом v должен быть вот таким, то есть вот такая вот функция. Мы должны теперь подставить сюда, и вместо равенства написать равенство из трёх чёрточек, как функций. Получается следующее уравнение, получим v − b(v) — это я заменил b с волной на b(v), ≡ по v равно b в −1(b(v)) * (b'(b в −1(b(v))), закрываю три скобки. [БЕЗ СЛОВ] Вот это и есть уравнение, полученное на функцию. Функция реакции, оптимальная функция должна удовлетворять вот этому уравнению, то есть оптимальная функция ставок в зависимости от v, но здесь очень много сокращается, правда? Потому что обратная функция берётся от прямой, поэтому получается уравнение такое, уравнение на функцию получается дифференциальным. Оно выглядит так: v − b(v) = v * b'(v), здесь всё сокращается. Значит, мы ищем функцию, которая удовлетворяет такому уравнению функцию, стартующую из 0. Перепишем это здесь, получим v, это вот перебросим направо, должно быть ≡ b(v) + v * b'(v). Замечательно. Я думаю, что прилежные слушатели уже угадали здесь полные производные от следующих двух функций: d по dv от v² / 2 ≡ d по dv от выражения (v * b(v)) просто. Но тогда, как все знают из уроков математического анализа, функция v² / 2 должна быть равна Const + v * b(v). В силу наложенного условия, что b стартует из 0, на самом деле, это можно доказать, константа должна быть равна 0, поэтому я её убираю и пишу вот так. Это функциональное равенство, поэтому его можно сократить и получить. Ответ: равновесное поведение в аукционе первой цены в случае равномерных, равномерно распределённых ценностей — это v/2, назвать — половина своей собственной ценности. Если картина стоит для вас 3000 рублей, говорите — полторы, если 100 рублей, говорите — 50 и т.д. Это один из тоже знаменитых результатов, но всё-таки Нобелевскую премию за него не дали. Что можно сказать в связи с этим результатом? Можно сказать следующее. Во-первых, если игроков много и все они априори обладают независимыми реализациями ценностей из одного и того же распределения, но необязательно равномерного, то тоже можно выписать универсальную формулу, в которой будут интегралы. То есть задача, как говорят, решается в квадратурах, задача — аукцион первой цены с одинаковыми покупателями — решается в квадратурах — первое. Второе: если аккуратно взять все требуемые интегралы и посчитать средний выигрыш человека, продающего картину нерпы или любой другой объект с использованием правила аукциона первой цены и правила аукциона второй цены, то результаты совпадут. Это неслучайно. В 1981 году Роджер Майерсон доказал, что если аукцион обладает некоторыми тремя, то есть, если аукцион устроен, вот правила проведения аукциона совершенно произвольны и только обладают некоторыми тремя необходимыми свойствами такими, как человек, у которого оценка 0, ничего не платит, это понятно, собственно говоря, странно было бы с него что-то брать, хотя всякое бывает по жизни, бывают аукционы с входной платой какой-то, которые уже не удовлетворяют этому условию, то есть 1) чтобы человек с нулевой оценкой, у которого реализовалась нулевая оценка, ничего не платит, его нельзя заставить что-то заплатить. 2) предмет всегда отходит тому, у кого максимальная оценка. То есть правила устроены таким образом, что в равновесии всегда реализуется то, что предмет уходит тому, у кого самая большая оценка. И третье условие состоит в том, что найдено именно симметричное равновесие в игре. Тогда независимо от правил проведения аукционов в этом симметричном равновесии средний выигрыш продавца будет такой же, как в аукционе первой и в аукционе второй цены. Это было названо revenue equivalence theorem, то есть «теорема об эквивалентности дохода» во всех аукционах при любых правилах при некоторых небольших ограничениях. И за это тоже была дана Нобелевская премия, это Нобелевская премия 2007 года. На самом деле, то, что сейчас было некоторое приглашение в теорию аукционов, там очень много интересного, это совершенно отдельная область теории игр, которой я рекомендую заниматься, это область, может быть, даже я бы сказал так: это наиболее практически значимая область теории игр.
